从系列:微分方程和线性代数
Gilbert Strang,麻省理工学院(MIT)
关联矩阵一个每个边都有一行,包含-1和+1以显示两个节点(两列一个它们由这条边相连。
好。我想继续最后的视频,这是关于关联矩阵和图表,以及网络和网络流入。所以这是5.6。这是5.6b。
我会记住同样的图表。记住,图是一些节点,这里是四个节点,还有一些边,在这里是五个边。所以我有一个5乘4的矩阵,就是这样。
我会记得它是怎么产生的。每一行对应一条边。所以第一条边从节点1到节点2,所以我在第1列和第2列中加上了-1和1。这告诉我第一条边在做什么,它给了我一行关联矩阵。五条边给我五排。这是矩阵。
在这里,我要乘V,向量v作为在四个节点电压的思想,我得到这个问题的答案。在1和减1产生这种答案的。好。
现在,我已经准备好关于矩阵A的问题,5个由4矩阵。这些矩阵,这些关联矩阵,是矩形矩阵,我们可以问矩阵中的所有关键问题,并得到一个不错的答案美丽的例子。而且我心目中的关键问题是他们有什么解决方案,以平均等于0?万博 尤文图斯在那里 -
这表示,在有一些给零列列的组合?所以,它的要求,是列依赖?如果列是相关的,然后我会找到一些解决方案,在这里我会的。万博 尤文图斯如果列是独立的,我会发现将是V唯一的解决办法等于0。
但是,这些列依赖。现在,我们怎么能看到?那么,在这种情况下,我们可以发现,以平均一个解决方案等于0,因为我可以看到我是如何得到所有这些差异为0?好了,不硬。v可能是全1的向量。然后分歧都将是1次减1,都将是0。我会解决平均等于0。
当然,我可以用任何常数繁殖。电压is--所以我想说的是,如果所有的电压相等,不会有任何流量。如果所有的电压都是平等的,我没有任何电池或其他来源的网络中,就没有流量。而这些都是所有的解决方案。万博 尤文图斯但我可以让所有的0将是所有在V的唯一途径是是相同的。
所以所有的v都必须是一样的。v是C,C,C,C。
我学到了一些重要的东西。Av等于0有一些解。我就跳到前面一瞬间。如果我们想要一个可逆矩阵,那就不好了。最后我万博 尤文图斯们会得到一个转置A,除非我们做些什么,否则它是不可逆的。
我们该怎么办?我们想去掉最后一列。我们可以有三列。这些将是独立的,但第四列是其他列的组合。我们要做的,实际上,是接地一个节点,这意味着我们设置了一个v,也许是v4,如果我们设置为0,就好像我们在固定温度,我们在固定电压,我们经常必须在一个滑动的刻度上这样做。
如果我们只知道温度的差异,我们不得不说,0在哪里?如果我们把那个点设为0,那么我们只有三个未知的电压和一个5乘3的矩阵,一切都很好。好 啊。这就是Av等于0的讨论。
那么,如何转置W等于0?所以现在我要问关于矩阵的转置。现在,这是一个由4 5矩阵。再次,一个美丽的例子,4 5矩阵。w ^,当然。这是一个4 5矩阵相乘W,这是5 1。所以4 5倍以上5 1。我想获得全部为零,此时四个零。对。
所以首先,如果我有一个4×5矩阵,所以当我转,这是你可以说短而宽,我认为自动也有解决方案。万博 尤文图斯会有由5矩阵是一个4的解决方万博 尤文图斯案。有五个未知数,只有四个方程,我将不得不到该系统的一些解决方案。万博 尤文图斯所以会有一些解决方案。万博 尤文图斯那么,问题是,有多少不同的W的我能找到的,有多少不同的解决方案,并且它们意味着什么。万博 尤文图斯
这就是这个例子的美妙之处,它不仅仅是矩阵中的20个数字。矩阵有意义。关联矩阵将差异A转换为A v是v的差异,但是转置的含义是什么?这是关键问题。为什么这个等式很重要?好 啊。
所以,我要告诉你一个转置的意思。也许我要复制下来转置是什么。因此,让我去下板抄下转置。所以现在我期待在转置W上。所以,现在这将是4×5使第一行成为一列。第二行将成为转另一列。第三行,另一列,第四行,是列。和第五行是一个。
这将成倍W1,2,3,4,5给0,0,0,0,这就是所谓的现行法律,基尔霍夫电流定律。
什么是法律?这是什么意思?这意味着网络一个典型的节点,所以在节点1中,你还记得,有一个边出。边沿1走了出去。三条边竟走了出去。这是到节点2。这是节点3,并且是节点4在节点1中,三个边缘走出去。又是什么现行法律告诉我吗?它告诉我,总流出为0的净流量,在任何流量,这将是负的W公司,任何流出,这将是积极的w's-- W,即从第一边缘来了。这也许是第二边缘。我认为,这正好是第四edge--流出的W从。
这就是我在这里看到的。A 1,A 2,A 4是w1,w2的乘积,w4是-,第一个方程是负数。w1加w2加w4等于0。这来自于转置w等于0的第一行。对吗?
