解微分代数方程(DAEs)gydF4y2Ba

这个例子展示了如何解决微分代数方程(DAEs)使用MATLAB®和符号数学工具箱™。gydF4y2Ba

微分代数方程包含函数，或者状态变量，gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba ［gydF4y2Ba {xgydF4y2Ba}_{1gydF4y2Ba} （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ，gydF4y2Ba ．gydF4y2Ba ．gydF4y2Ba ．gydF4y2Ba ，gydF4y2Ba {xgydF4y2Ba}_{ngydF4y2Ba} （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ］gydF4y2Ba$ 有表格gydF4y2Ba

$FgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ，gydF4y2Ba xgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ，gydF4y2Ba {xgydF4y2Ba}_{}^{˙gydF4y2Ba} （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba$

在哪里gydF4y2Ba $tgydF4y2Ba$ 是自变量。方程的数量gydF4y2Ba $FgydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba ［gydF4y2Ba {FgydF4y2Ba}_{1gydF4y2Ba} ，gydF4y2Ba ．gydF4y2Ba ．gydF4y2Ba ．gydF4y2Ba ，gydF4y2Ba {FgydF4y2Ba}_{ngydF4y2Ba} ］gydF4y2Ba$ 必须匹配状态变量的数量gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba ［gydF4y2Ba {xgydF4y2Ba}_{1gydF4y2Ba} （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ，gydF4y2Ba ．gydF4y2Ba ．gydF4y2Ba ．gydF4y2Ba ，gydF4y2Ba {xgydF4y2Ba}_{ngydF4y2Ba} （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ］gydF4y2Ba$ ．gydF4y2Ba

因为大多数DAE系统不适合直接输入到MATLAB求解器，例如gydF4y2Baode15igydF4y2Ba，首先使用符号数学工具箱功能将它们转换为合适的形式。该功能将DAE的微分索引(将系统降为ode所需的微分数)降为1或0，然后将DAE系统转换为适合MATLAB求解器的数值函数句柄。然后，使用MATLAB解算器，如gydF4y2Baode15igydF4y2Ba，gydF4y2Baode15sgydF4y2Ba,或gydF4y2Baode23tgydF4y2Ba，来解决dae问题。gydF4y2Ba

通过完成这些步骤来解决您的DAE系统。gydF4y2Ba

步骤1:指定方程和变量gydF4y2Ba

下图显示了通过求解摆的DAE的工作流。gydF4y2Ba

状态变量为:gydF4y2Ba

摆的水平位置gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba$
摆的垂直位置gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba$
防止钟摆飞离的力gydF4y2Ba $TgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba$

变量为:gydF4y2Ba

钟摆质量gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba$
摆的长度gydF4y2Ba $rgydF4y2Ba$
引力常数gydF4y2Ba $ggydF4y2Ba$

DAE方程组为:gydF4y2Ba

$\begin{array}{l} 米gydF4y2Ba \frac{{dgydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} xgydF4y2Ba}{dgydF4y2Ba {tgydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba}} ＝gydF4y2Ba TgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \frac{xgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba}{rgydF4y2Ba} \\ 米gydF4y2Ba \frac{{dgydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} ygydF4y2Ba}{dgydF4y2Ba {tgydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba}} ＝gydF4y2Ba TgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \frac{ygydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba}{rgydF4y2Ba} -gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba ggydF4y2Ba \\ xgydF4y2Ba {（gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} +gydF4y2Ba ygydF4y2Ba {（gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} ＝gydF4y2Ba {rgydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} \end{array}$

指定自变量和状态变量gydF4y2Ba信谊gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

信谊gydF4y2Bax (t)gydF4y2Bay (t)gydF4y2BaT (T)gydF4y2Ba米gydF4y2BargydF4y2BaggydF4y2Ba

使用==运算符指定方程式。gydF4y2Ba

eqn1 = m*diff(x(t)， 2) == t (t)/r*x(t);eqn2 = m*diff(y(t)， 2) = t (t)/r*y(t) - m*g;Eqn3 = x(t)²+ y(t)²== r²;Eqns = [eqn1 eqn2 eqn3];gydF4y2Ba

把状态变量放在一个列向量中。存储原始变量的数量以供参考。gydF4y2Ba

Vars = [x(t);y (t);T (T)];origVars =长度(变量);gydF4y2Ba

步骤2:减少微分顺序gydF4y2Ba

2.1(可选)变量关联检验gydF4y2Ba

这一步是gydF4y2Ba可选gydF4y2Ba．您可以通过查看关联矩阵来检查变量在DAE系统中的位置。方法中未出现且可删除的任何变量gydF4y2BavargydF4y2Ba向量。gydF4y2Ba

