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矢量自动进度（VAR）模型

A向量autoregression (VAR) modelis a multivariate time series model containing a system ofnequations ofn独特的固定响应变量是滞后响应和其他术语的线性函数。VAR模型也以其度为特征p;var中的每个方程式（p）模型包含plags of all variables in the system.

VAR模型属于一类多元线性时间序列模型称为向量autoregression moving average (VARMA) models。Although Econometrics Toolbox™ provides functionality to conduct a comprehensive analysis of a VAR(p）模型（从模型估计到预测和仿真），该工具箱为VARMA类中的其他模型提供了有限的支持。万博1manbetx

In general, multivariate linear time series models are well suited for:

  • 同时对几个固定时间序列的运动进行建模。

  • 测量系统中响应变量之间的延迟效应。

  • 测量外源串联对系统变量的影响。例如，确定最近施加的关税的存在是否显着影响几个计量经济学系列。

  • 生成响应变量的同时预测。

固定多元时间序列模型的类型

该表包含多元线性时间序列模型的形式，并描述了计量经济器工具箱中支持的功能。万博1manbetx

模型 缩写 方程 Supported Functionality
矢量自动性 VAR(p)

y t = c + ∑ j = 1 p φ j y t − j + ε t

  • 通过使用一个varm目的：

    1. 通过使用varm。

    2. Estimate any unknown parameters by usingestimate。

    3. 通过申请使用完全指定的模型object functions。

  • 从其varma的系数矩阵中获取VAR模型的系数矩阵（p,q）通过使用Arma2ar。

  • Given coefficient matrices, perform dynamic multiplier analysis by usingArmairf和Armafevd。
矢量自动降低以线性时间趋势 VAR(p)

y t = c + δ t + ∑ j = 1 p φ j y t − j + ε t

通过使用一个varm目的。estimate和所有其他object functionssupport this model.
矢量自动摄影与外源串联 VARX(p)

y t = c + δ t + β x t + ∑ j = 1 p φ j y t − j + ε t

通过使用一个varm目的。estimate和所有其他object functionssupport this model.
Vector moving average VMA(q)

y t = c + ∑ k = 1 q θ k ε t − k + ε t

  • Obtain coefficient matrices of a VMA model from the coefficient matrices of its VARMA(p,q）通过使用arma2ma。

  • Given coefficient matrices, perform dynamic multiplier analysis by usingArmairf和Armafevd。
矢量自动性moving average VARMA(p,q)

y t = c + ∑ j = 1 p φ j y t − j + ∑ k = 1 q θ k ε t − k + ε t

  • Obtain coefficient matrices of a VAR or VMA model from the coefficient matrices of its VARMA(p,q）通过使用Arma2ar或者arma2ma, respectively.

  • Given coefficient matrices, perform dynamic multiplier analysis by usingArmairf和Armafevd。
结构矢量自动追溯运动平均值 svarma（p,q)

φ 0 y t = c + ∑ j = 1 p φ j y t − j + ∑ k = 1 q θ k ε t − k + θ 0 ε t

与Varm万博1manbetxa模型相同的支持

以下变量出现在方程式中：

  • yt是个n-1的by-1矢量在时间时变量变量t。

  • c是一个n-经过-1 vector of constant offsets in each equation.

  • φj是一个n-经过-nAR系数的矩阵，其中j= 1,...,p和φp不是仅包含零的矩阵。

  • xt是一个m-1值向对应的值mexogenous variables or predictors. In addition to the lagged responses, exogenous variables are unmodeled inputs to the system. Each exogenous variable appears in all response equations by default.

  • β是一个n-经过-mmatrix of regression coefficients. Rowj在响应变量方程中包含系数j, and columnkcontains the coefficients of exogenous variablek在所有方程式中。

  • δ是一个n- 线性时间趋势值的by-1矢量。

  • εt是一个n- 随机高斯创新的by-1矢量，每种均值为0，共同n-经过-ncovariance matrix Σ. Fort≠s,εt和εs是独立的。

  • θk是一个n-经过-nMA系数矩阵，其中k= 1,...,q和θq不是仅包含零的矩阵。

  • φ0和θ0分别是AR和MA结构系数。

通常，时间序列yt和xtare observable because you have data representing the series. The values ofc,δ,β，以及自回旋矩阵φjare not always known. You typically want to fit these parameters to your data. Seeestimatefor ways to estimate unknown parameters or how to hold some of them fixed to values (set平等约束）在估计过程中。创新εt在数据中不可观察到，但可以在模拟中观察到它们。

Lag Operator Representation

In the preceding table, the models are represented in difference-equation notation.滞后操作员符号是一个equivalent and more succinct representation of the multivariate linear time series equations.

滞后操作员L将时间索引减少一个单元：Lyt=yt–1。运营商Lj减少时间索引j单位：Ljyt=yt–j。

在滞后运算符形式中，svarmax的方程式（p,q）模型:

( φ 0 − ∑ j = 1 p φ j L j ) y t = c + β x t + ( θ 0 + ∑ k = 1 q θ k L k ) ε t 。

The equation is expressed more succinctly in this form:

φ ( L ) y t = c + β x t + θ ( L ) ε t ,

where

φ ( L ) = φ 0 − ∑ j = 1 p φ j L j

和

θ ( L ) = θ 0 + ∑ k = 1 q θ k L k 。

稳定且可逆模型

多元AR多项式为稳定的如果

det ( I n − φ 1 z − φ 2 z 2 − 。。。 − φ p z p ) ≠ 0 for | z | ≤ 1.

