从系列:微分方程与线性代数
吉尔伯特·斯特朗,美国麻省理工学院(MIT)
随着微分方程常系数,基本的解决方案是指数万博 尤文图斯e类圣. 指数s公司解决了一个简单的公式如作为2个+烧烤+ C = 0.
好。因此,今天是unforced--指零在右手侧,寻找空solutions-- damped--那么这是指在一阶导数的系数B中。万博 尤文图斯这有什么解决办法?这确实是一个基本的,基本公式。在许多应用中,将质量。
在弹簧,例如,A是一个块。B是阻尼,摩擦。C是弹簧常数,拉动大众回力。或者在电子,B将成为阻力。它提供了一些摩擦,给予一定的热量。
这就是我们的等式。只是我们必须能够解决它。我们要寻找指数。对于这样的常系数方程,纯指数是正确的。所以我用y等于e来代替st,然后会发生什么?
好了,所以有一个C e将ST。这是一个赛扬。的衍生物带来向下一个s。两个衍生品带来唐氏平方。所以我只是有作为的平方,B类,和C一起,乘e将ST。而且你怎么我得到0?那么0是不会来从E到圣,所以它必须来自于此。
所以从根本上说,整个视频更多的是关于一个二次方程。平方加上Bs加上C等于0。我们必须解决它。我们必须理解答案是如何依赖于这些数字,A,B,C,常数的?好 啊?
因此,我们知道的路由。我们知道解决办法。万博 尤文图斯二次公式告诉我们,这两个solutions--总有两种,但他们可能是equal--有无t万博 尤文图斯his--你认识到这一点体现在哪里?
你看阻尼系数来了。你看,这一切都重要的平方根,它告诉我们,这取决于B是否平方比4AC大,B的平方等于4AC,B平方较小。所以较小乙手段少阻尼。它会被称为欠阻尼..
因此,这里有准备。B可以为0。这使我们早在以前的视频时,该解决方案是一个纯粹的复杂的指数,纯粹的正余弦。有没有阻尼。它只是永远的振荡。这就是我们所知道的一个。
现在,新的用B为B方可以更小。所以,这只是一个小的阻尼。而在这种情况下,什么是该解决方案是什么样子?若B的平方比4AC小,我总是回头看这里。所以,我有负面的东西。
负的东西,a负B超过2A,然后加或减-,这家伙的重点是什么?B的平方比4AC聪明。这里面是负的。所以它的平方根是一个虚数。所以正负号,有一个虚数。
和自然频率有点不同。这叫做阻尼频率。不是很频繁。阻尼使振荡稍微慢一点,但它带来指数衰减。我将画一张这一次或下一次解的图,e到负st。
但是你看,e到负st正在衰减到0。就像一个弹簧,慢慢地下降到0。但它在振荡。好 啊。现在,我们还有两种可能。
这些都是很有趣的事情。还有下一个。当B的平方正好是4AC,正好是4AC,B的平方超过4AC,这就是临界比值。这个比率是1。在这种情况下,平方根就是零。B平方减去4AC的平方根是0。所以我们得到s1和s2相等。两个相等的频率。
实数。他们是在2A的减B。因此,S1和S2是超过2A既减B。这只是从欠阻尼振荡衰减之间的边缘。而另一个极端是过阻尼。过阻尼,当B的平方比4AC大,然后我们在那的二次方程式formula--我们一直在寻找回来。乙,而4AC平方大,这是真实的。一个正数的平方根。这是完全真实的。
因此,在这种情况下,我们有两个,S1和S2。哦,让我画你一些照片。我给你画抛物线,将作为平方。因此,这是作为平方的曲线图。让我情节一样的平方加上烧烤加C.
所以在这种情况下,过阻尼,我们可能有很多的阻尼。B是相当大的。这将be--这个方向为s。而我作图下面就平方plus--很好,让我看看。我想大概加2秒。现在我要选择this--呵呵,其实,加比0拿到的那一个。
所以这有一个根at--这是过阻尼。过阻尼。一个巨大的数字在那里。C是全0号块。没有刚性的。所以这个抛物线在0根,在零下2根那将是一个极端的例子,没有任何的刚度。
现在,让我增加一些刚性。如果我改变常数项会发生什么?它举起图。它举起图。因此,让我这1.所以我将整个图形上升1.所以你看到,我动了起来,这些根会越来越接近。并在合适的点,当我移动它到1,这是怎么回事呢?
临界阻尼。临界阻尼。这是s平方加上2s加1的情况。正好是s加1的两倍。它有一个重复的根,当它不在下面时,我们总是认为它是边缘情况,但它也不在上面。两次击中这里。
因此,根温度为零下1的两倍。这是至关重要的。而现在呢?进一步提高该常数C。你会提起图形,提起抛物线在这里。通过一个多抬它,让我们说。而且这是怎么回事呢?
因此,这将作为s的平方加上2S加2。你看看这图告诉我们。它告诉我们,没有根,没有实数根。这是真正的飞机真正的图形,这是从来没有0。这是S加1。出现这种情况时,我含有S加1的平方加1。不能为0永远不为0。
所以这是——对不起。有了2,它有阻尼。它有阻尼,但阻尼不足。根是复杂的。所以这个s加1的平方是0。它的根源是什么?s是负1加或负i,这就是阻尼不足的情况。所以让我来写。
我们看到这些图表这么多。所以这是我改变了常数项,资本C,刚度,K图。这样解除了图形。而最终的根源是复杂的。他们是不是真的了,因为抛物线没有交叉轴了。根是其中它穿过的轴线。
所以这就是一个。我将在下一个视频中再画一幅画。也许换个B。换个阻尼。如果我改变阻尼会怎么样?如果没有阻尼,根是纯想象的。是 啊。让我们回到those four possibilities, because that's what you have to learn.
如果B是0,没有阻尼的。我们又回到了纯振荡,哪里是纯虚数。我们只是看到余弦和正弦。这时如果加一点阻尼,出现了一个衰减转弯。如果我们add--我甚至可以借鉴这些可能性。
让我画T的解y,针对吨。好。所以underdamping--解决方案说它万博 尤文图斯开始那里 - 会振荡,但腐烂。因此,这是欠阻尼。你还记得当发生这种情况?这时候B存在,但规模较小。乙平方比4AC小。
过阻尼,如果它开始,让我们说,在这里,它会去0,可能与根本没有振荡。它可以有一个振荡。要看它是如何开始。所以哦,让我做这张图片。所以这一个是过阻尼。这家伙就是欠阻尼。欠阻尼仍然有振荡。过阻尼有,顶多一次。它可以穿过一次。但过阻尼为B比4AC平方大。
好。还有更多的事情要做。这是如此重要,你必须想想B的平方以4AC的比例。这有它自己的名字。和它的阻尼比,或一个阻尼比的平方。我们确定所有这些解决方案。万博 尤文图斯
当B为0时,大家知道解在哪里吗?完全没有阻尼。在这种情况下,它只会振荡。所以我的照片,你可以说,有点混乱。但这个纯振荡是B等于0,没有阻尼。
好 啊。这是第一次看二次方程。它有一个著名的特征方程,但是你可以看到,它是二阶微分方程的基本方程。所以我们会看到更多。谢谢。
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