我只是把这些数字从第一行。我写下这第一个公式。你可以看到它说,这三个流的准确总和必须是0。
所以,如果有一些积极的流动走出去,必须有一定的负面w的以平衡未来的。好。那就是在节点1中,并且类似地在节点2和3,和4所示,电流平衡。这是平衡方程。
基尔霍夫定律,它的平衡方程。它的保护。在应用数学建模的基本公式是如果身体处于平衡坐在那里,然后在其上的力量平衡。如果我有在网络源源不断的电流平衡。总有一个平衡方程,这样的事情不是在一个节点收集起来。它是稳定的。好。
所以这是基尔霍夫电流定律的含义。这是一个转置W等于0的含义。
并且怎么样的解决方案?万博 尤文图斯万博 尤文图斯解决方案W上。现在,所以现在我们得到分解成细节。事实上,我们可以发现在W的?那么,会有一些。会有一些。
就像我说的,我们有5个未知数,只有4个方程。所以我们肯定会找到一个解。让我建议一个寻找它的好方法。
假设flow--让我把在其他两个edges--假设流转周围循环。循环是这里的关键。该解决方案的关键是一个循环。不过就是这样的发送1沿着边缘的流程的,1打算沿着边缘的方式,我认为一个流为W5,以及1去这样一个流程。
注意。它会在环路周围发送1安培的信号。我带着箭,带着流,这条路,这条路,但这条是逆着箭走的。所以我认为一个解是w1等于1。
你看我写下来的解决方案,而不做任何消除或其它线性代数。我刚认识的图片。W1是1 W5是1 W5是1.什么是W4?负1,因为它违背了箭头。
而另个W是0,W2和W3。这是W3在这里。那些不参与这个循环。
因此,有与W2的解决方案和W3等于0,我认为它怎么可能会失败基尔霍夫电流定律?在一个节点上没有什么是堆积如山。我们只是发送它加上一个循环。当然,我把这是一个1 W2是0 W4为负1。我有一个1和减1。我得到0,恰到好处。而且所有的公式将得到解决。
换句话说,总之,解决方案W¯¯来自网络中的环路。万博 尤文图斯网络中的每个循环给我一个W上。
这里的另一个循环。我可以把流了下来那里。现在,这将是一个W4加1这样。这条路。你看到第二循环?让我画我的小糊涂的象征。大流周围循环。这个循环恰好有上四个边缘。所以我有四个W公司。1减去1,1,和减1,并在边缘1无流量,我也有另一种解决方案。 And it would be a different solution.
所以我从-,我能在这里插入两个循环吗?在那个图中我看到两个循环,两个小循环。每一个小循环都给了我一个流,一个w,它解出了当前的定律,因为它只是不断地在周围跑来跑去。
现在,有一个问题要问你,那是怎么样的大循环,W1,w3--我认为is--和减号W2?如果我发送流周围的大循环?没问题。这给了我另一套W公司的。那些满足基尔霍夫电流定律。他们满足这些方程。它们满足转置W等于0。
但我不想要那个大循环。我不想把它列入我的w's名单,因为我只想找两个w's。我只想找两个w's。
线性代数告诉我那是要找的数字。在这里,你是在暗示——我会怪你——大循环的三分之一。怎么了?你看到了吗?围绕那个大循环的流确实解决了转置w等于0的问题,但这不是新问题。它是一个循环的流量加上一个循环的流量之和。你看到了吗?
如果我把这个循环的流向量,w的循环向量加起来,它们会在两个循环的边上相消,我只剩下这里的流,那里的流,那里的流,那就是大循环。
换句话说,即大循环并没有给我一个新的vec--它不给我 - 它给了我一个向量w那是什么,我已经有一个组合。和线性代数,这是永远的问题。你想独立的W公司的数量,这个大循环就是一个依赖W,因为它是其他两个的组合。好。
所以这是一个具体的例子图片。我只是用线性代数的事实,线性代数事实结束。好。
因此,如何many--所以,如果我有N矩阵为m,并假设平均等于0了多少个独立的解决方案,我该怎么说?万博 尤文图斯K个独立的解决方案。万博 尤文图斯而在我的例子中,关联矩阵,得到的答复是,对于A等于关联矩阵,K为1。
如果我知道这个方程的解的个数,那么我期望有多少个解,这万博 尤文图斯有多少个,我期望有多少个解?
m和n之间的差进来,然后以及K。因此,独立的解决方案。万博 尤文图斯
这是线性代数的一个基本事实,我以前从来没有写过。我从来没有用这种符号写过。我会在以后的线性代数考试中把这个问题提出来。
我想说的是,如果我知道平均有多少解决了,有多少组合,这些都是A的,让0,后来我才知道A万博 尤文图斯的行的组合数量列的组合
让我们检查一下这个计数定理是否正确。这是k等于1,对吗?Av等于0的唯一解决方案是常数1,1,1,1。然后m是5岁。n是4。k是1。5减4加1等于2。这就是基尔霍夫电流定律的环解个数。好 啊。万博 尤文图斯
我们有电压。我们有电流。而且有很多参与这些矩阵美丽的线性代数。
我还将包括一个关于RLC电路的视频,它完全是这个的一个应用。我将从一个循环开始,一个RLC循环。但是现代电子技术的现实是成千上万的节点,成千上万的边,也许是成千上万的边,还有许许多多循环。
好。谢谢。
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