所有创新等于零，此条件意味着VAR过程收敛到cast接近无限（有关更多详细信息，请参阅[1], Ch. 2).

多元MA多项式是invertible如果

det ( I n + θ 1 z + θ 2 z 2 + 。。。 + θ q z q ) ≠ 0 for | z | ≤ 1.

This condition implies that the pure VAR representation of the VMA process is stable (for more details, see[1], Ch. 11).

如果VARMA模型的AR多项式稳定，则VARMA模型是稳定的。同样，如果VARMA模型的MA多项式可逆。

具有外源输入的模型（例如，Varmax模型）没有明确的稳定性或可逆性概念。外源输入会破坏模型。

具有回归分量的模型

通过在多元线性时间序列模型中包含回归成分，将来自外源预测变量的反馈或研究其与响应系列的线性关联。通过增加复杂性的顺序，使用此类模型的应用程序示例：

  • 建模干预措施的效果，这意味着外源序列是指标变量。

  • 模型ing the contemporaneous linear associations between a subset of exogenous series to each response. Applications include CAPM analysis and studying the effects of prices of items on their demand. These applications are examples of seemingly unrelated regression (SUR). For more details, see实施看似无关的回归和使用SUR估算资本资产定价模型。

  • 模拟同时和滞后的外源序列与响应之间的线性关联，作为分布式滞后模型的一部分。申请包括确定货币增长的变化如何影响真正的国内生产总值（GDP）和国民收入总收入（GNI）。

  • Any combination of SUR and the distributed lag model that includes the lagged effects of responses, also known as simultaneous equation models.

The general equation for a VARX(p）模型

y t = c + δ t + β x t + ∑ j = 1 p φ j y t − j + ε t

where

  • xt是一个m-经过-1 vector of observations frommexogenous variables at timet。向量xtcan contain lagged exogenous series.

  • β是一个n-经过-mvector of regression coefficients. Rowj的β在响应序列方程中包含回归系数j对于所有外源变量。柱子k的β包含外源变量的响应序列方程之间的回归系数k。该图显示了具有扩展回归组件的系统：

    [ y 1 , t y 2 , t ⋮ y n , t ] = c + δ t + [ x 1 , t β ( 1 , 1 ) + ⋯ + x m , t β ( 1 , m ) x 1 , t β ( 2 , 1 ) + ⋯ + x m , t β ( 2 , m ) ⋮ x 1 , t β ( n , 1 ) + ⋯ + x m , t β ( n , m ) ] + ∑ j = 1 p φ j y t − j + ε t 。

VAR Model Workflow

This workflow describes how to analyze multivariate time series by using Econometrics Toolbox VAR model functionality. If you believe the response series are cointegrated, use VEC model functionality instead (seevecm）。

  1. Load, preprocess, and partition the data set. For more details, see多元时间序列数据格式。

  2. Create avarmmodel object that characterizes a VAR model. Avarm模型对象是MATLAB®包含描述模型的属性的变量，例如AR多项式程度p, response dimensionalityn和系数值。varmmust be able to infern和p根据您的规格；n和p不可估计。您可以在创建VAR模型后更新AR多项式的滞后结构，但是您无法更改n。

    varmenables you to create these types of models:

    • Fully specified所有参数（包括系数和创新协方差矩阵）都是数字值的模型。当经济理论指定模型中所有参数的值时，或者您想尝试参数设置时，创建这种模型。创建完全指定的模型后，您可以将模型传递给所有人object functionsexceptestimate。

    • 模型模板in whichn和p是已知的值，但是所有系数和创新协方差矩阵都是未知的，可估计的参数。对应于可估计参数的属性由NaNvalues. Pass a model template and data toestimate获得估计的（完全指定的）var模型。然后，您可以将估计的模型传递给任何其他对象函数。

    • Partially specified其中一些参数已知的模型模板，而另一些参数是未知和可估计的。如果将部分指定的模型和数据传递给estimate，MATLAB将已知的参数值视为优化期间的平等约束，并估计未知值。部分指定的模型非常适合这些任务：

      • Remove lags from the model by setting the coefficient to zero.

      • 通过将预测变量的子集与响应变量相关联，将您在响应方程中不需要的预测变量的回归系数设置为零。

    For more details, seeCreate VAR Model。

  3. 对于具有未知，可估计参数的模型，将模型适合数据。看将模型拟合到数据和estimate。

  4. 通过迭代步骤2和3来找到适当的AR多项式度。Select Appropriate Lag Order。

  5. Analyze the fitted model. This step can involve:

    1. Determining whether response series Granger-cause other response series in the system (seegctest）。

    2. 检查拟合模型的稳定性。

    3. 计算脉冲响应, which are forecasts based on an assumed change in an input to a time series.

    4. VAR model forecasting通过获得最小平方误差预测或蒙特卡洛预测。

    5. 比较模型预测与保留数据。例如，请参阅VAR Model Case Study。

您的应用程序不必涉及此工作流程中的所有步骤，您可以介绍一些步骤。例如，您可能没有任何数据，但要模拟完全指定模型的响应。

参考

[1]Lütkepohl，H。多个时间序列分析的新简介。Berlin: Springer, 2005.

看Also

Objects

Functions

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