OK,我要说明的傅里叶级数,而我不能在10分钟内做。这将需要两,也许三,会议以看到足够的例子,真正使用的想法。让我先从我们要寻找的。我们有一个函数。我们希望把它写成余弦和正弦的组合。因此,那些我们的基础functions--余弦和正弦。
和正的和B n的的是我们要寻找的系数。这告诉我们如何余弦NX中有多少是在x的大函数f。请注意,余弦以n开始等于0,因为0余弦值是1,所以这是我们和一个A0。但没有一个B0,因为n等于正弦波的零是零,我们没有得到任何那里。
所以我们在寻找a,n和b,n,同时,我想向你们展示,系数为cn的复数形式。现在n从负无穷到无穷。这真的是更漂亮的形式,因为一个公式为cn做的工作,而在这里我需要一个单独的公式为n和bn。
好。因此,当功能是真实的,但到了最后,并为离散傅立叶变换,以及快速傅立叶变换,在复杂的情况下将赢得这是自然的。而且,当然,大家看到,电子的INX,欧拉公式很大,是余弦nx和正弦NX的组合。所以,我可以使用这些,或者我可以用正弦和余弦。
好 啊。你怎么找到这些号码的?关键是正交性。这是Fourier级数的第一个中心思想,正交性。那是什么意思?这意味着垂直。对于一个向量,和第二个向量,我们知道垂直意味着什么。他们之间的90度角。我们检查两个向量之间的点积,或者内积,不管你喜欢哪个名字,应该是0。
好 啊。但这里我们有函数,比如余弦函数。这里是一个余弦,这里是另一个余弦。这是两个不同的基函数,比如,余弦为7x,余弦为12x,系数a7和a12可以告诉我们,函数中余弦7x有多少。
你看,我们把函数分成几个频率。我们在研究纯振荡,纯谐波。我们预计,可能是较低的谐波,较平滑的谐波cos x,cos 2x,cos 3x,拥有大部分能量。高次谐波,余弦12x,余弦100x,可能是快速交变的,含有噪声和高频。功能的快速变化将出现在高频段。
好。那么,有什么答案的12倍DX的7倍倍余弦这个integral--余弦,在范围减去P i向P?正交进来,得到的答案是0,这是至关重要的事实。这是什么使得它能够分离出A7和A12,让他们抓住。因此,让我告诉你该怎么做。
所以我要利用这一点,这是90度角的功能版本。所以,你看,它像一个积了一点。好了,让我记住,点积会是这样的C1 D1加上C2 D2等于0,如果我有一个向量C1,C2,和矢量D1 D2。这将是点积,并且这将是0,如果向量是正交的。在这里,而不是增加,我整合,因为我具备的功能。因此,只要这点的产品展示 - 一个函数次其他函数的积分给出0的含义。
好。现在我将使用它。好吧,我怎么会用这个?我会看我想要的东西。这是我的目标。我会余弦KX乘以这个等式的两边。然后我就集成。而美,当我乘余弦KX,我整合,一切都为零,除了我想要什么。顺便说一句,所有的正弦余弦时间整合KX为0所有正弦正交所有的余弦。而所有的余弦将是垂直于所有其它余弦。 So let me show you what I get.
所以,我乘我的余弦KX x的f和我从零下PI整合到pi。好?Now, on the right-hand side, this is my integral from minus pi to pi, of my big sum of all these terms, 0 to infinity, a n cos nx, etcetera-- including the sines but I'm not even put them in because they're going to get killed by this integration-- times cosine kx dx. All I did was take the f of x equal that formula, multiplied both sides by cosine kx, and integrated.
