从系列:微分方程与线性代数
Gilbert Strang,麻省理工学院(MIT)
一个and乙如果乙=中号-1个上午对于某个矩阵中号。乙然后具有与一个。
好,谢谢。下面是涉及矩阵指数第二个视频。但它也有它一个新的想法,一个基本的新思路。这想法是两个矩阵被称为“相似。”这样“类似”一词有特定的含义,即矩阵A,类似于另一矩阵B,当B来自于这种方式。注意这种方式。这意味着有一些矩阵M--可以是任何可逆矩阵。所以,我拿A,乘上由M权和由M反左。这很可能给我一个新的矩阵。说它是B.即基质被称为“相似” B.我会告诉你那是相似矩阵的例子。 But first is to get this definition in mind.
一般来说,很多矩阵都是类似的,如果我有一个特定的矩阵a,我可以取任何M,我会得到一个相似的矩阵B,所以有很多相似的矩阵。关键是所有相似的矩阵都有相同的特征值。所以这里有一个小的矩阵族,所有的矩阵都是相似的,并且都有相同的特征值。为什么它们有相同的特征值?我只给你看一行。
假设B具有拉姆达的特征值。所以B是M逆AM。所以我有这个。中号逆AMX是λ-X。这是Bx的。B具有的λ的特征值。我想表明,具有拉姆达的特征值。好。
所以我看这个。我把两边乘以M,这就取消了。所以当我乘以M,这个就不存在了,我有AMx。但是M出现在右边,我有lambda Mx。现在我只要看看,然后说,是的。A有一个特征向量,Mx有特征值lambda。乘以向量就是lambda乘以向量。所以lambda是A的特征值,它有不同的特征向量。如果矩阵有相同的特征值和特征向量,那就是相同的矩阵。但是如果我这样做,让一个M矩阵进去,它改变了特征向量。在这里,它们最初是B的x,现在是A的M乘以x,它不会改变特征值,因为两边的M,让我把M带到右边,使它起作用。好 啊。
这里有一些相似的矩阵。我来拿一些。所以这些都是相似的。说2,3,0,4。好 啊?这是一个矩阵a。我可以看到它的特征值是2和4。我知道它和对角矩阵很相似。所以有一个矩阵M把这个和这个连接起来,把这个A和那个B连接起来。好吧,那个B真的是大写的lambda。我们知道什么样的矩阵把原A和它的特征值矩阵联系起来。那是什么M?这是特征向量矩阵。所以为了得到这个特别的东西,为了得到这个家伙,从这里开始,我用M is V来制作这个例子。那么B是lambda。
但也有其他的可能性。因此,让我看看。我觉得可能是一个矩阵is--有矩阵,转置。是类似于?表示转类似于?那么,answer--是的。
转置矩阵具有这些相同的特征值,图2和4,和不同的特征向量。而这些特征向量将连接原厂A和这方面的一个或一转。因此,一个矩阵的转置类似于矩阵。
如果我改变订单呢?4,0,0,2。所以我只是翻转了2和4,当然我没有改变特征值。你可以找到那个M。你可以找到一个M,如果我在右边乘以M,在左边乘以M逆,它就会翻转这些。所以还有另一个类似的矩阵。哦,有可能be plenty more.