用显示关联矩阵gydF4y2BaincidenceMatrixgydF4y2Ba．的输出gydF4y2BaincidenceMatrixgydF4y2Ba每个方程都有一行，每个变量都有一列。因为系统有三个方程和三个状态变量，gydF4y2BaincidenceMatrixgydF4y2Ba返回一个gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba——- - - - - -gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba矩阵。矩阵有gydF4y2Ba1gydF4y2Ba年代和gydF4y2Ba0gydF4y2Ba年代,gydF4y2Ba1gydF4y2BaS表示状态变量的出现。例如，gydF4y2Ba1gydF4y2Ba在适当的位置gydF4y2Ba(2、3)gydF4y2Ba意味着第二个方程包含第三个状态变量gydF4y2BaT (T)gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

M = incidencmatrix (eqns,vars)gydF4y2Ba

M =gydF4y2Ba3×3gydF4y2Ba1 0 1 0 1 1 1 10 0gydF4y2Ba

如果关联矩阵的一列是gydF4y2Ba0gydF4y2Bas，则该状态变量在DAE系统中不存在，应被删除。gydF4y2Ba

2.2减小微分阶数gydF4y2Ba

的gydF4y2Ba微分阶gydF4y2BaDAE系统的微分方程的最高阶。要用MATLAB求解DAEs，必须将微分阶简化为gydF4y2Ba1gydF4y2Ba．这里，一阶和二阶方程都有二阶导数gydF4y2Bax (t)gydF4y2Ba而且gydF4y2Bay (t)gydF4y2Ba．因此，微分顺序为gydF4y2Ba2gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

将系统简化为一阶系统gydF4y2BareduceDifferentialOrdergydF4y2Ba．的gydF4y2BareduceDifferentialOrdergydF4y2Ba函数用新变量代替导数，例如gydF4y2BaDxt (t)gydF4y2Ba而且gydF4y2BaDyt (t)gydF4y2Ba．表达式的右边gydF4y2Ba命令gydF4y2Ba是gydF4y2Ba0gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

[eqns,vars] = reducedifferalorder (eqns,vars)gydF4y2Ba

命令=gydF4y2Ba
                  
                    $（gydF4y2Ba \begin{array}{c} 米gydF4y2Ba \frac{\partialgydF4y2Ba}{\partialgydF4y2Ba tgydF4y2Ba} DxtgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba -gydF4y2Ba \frac{TgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba xgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba}{rgydF4y2Ba} \\ ggydF4y2Ba 米gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba \frac{\partialgydF4y2Ba}{\partialgydF4y2Ba tgydF4y2Ba} DytgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba -gydF4y2Ba \frac{TgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ygydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba}{rgydF4y2Ba} \\ -gydF4y2Ba {rgydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} +gydF4y2Ba {xgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} +gydF4y2Ba {ygydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} \\ DxtgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba -gydF4y2Ba \frac{\partialgydF4y2Ba}{\partialgydF4y2Ba tgydF4y2Ba} xgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \\ DytgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba -gydF4y2Ba \frac{\partialgydF4y2Ba}{\partialgydF4y2Ba tgydF4y2Ba} ygydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \end{array} ）gydF4y2Ba$

var =gydF4y2Ba
                  
                    $（gydF4y2Ba \begin{array}{c} xgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \\ ygydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \\ TgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \\ DxtgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \\ DytgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \end{array} ）gydF4y2Ba$

步骤3:检查和减少差异指数gydF4y2Ba

3.1检查系统差动指标gydF4y2Ba

通过使用，检查DAE系统的差动指标gydF4y2BaisLowIndexDAEgydF4y2Ba．如果索引为gydF4y2Ba0gydF4y2Ba或gydF4y2Ba1gydF4y2Ba,然后gydF4y2BaisLowIndexDAEgydF4y2Ba返回逻辑gydF4y2Ba1gydF4y2Ba（gydF4y2Ba真正的gydF4y2Ba)，可跳过步骤3.2，直接执行步骤4。转换DAE系统到MATLAB函数句柄。在这里,gydF4y2BaisLowIndexDAEgydF4y2Ba返回逻辑gydF4y2Ba0gydF4y2Ba（gydF4y2Ba假gydF4y2Ba)，表示微分下标大于gydF4y2Ba1gydF4y2Ba而且必须减少。gydF4y2Ba

isLowIndexDAE(方程式,var)gydF4y2Ba

ans =gydF4y2Ba逻辑gydF4y2Ba0gydF4y2Ba

3.2用减小差指数gydF4y2BareduceDAEIndexgydF4y2Ba

为了减小差指数，可以使用gydF4y2BareduceDAEIndexgydF4y2Ba函数添加从输入方程导出的新方程，然后用新变量替换高阶导数。如果gydF4y2BareduceDAEIndexgydF4y2Ba失败并发出警告，然后使用替代函数gydF4y2BareduceDAEToODEgydF4y2Ba如工作流中所述gydF4y2Ba求解半线性DAE系统gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

