从系列:微分方程与线性代数
Gilbert Strang,麻省理工学院(MIT)
第二阶方程给出了两个一阶方程ÿ和DY / DT。矩阵成为伴侣矩阵。
好 啊。关于二阶常系数方程稳定性的第三个视频。但我们将继续讨论矩阵。所以这是一个相当特别的视频。这是我们熟悉的方程式。我从a区到b1区,我只划分了a区,没问题。
这样的One二阶方程。但是,我们知道如何将它转换成两个一阶微分方程。在这里,他们是。因此,这是两个方程。这是一个2×2矩阵存在。因此,让我读顶部方程。它说,DY dt为0Y加1DY DT。所以公式是一个平凡。DY DT等于DY DT。
第二个公式是真实的。Ÿ素的衍生物为y双撇。因此,这是这里的二阶导数,等于减去CY和减去B Y形素数。这就是我的方程y双引号,当我把负CY了作为加CY,我把减去B Y形质上为加B Y形素数。我有我的方程。所以这方程是相同的。这只是写的一个载体未知。这两个方程的系统,系统。
而且它有一个2×2矩阵。和它的名字,用0和1这个特殊矩阵称为友矩阵。同伴,所以这就是伴侣方程的那一个。
好。因此,无论我们知道这个公式,从指数S1和S2,我们将拥有相同的信息了这个等式的。但语言的变化。这就是真正的这段视频来看,只是告诉你在语言的变化。所以这里。旧的指数,S1和S2,对于这个问题,大家看这个视频是要记住的S的解决小号平方加上烧烤加C等于0,所以这总是什么有s的是。
这样有两个根,S1和S2是控制一切,控制稳定性。现在,如果我用这种语言做,我不再称他们为S1和S2。但它们是相同的两个数字。我称他们为特征值,一个酷字,一半德国一半英语也许,那种疯狂的字。但它确立。
这些相同的数称为矩阵的特征值。你看,这个问题的矩阵是一样的。我们得到的信息和这里的方程式一样。这些是特征值。我可以告诉你你已经知道了什么吗?每个人都写lambda,希腊的lambda,作为特征值。这里有两个指数,这里有两个特征值。这些数字和那些数字是一样的。它们满足同样的方程。
当我们很快恰当地遇到矩阵和特征值时,我们会看到其他矩阵的特征值。我们将看到,对于这些特殊的伴随矩阵,特征值解的方程与指数解的方程相同,这个平方s平方,Bs和C等于0。
好 啊。稳定性,记住,稳定性是那些小于零的指数根的实部,因为指数有负实部,并且趋于零。现在我们只是在使用,所以那是我们的旧语言。我们的新语言将是lambda的一部分,小于零。
稳定矩阵的特征值,拉姆达小于零的实部。所以,我们真的很交换字母S和为信拉姆达单个高次方程和两个一阶微分方程。好。我这样做只是without--连接拉姆达到S,但不告诉你的拉姆达是对自己的东西。
好 啊。所以让我记住。所以,在这里我又迈出了一步。因为基本上我说了所有关于二阶方程的东西。我们知道稳定的条件。条件是阻尼应为正,B应为正。频率平方最好是正的。所以C应该是阳性的。所以B阳性和C阳性是我们的母体。
现在我还有几分钟。所以为什么我不允许任何2乘2矩阵。这里我不给你们特征值理论。但只要建立联系。好 啊。所以我想建立联系。你还记得同伴矩阵有一个特殊的形式0。a是0,b是1,c是负的大c,d是负的b。那是同伴。
那么在这个早期,几乎是过早的时刻,我要说什么呢?因为我得好好做。特征值和特征向量是方程组的关键。你明白我说的系统是什么意思吗?这意味着未知的——我有不止一个方程。
我的矩阵是通过2 2,或3×3,或正用n。我不明z的2或3或n个不同的组件。这是一个向量。因此,z是一个载体。矩阵乘法的载体。这就是矩阵做。他们乘载体。所以这是一般的图片。而这是一个特别重要的情况下。
因此,我们可以对稳定性决定。所以我就总结了该系统的稳定性。稳定性将be--好,我要告诉你一些有关的解决方案,该系统。万博 尤文图斯记住z是一个载体。因此,这里有解决方案。万博 尤文图斯žis--事实证明,这是关键。这有一个E--你期望指数。而你现在期望的特征值,而不是在那儿。现在,我们需要一个载体。而让我称之为矢量X1。 And this will be the eigenvector. And this is the eigenvalue.
如果我寻找这种形式的解,把它放进我的方程中,弹出特征向量的关键方程。所以,我再一次把这个,希望解决的问题,放进方程中。我会发现这个向量x1的a乘应该是lambda的1乘x1。哦,我有很多话要说。
但是如果它成立,如果a乘以x1等于lambda乘以x1,那么当我把这个放进去时,方程就成立了。我有办法了。我有一个办法。当然,对于二阶问题,我正在寻找两种解决方案。所以完整的解决方案也是-,所以我可以让它是线性的。所以我总是可以乘以一个常数。然后我期待第二个,同样形式的,e到其他特征值,就像其他指数乘以其他特征向量。万博 尤文图斯
这是我的前瞻消息解决方案,像她那样。万博 尤文图斯所以,我们正在寻找一个特征值,并寻找一个特征向量。还有就是他们必须满足的关键方程。这方程来当我们把这个入微分方程,使双方达成一致。所以,这将会发生什么。特征向量控制方程组的稳定性。
这就是世界所关注的,一个方程,偶尔,但非常,非常经常是一个系统。特征值告诉我们。那么特征值是正的吗?那样的话我们就爆炸了,不稳定。特征值是负的,还是至少实部是负的?这是我们生活中最稳定的情况。很好,谢谢。
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