所有我想要做的是有特征值是4和2。难道我只是创造更多一些?这里是一个0,6。我希望得到的跟踪权。4加2场比赛0加6.现在,我必须得到正确的决定。这有8.什么约2一个决定性与负4呢?我想我已经得到了一丝correct-- 6.我已经得到了决定correct-- 8.还有的决定因素是8所以这将是一个相似矩阵。所有类似的矩阵。一族具有特征值4和2相似矩阵。
所以,我想要做类似矩阵的另一个例子。这将是在这个例子中不同的是,还会有丢失的特征向量。因此,让我说,2,2,0,1因此具有特征值2和2,但只有一个特征向量。
这是另一个这样的矩阵。所以痕迹应该是4。行列式应该是4。所以也许我把2和负2放在那里。我认为这有正确的轨迹,4,和伟大的行列式,也有4。所以它有特征值2和2,只有一个特征向量,所以它和这个很相似。
现在,这里的点。你可能会说,怎么样2,2,0,0,即具有正确的特征值,但它不是类似。有没有矩阵M连接,与这些矩阵对角矩阵。这种矩阵已经没有失踪特征向量。这些矩阵有一个丢失的特征向量。
所谓的乔丹式。约旦式。所以那不属于你。那不在那个家里。乔丹的形式,你可以说,这就是乔丹的形式。家庭中最漂亮的成员是乔丹。
所以我有很多相似的矩阵。那是最美的,但不是在家里。有亲戚关系但不在家里。和那些不一样。最好的就是这个。所以Jordan形式就是特征值在对角线上的形式。但因为有一个缺失的特征向量,这肯定是有原因的。它在1里面,我不能有0。好 啊。这就是相似矩阵的概念。
现在我有一个更重要的注意事项,关于矩阵指数的注意事项。我能告诉你这个警告吗,这个警告?
如果我看E要在A次;对B的次指数B.我谨慎的指数是通常未Ë到B,E为A.如果我把B和A的相反的顺序,我得到不同的东西。而且它也没有e将A加B.这些都是不同的。其中,如果我用了1 1,这里只是数字,当然,这对指数的重要原则。但对于矩阵指数,该规则不起作用。那是不一样的为E到A加B.我可以告诉你为什么。
e将A是我加一加1/2平方等。e将B是我加上B加1/2乙平方等。而我这样做乘法。我得到一,我得到一个A.我收到B次31:12现在我得到1/2乙平方和AB和1/2平方。我可以把那些下来了吗?1/2平方,有一个A次B.还有的1/2乙平方。
好。这使得点。如果我多次顺序的指数,我得到一个次B.如果我乘他们在另外的顺序,按顺序?如果我乘e将B乘以e将A,那么B的将是出的A的前面。而这将成为一个BA,可以是不同的。
所以,我已经看到,这两个是不同的。这里是e将A,E至B.它有一个B之前如果我这样做,这将有A之前B如果我这样做了,它就会有一个混合物。因此,e将A加B就拥有我和A和B和1/2 a与b的平方。所以这将是一个1/2的平方加上AB加BA和B的平方。又有所不同。
现在我有一种A和B的混合物对称在这种情况下,我有一个B之前在这种情况下,我不得不B关于A的左侧
所以这三个都是不同的,即使在这个定义指数的级数中。这意味着方程组,如果系数随时间变化,肯定更难。我们能够解出dy dt等于,比如,t乘以y的余弦。
你还记得how--这是可解为1 1。我们把exponent--溶液呈y是E要曲风我们整合余弦吨和0了电子商务正弦t次y以正弦ŧ-
我只是觉得把那个被差动equation--及其衍生物。电子商务给正弦吨的衍生物将通过电子邮件给正弦吨。我使用的链式法则。的衍生物e将正弦吨的将通过电子邮件给正弦吨再次,倍衍生物正弦吨,这为cos吨,所以它的工作原理的。这很好的解决方案。
但是,如果我有矩阵这里 - 如果我有矩阵,那么整个事情不顺心。你可以说,连锁规则出了问题。你不能把积分那里,然后采取衍生物和期望它回来了。链规则不会对矩阵指数,简单的链式法则工作。而事实是,我们没有为解决线性系统的时变系数好的公式。万博 尤文图斯当我们从一个公式去的方程的系统,该系统已成为一个困难的问题。
因此,这是关于矩阵指数的谨慎幻灯片。他们是美丽的。他们很好地工作,如果你只是有一个矩阵A.但如果不知何故两个矩阵都在那里或一堆不同的矩阵,那么你就失去了良好的规则,你失去的解决方案。
好 啊。谢谢您。
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