从系列:微分方程与线性代数
Gilbert Strang,麻省理工学院(MIT)
强迫f型= cos(ωt型),特定的解决方案是ÿ* cos(ωt型). 但如果强迫频率等于固有频率,则会产生共振。
这是关于二阶微分方程,常系数的第二个视频,但是现在我们有一个右手边。第一个是零的自由谐波运动,但是现在我做这个运动,我推动这个运动,但是频率是ω。这是我的强制条件。
所以我想我有一个强迫频率,记住,对于这个,对于无解,有一个固有频率n,这很重要它们很接近吗,它们分离得很好吗?这就决定了你所走过的桥是否振动过大,最终会倒塌。
或在极端情况下,他们是平等的吗?如果欧米伽n等于欧米伽这就是所谓的共鸣。让我放,共鸣这个词。当欧米茄等于欧米茄ñ。而且我们不打算处理的今天,但你应该知道,总是公式具有欧米伽减去欧米伽ň由分裂。因此,如果这就是0,如果欧米伽等于ω-ñ我们的配方必须改变。
今天,这不会发生。不,那公式是什么?什么是yp?我在找一个特别的解决方案。这是一个很好的函数,在实践中也很重要。所以我希望这个特殊的解是余弦ωt的倍数。
在这个问题上这是可能的。因为如果我有一个余弦,我的右手边有一个余弦,如果这个余弦在这里,它在左边,余弦的二阶导数也是,余弦,我会有一个余弦ωt项的匹配。然后我会选择正确的数字大写Y。
如果有一个一阶导数,我就不能这么做,因为余弦的一阶导数会带来符号。我要一份余弦和正弦的混合物,然后我最好考虑一下。但在这里我不必。
还有的强制功能。针对这种情况,是强迫响应。我想就习惯了字,响应,该解决方案。这里的输入,响应输出。所以,我只想把它插入到等式和资本找到Y.
这里是m,二阶导数是Y,二阶导数是a -²乘以cos。这里我有kY = Y乘以cos等于cos。这里可以有一个常数,但整个过程并不会比1更有趣,更困难。
所以,我该怎么办?这种做法的好处是在这里我都余弦,所以我只是将不得不减去欧米茄平方m和A K。因此,为其k减去米欧米茄平方。我可以写这样的说法?时报Y.我要取消余弦。这只是一个1.在一边是1。
我取消了余弦,所以保留了kY,保留了1,保留了负ω的平方。所以我马上就知道了。就像插入一个指数,然后一直取消指数。这里,我一直在取消余弦,因为每个项都是余弦。
所以我知道,所以我知道答案。所以最后的答案是Y(t) = Yn。我先写Y + Yn。我找到了Y的特殊性。Y是大写的ycos t,所以它是cos t乘以Y Y等于1除以这个。
这里的云Y.楼下我的K减去米欧米茄平方。对?这就是我们刚刚发现,特定的解决方案。首都Y,乘法不变,为1比是恒定的。现在来欧米茄NT和欧米茄NT的C2正弦余弦C1。
请记住,欧米茄n是欧米茄不同。其实,这是相当不错的位置。我可以写另一种方式,所以你会看到这里重要的。所以请记住,什么是ω-ñ平方?我只记得,欧米伽ñ平方为k在M。对?对。
k等于-,我把m放在这里-,k等于,ωn的平方。k和mωn的平方相同,这里我减去mω的平方。当桥被强迫时,你会看到整个共振点或接近共振点,买一个接近共振频率的频率。
这种差异,ω-平方,平方两个频率之间的差在分母和将是小的,然后将效果大。如果我们让这些太近,影响太大。所以我们会看到这个余弦欧米茄牛逼了这是,我会打电话,频率响应是这个因素。1以上米欧米加Ñ平方减去欧米加平方。
当强迫项是一个纯频率时,这个频率就会爆炸。当然,现在资本C1和资本C2是什么?我们从初始条件找到的。当t等于0时,我们把t等于0,这就告诉我们C1必须是什么。我们再次把t等于0,来匹配速度Y的质数,这告诉我们C2。你同意吗?
只要看看该解决方案的美感。这是空的部分。这是强制部分,所述特定部分,余弦由常数分频。还有一点式,多了一个强迫项我想会经常,总是,现在来讨论。这是一个δ函数,一个冲动。
我再加一个例子。我的二阶导加上ky等于函数。δ函数。这叫做冲量。所以我也想解这个方程。当强迫项只在一秒发生,在最初的一秒。在t = 0时,函数,我碰到了弹簧。
所以弹簧在那里,钟摆在那里。实际上,让我们休息一下吧。这是我的钟摆。我试着画一个钟摆。我不知道。那不是一个钟摆。但这已经足够好了。
这个等式说会发生什么,如果我有一个点光源打它?在t等于0,我打它,但我给它一个有限的速度。它没有在那一瞬间第二移动。这是冲激函数进来,所以让我给你的会发生什么结果,然后我们将再次见到他们。
我在做什么?当强迫函数是delta函数时,我想解这个方程。所以我要叫你冲动反应。当强迫函数是一个脉冲时,就会得到解。所以y是脉冲响应。事实上,这很重要,我要给它写封信。g、 现在,我能把那个y变成g吗?
这样G为G的T是脉冲响应。如果我能解决这个方程。你可能会说,没那么容易。随着增量功能,它甚至不是一个真正的功能。这是一个有点疯狂。这一切都发生在一秒钟。对不起,在一个瞬间。没过一秒钟,但是一个瞬间。
但我能解出来。因为这个原因,我可以解出它。我可以把它看作是一个冲量或者我有另一个选择,另一种方法我可以把它看作是没有力的mg ' '的解。同样的问题,同样的解是0。
但我从静止开始。什么也没有发生。的0 y为0并且它从初始速度,0ÿ素的脉冲启动时,它出像高尔夫球开始。去吧。并有一个1在M那里。我将讨论另一个时间。
我想现在看到的是,我要么这个有点神秘的公式或这种完全正常的公式,甚至是没有公式从0是开始等于0。但有一个初始速度的冲动给了该系统。我应该调用此克这是克。我们将再次看到脉冲响应,但让我们看看这一次通过解这个方程。
所以我打算解这个方程实际上我们上次已经解过了。还记得这个的解吗?当它从0开始时,没有余弦。但是当初速度是1 / m时,有一个符号。所以我要写下g (t)也就是sin nt。
为什么它的固有频率?因为我解决了没有。我正在寻找一个无解。但在没有解决方案之前的视频打动了我这一点。万博 尤文图斯只有我有来划分,得到1比M能够作为初始速度。你会看到,这将解决任何方程。
这就是钟摆或高尔夫球的情况。摆更好。实际上,高尔夫球是一个很糟糕的例子。很抱歉。高尔夫球不来回摆动。他们倾向于去。
我看着摆,弹簧上升和下降。所以春季开始时,有超过1米,然后后没有任何反应的初始速度。所以这是脉冲响应。一个冲动的反应。为什么我这样呢?首先,它的美丽。简单的答案。
其次,每一个力函数,输出都来自这个。我们会看到这一点。我们引入了一个力函数,cos t,它的特解是cos t的倍数,现在,我们引入了一个力函数,这个函数的响应是一个正弦函数。谢谢你!
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