从系列:微分方程和线性代数
吉尔伯特·斯特朗,美国麻省理工学院(MIT)
波动方程∂2ü/∂Ť2=∂2ü/∂X2展示了如何波沿移动X轴,从波形开始ü(0)和它的速度∂ü/∂Ť(0)。
好。此视频是关于第三偏微分方程的伟大三人。拉普拉斯方程是头号。这就是所谓的椭圆方程。热方程为第二。这就是所谓的抛物线方程。现在我们到达波动方程。这三个号码,它被称为双曲型方程。所以,在某种程度上三个方程提醒我们椭圆,抛物线及双曲线。
他们有不同类型的解决方案。万博 尤文图斯拉普拉斯方程,你解决它一个圆圈内或某些封闭区域内。热方程和波动方程,时间进入,你在时间向前发展。热方程在时间上,杜dt的第一顺序。和波方程,满量程波动方程,在时间上是二阶。这代表的是二阶导数,d秒üdt的平方。和它在空间与平方的速度系数C的二阶导数相匹配。
我在一维空间。如果我是在三个维度上,我们真的有声波和光波和所有生命中最重要的东西,然后会有一个UXX和uyy和uzz,在所有的空间方向的二阶导数。但是,这是足够好的做1D。
所以,有什么区别,首先,热传导方程和波动方程之间?所以我会说热与波方程。什么样的最大区别?散热方面,信号的传播无限快。下波动方程,该信号具有有限速度行进,并且该速度是数字c与速度C。
所以幸运的是,声波,波来给我们,或者当我和你说话,我的声音是在声音的速度,速度c的传播出去的麦克风。而实际上,另一个好处是它得到后出现,这是不言而喻的,它的推移点,并不会只呆在那里搞乱了未来的声音。它的旅行。它死了。
Whereas--好,热量。所以让我尝试举一个例子。假定初始条件为δ函数。因此,如果u等于增量功能,点光源,这是很正常的。热的点源,东西真热,或声音的点光源,自己的声音。因此,它是在t等于0。然后,热传导方程,有一个著名的解决热方程。
请记住,热方程是杜DT等于UXX,在时间一阶导数。而从增量函数启动的解决方案?噢,我知道那是什么?我觉得有一个1 over--有4 PI吨平方根。还有一封给减X的平方超过4吨。我想也许就是这样。也许这就是它。
那么,我从看到了什么?我看大阻尼出来。我看到立竿见影的旅行。只要时间一点点超越0,那么对于每x我们得到一个答案,但它是一个非常,非常小的回答。e将减X平方的拖尾0非常快。所以这是一个非常小的回答。很少的热量立刻变得非常,非常迅速地在大洋彼岸。但从理论上讲,一点点做。
而对于波动方程,它需要时间去穿越大洋。我们有海啸。我们有过一浪。它到达那里。到达另一边。而实际上,在曲风是非常重要的。那是什么波的速度来告诉人们有关海啸的到来,你可以真正做到这一点,你不能热传导方程做。
因此,对于波动方程,随之而来的一维δ函数的呢?那么,一个波变到右边,和波变到左边。这是发生了什么。和那些波是一个δ函数的1/2,每程。因此,解决办法是的行驶δ函数的1/2。我看到that--让我记下的行驶在x加CT的其他方式 - 增量的另一半。
这是一个很酷的解决方案。因此,这意味着在一维的声音的声音,其中有一半在其它方向的一个方向和半起飞。会发生什么,在每个方向是声音的峰值。你什么也没听到,然后在特定的时间,这取决于你的位置x,有一个特定的时间,当你在那里得到0,而你听到的信号。然后一旦随着时间的推移过去认为,这是过去的你。所以,你得到一个很大的冲击,它涉及到你与速度C。
如果你看那个表达式x减去CT,它告诉你在DX DT为波波的速度为c。好。所以这是一个非常特别的初始condition--一个大的水墙,大的噪音,一个大爆炸的对比度。好。