而且,现在的正交不负有心人,因为这个时间这一点,当我给集成0,但有一个例外。当n等于K,然后我得到的积分。我得到的唯一项是AK,余弦KX,两次DX。仅退K等于n,生存这一过程。然后是余弦积分平方正好是圆周率,所以这只是k次PI。你看,我发现AK是什么。我发现k个傅立叶余弦系数。我只是通过PI分裂。
所以我可以除以π得到ak的公式吗?Ak是1比π。从负π到π的积分,乘以余弦kx dx。这就是公式。这告诉我系数。我只能用正交性来排除除一个项以外的所有项。现在,如果我想要正弦系数bk,它将是相同的公式,除了那将是一个正弦。
如果我想的复杂系数,CK,事实证明,这将会是同样的公式expect--很好,也许这是2 PI那里,pi-- 1比2,这成为一个电子到负ikx。在复杂的情况下,该复共轭e将减去ikx显示出来。因此,这是真正的点积,内积,用余弦函数。
好 啊。所以让我举几个例子。也许我应该写出我刚才提到的正弦公式。所以bk是π上的积分1,我函数的积分,乘以sine kx dx。但有一个例外。A0有一点不同的公式,π变为2π。对此我很抱歉。当k是0或者它是1的积分,从负π到π,我得到2π。所以,a0是1除以2pi,当k为零余弦时,f乘以x的积分,这是1dx。这有一个简单的意思。这是x的f的平均值。
好。因此,基函数只是1当k为零。当k为0,我的余弦函数只是一个,我也得到了2分PI功能1倍的积分。
我们能不能只是做一个例子吗?因此,我想借此功能。而在这个视频我为什么不采取简单的,但很重要,function--δ函数。所以我打算使用的三角函数这些公式。
让我画出三角函数的小图片。我只有零下PI和PIδ函数之间下去,因为我们知道,为0,它是无限的,在扣球和0一次。我想画它的原因,这是一个偶函数。这是一个函数,它是X和X负之间的对称。
而在这种情况下,不会有正弦。正弦函数是奇。从零下圆周率的奇函数的PI的积分产生0奇怪的手段,当你跨x等于0你减去X时的结果比0,所以我的观点是,这是x的甚至function--三角洲是一样减去x的增量,只有余弦。好。正弦系数自动删除了0等等,当然,整体会表现出来。但我们看到它,我们甚至整合之前。
好吧,我已经准备好了增量功能。所以我要对x的写三角洲,我们记得δ函数is--余弦的组合。好。这是减去PI和pi之间的增量功能。好。什么是我们的正公式?嗯,你还记得我们为A0的特殊配方,这是1/2 PI倍积分,从减去P i向P,我们的功能,这是三角洲倍的基础功能,其中n等于0的,基础功能1 DX。
好吧,我们知道答案。我们可以积分delta函数。关于delta函数积分的一个关键问题是,它总是1——如果我们把x交给0,我们会这样做的。积分是1,所以我得到1/2π。
另一个系数呢?所以现在是1/pi。从负π到π的积分乘以余弦kxdx。你知道我在做什么。我用我的公式来求系数。我的公式是以函数为例,不管它是什么——在这个例子中,它是delta函数——乘以余弦,积分,再除以因子π。
好。嗯,当然,我们可以做到这一点积分。因为当你整合的增量功能,次一些其他的功能,所有的动作在x等于0在x等于0,这一功能是1,我不关心它是什么别的地方,它只是1。因此,这是相同的x次1积分增量,它给出us--以及,间隔δ函数1.使积分为一个,所以我得到1 / PI。好。
好。所以,现在,你要我写出来的一系列δ函数?它看起来有点不寻常。这是告诉我们的东西很显着。它告诉我们,所有的这些系数都是一样的。所有的频率,所有的谐波,在以相等的量的δ函数。通常情况下,我们会看到一个大的掉落系数的AK,但对于δ函数,它是如此奇异,全部大穗在一个点上,没有脱落,在系数没有腐烂,他们只是不断。
好。所以我说,delta函数是常数项,1 / 2PI,然后1 / PI次余弦的x,和2倍的余弦,等等。好。所有频率也有相同的。我会在这里是一个例子停止。所以关键点是正交性,对于系数的公式,这个例子。谢谢。
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