好。更多关于特征向量。嗯,其实,它的将是关于特征向量同样的事情,但我会用矩阵符号。
所以,你还记得我有一个矩阵A,2×2的例子。它有两个特征向量。每个特征向量都有其特征值。所以,我可以写本征值世界的方式。我想它写在矩阵形式。我想取这两个特征向量,并把他们在我的矩阵的列创建一个特征向量矩阵。
如果我有n个他们,允许我给一个名字。该矩阵的特征向量,也许我会叫它V代表向量。所以这是一个时代V.而现在,只是我承担,而我做的倍乘的特征向量矩阵。
所以,我会得到什么?我得到一个矩阵。这是2由2.这是2由2.你得到一个2×2矩阵。什么是第一列?的输出的第一列是输入的第一列A倍。,什么是次X1?好了,时间X1是λ-1次X1。所以这第一列是拉姆达1×1。和A倍的第二列是Ax2相,这是λ-2 X2。所以我看到的λ2×2在该列。 OK.
矩阵符号。这些都是特征向量。这是一个时代V的结果,但我可以在这个看起来有点不同。我可以说,等一下,这是我的特征向量矩阵,x1和x2--这两个columns--次矩阵。是。
服用此第一塔,λ-1 X1,是λ-1次X1,加0次X2。在那里我做了一个矩阵乘法。我这样做是没有准备你。我会回去做了那一准备。但是,当我乘以一个向量的矩阵,我带的λ1倍的那一个,0次,一个。我得到的λ1级X1,这是我想要的。
你能看到什么,我想在这里第二列?我要的结果是λ-2×2。所以,我想没有X1的,并且该列的拉姆达2。所以这是0倍柱,加上拉姆达2倍柱。我们是否OK?
那么,是什么我现在有吗?我有一个美丽的外形,整个事情,因为这一个时代的特征向量矩阵等于,有特征向量矩阵再次,五,这里是一个新的矩阵是这样的特征值矩阵。每个人都来电that--因为这些是λ1和λ2。所以自然字母是大写的λ。这是一个资本希腊拉姆达那里,我能做到的最好。
所以你看到,这两个方程分开写,或者四个方程或n个方程,结合成一个矩阵方程。这是一样的那两个在一起。好。但现在,我把它以矩阵形式,我可以用它周围乱。我可以用V逆乘两侧。
如果我乘双方用V逆我discover--很好,应我乘上用V逆剩下什么?是的,我会的。如果我乘上用V是逆上的A逆AV离开。这是矩阵乘法,我的下一部影片是要回顾一下矩阵乘法。
所以,我乘两侧为V逆。V逆倍V是身份。这就是逆矩阵是什么。V逆,V是单位。所以你去。让我来推这件事。这是非常好的。这是非常好的。这就是所谓的对角化答:我采取的特征向量矩阵的对角化权A,其在左逆,乘这三个矩阵,和我得到这个对角矩阵。这是对角矩阵拉姆达。
或其他时间我可能要乘以双方在这里用V逆右侧的到来。所以这会给我A,V,V是逆身份。因此,我可以在那里移动V作为V逆。这就是它相当于。
我乘双方用V逆。所以,这只是一个,这是V,以及拉姆达,现在在V反转。那很棒。
所以这是一个一路上看到是如何建立或细分为特征向量矩阵,次特征值矩阵,次特征向量矩阵的逆。好。让我使用了一下。只是让你看到它是如何与我们所知道的特征向量连接。好。
所以我会复制这个伟大的事实,是A为V拉姆达,V逆。哦,我想怎么办?我想看看一个平方。所以,如果我看一个平方,也就是说上的A拉姆达V逆时代另一个。对?这里有一个A,有一个A.所以这是一个平方。
嗯,你可能会说我做了一个烂摊子了A的平方,但事实并非如此。V逆V是身份。所以,这只是身份坐在中间。因此,在最左边的V,然后我有拉姆达,然后我有另一lambda--拉姆达squared--然后在V逆在最右边。这是一个平方。
如果我做了N次,我想有一个到第n个会是什么拉姆达到第n个电压V反转。这是什么?这是什么说法呢?这是一个平方。如何理解方程?要我说,说A的特征值的平方是λ的平方。我只是每平方特征值。
和特征向量?哪些特征向量的平方?它们是相同的V,同样的载体,X1,X2,即进入诉他们还A的特征向量平方的立方A的,以第n个,A逆。
所以这是一个对角化矩阵的意义呢?对角化矩阵是另一种方式看,当我方的矩阵,这通常是一个很大的混乱,看着特征向量这是一个很大的混乱相反。这是非常明确的。该特征向量是一样的。和特征值是A的特征值的平方
换句话说,我们可以采取的n次方,我们有这方面一个很好的注释。我们已经了解到的n次方具有特征值的n次方,和特征向量相同。但现在我只是看到它在这里。它就在那里的n次方。
所以,如果我采取了同样的矩阵步1000倍,这将是重要的?什么控制矩阵的千分之一力量?特征向量入住。他们只是设定。这将是特征值的千分之一力量。
因此,如果这是一个特征值大于1的矩阵,那么千分之一功率会比一个大得多。如果这是特征值小于1的矩阵,也要去当我拿千分之一功率非常小。如果有这正是1的特征值,这将是一个稳定状态。而1至千分之一功率仍然是1,没有什么会改变。
因此,稳定。会发生什么,因为我乘,采取矩阵的力量,是平行于当我及时解决前进什么用微分方程发生问题的基本问题?我认为这两个问题相当平行。这是采取措施,单步,不连续的步骤。微分方程连续向前移动。这是在离散的情况下一跳,啤酒花,啤酒花之间的差和在差速器箱连续运行前进。在这两种情况下,特征向量,特征值是先导,以随着时间的向前推移会发生什么。
好。我必须做更多关于矩阵的工作。让我来,明年。谢谢。
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