我想解决的波动方程,再研究一下其他的初始条件。当然,初始条件的多个,因为波动方程是在时间二阶。所以我给ü在t等于0,和所有的x和杜DT。我给的水壁的初始分布,我们可以说,它的速度,正常的事情。
当我有一个第二阶方程,我给定的初始条件和初始速度。当然,因为它是一个偏微分方程,我给那些为每x。因此,我们有功能,而不仅仅是两个数字,而这也正是傅立叶级数可以进来了。
因此,我们可以用傅立叶级数解决,如果我们在finite--就像一个小提琴的弦。你弹拨启动波会在字符串中来回小提琴的弦。他们解决了波动方程。你听到的音乐,美妙的音乐,如果它是一个很好的声音。或者,我们可以解决这个问题上,没有边界的无限线,如在空间基本上无限海洋或波。在空间光波求解波动方程,没有边界,因为据我们所知。
好。所以,我该怎么办?我会写在自由空间解下来,然后我就一个写下来了小提琴的弦。因此,在space--好,它在这里一维空间。因此,这将是负无穷小于x小于无穷。
那么,什么是解决波动方程的样子?它看起来像某些功能加x加CT的一些功能。嗯,这正是形式,我们在这里有当他们δ函数。在这里,一般情况下,他们没有被δ函数。我选择了函数f和函数g,使得在t等于0,我很好。因此,在T等于0--所以我集合T等于0在t等于0,U 0和X将是f x加x的克。好。
但是,这只是一个条件,我有f和g找到。所以,我也将使用DT都在开始。什么是时间导数?零下缩略词为x素数。并在此时间导数将在X加C G黄金。好。没什么大不了的。我给出两种功能。我有两个功能,在回答找了,我有两个方程。我可以解决那些f和g,和它给了一个叫达朗贝尔公式公式,谁把这个一起的人而得名。
我宁愿去上小提琴,在有限的字符串。好。所以,现在我有一个有限的字符串,我抱着ü在两端等于0。好。我的解决方案仍然将依赖于X减克拉波函数。我的解决方案仍然是波。
我要去写下来的解决方案来自变量的非常非常重要的方法称为分离。我想在t分立的x。我需要给你的分离变量的完整视频。这是我们必须要得到解决很多方程式的最佳工具。万博 尤文图斯
所以,让我跳到这里的解决方案的形式。我想象小提琴琴弦是在休息。所以它开始with--我想象,比方说在我们的具体问题,这是0,初始速度。这是弹拨。起始位置用手指is--已移到了关闭0确定。
做的解决方案是什么样子,万博 尤文图斯U T和X的?好。他们将整齐,特殊的总和,方便,分离解决方案,带独立意义牛逼从X分开。万博 尤文图斯我认为我们将有NCT余弦。我将有一个总和。哦,我们将有一个系数,当然,一个很好sub--或B或C,或者甚至d。如何d新letter-- d子ñ。我think--好,让我在这里完成。我分离,从我认为这很可能是x的正弦值。好。
如果我们看看这对一点点,这是这部影片的点。所以这是x等于0。这就是讲,X等于圆周率。这是为了方便。假设我们小提琴的弦的长度为圆周率,那么,我想,这就是解决方案的模样。它开始来自T等于0在t等于0,余弦为1所以在t等于0,这是一个初始条件,我们必须匹配。这会告诉我们,D的将是DN正弦NX的总和。这告诉我们,D的。然后,我们有我们的答案。
因此,最初的condition--记住,这是开始休息。因此,初始速度为0,这就是为什么我没有任何正弦T的,因为我开始用初始速度为0。我只有余弦T方向。但我只有在X方向正弦因为小提琴的弦被按下的两端,并且它的正弦函数相匹配的完美。
因此,这是分离变量,叔从x中分离。我真的需要做的越来越像这样的解决方案是非常重要的方法的适当的解释。万博 尤文图斯谢谢。
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