减小所描述的dae的差异索引gydF4y2Ba命令gydF4y2Ba而且gydF4y2BavargydF4y2Ba．gydF4y2Ba

[DAEs,DAEvars] = reduceDAEIndex(eqns,vars)gydF4y2Ba

个标志性=gydF4y2Ba
                  
                    $（gydF4y2Ba \begin{array}{c} 米gydF4y2Ba DxttgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba -gydF4y2Ba \frac{TgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba xgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba}{rgydF4y2Ba} \\ ggydF4y2Ba 米gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba 迪特gydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba -gydF4y2Ba \frac{TgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ygydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba}{rgydF4y2Ba} \\ -gydF4y2Ba {rgydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} +gydF4y2Ba {xgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} +gydF4y2Ba {ygydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} \\ DxtgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba -gydF4y2Ba {DxtgydF4y2Ba}_{1gydF4y2Ba} （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \\ DytgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba -gydF4y2Ba {DytgydF4y2Ba}_{1gydF4y2Ba} （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \\ 2gydF4y2Ba {DxtgydF4y2Ba}_{1gydF4y2Ba} （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba xgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba {DytgydF4y2Ba}_{1gydF4y2Ba} （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ygydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \\ 2gydF4y2Ba ygydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \frac{\partialgydF4y2Ba}{\partialgydF4y2Ba tgydF4y2Ba} {DytgydF4y2Ba}_{1gydF4y2Ba} （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba {{DxtgydF4y2Ba}_{1gydF4y2Ba} （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} +gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba {{DytgydF4y2Ba}_{1gydF4y2Ba} （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} +gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba Dxt1tgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba xgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \\ DxttgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba -gydF4y2Ba Dxt1tgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \\ 迪特gydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba -gydF4y2Ba \frac{\partialgydF4y2Ba}{\partialgydF4y2Ba tgydF4y2Ba} {DytgydF4y2Ba}_{1gydF4y2Ba} （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \\ {DytgydF4y2Ba}_{1gydF4y2Ba} （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba -gydF4y2Ba \frac{\partialgydF4y2Ba}{\partialgydF4y2Ba tgydF4y2Ba} ygydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \end{array} ）gydF4y2Ba$

DAEvars =gydF4y2Ba
                  
                    $（gydF4y2Ba \begin{array}{c} xgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \\ ygydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \\ TgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \\ DxtgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \\ DytgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \\ 迪特gydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \\ DxttgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \\ {DxtgydF4y2Ba}_{1gydF4y2Ba} （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \\ {DytgydF4y2Ba}_{1gydF4y2Ba} （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \\ Dxt1tgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \end{array} ）gydF4y2Ba$

如果gydF4y2BareduceDAEIndexgydF4y2Ba发出错误或警告，请使用中描述的替代工作流gydF4y2Ba求解半线性DAE系统gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

通常,gydF4y2BareduceDAEIndexgydF4y2Ba引入可以消除的冗余方程和变量。消除多余的方程和变量使用gydF4y2BareduceRedundanciesgydF4y2Ba．gydF4y2Ba

[DAEs,DAEvars] = reducerredundancy (DAEs,DAEvars)gydF4y2Ba

个标志性=gydF4y2Ba
                  
                    $（gydF4y2Ba \begin{array}{c} -gydF4y2Ba \frac{TgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba xgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba -gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba rgydF4y2Ba DxttgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba}{rgydF4y2Ba} \\ \frac{ggydF4y2Ba 米gydF4y2Ba rgydF4y2Ba -gydF4y2Ba TgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ygydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba rgydF4y2Ba 迪特gydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba}{rgydF4y2Ba} \\ -gydF4y2Ba {rgydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} +gydF4y2Ba {xgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} +gydF4y2Ba {ygydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} \\ 2gydF4y2Ba DxtgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba xgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba DytgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ygydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \\ 2gydF4y2Ba {DxtgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} +gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba {DytgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} +gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba DxttgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba xgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 迪特gydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ygydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \\ 迪特gydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba -gydF4y2Ba \frac{\partialgydF4y2Ba}{\partialgydF4y2Ba tgydF4y2Ba} DytgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \\ DytgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba -gydF4y2Ba \frac{\partialgydF4y2Ba}{\partialgydF4y2Ba tgydF4y2Ba} ygydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \end{array} ）gydF4y2Ba$

DAEvars =gydF4y2Ba
                  
                    $（gydF4y2Ba \begin{array}{c} xgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \\ ygydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \\ TgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \\ DxtgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \\ DytgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \\ 迪特gydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \\ DxttgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \end{array} ）gydF4y2Ba$

检查新系统的差动指标。现在,gydF4y2BaisLowIndexDAEgydF4y2Ba返回逻辑gydF4y2Ba1gydF4y2Ba（gydF4y2Ba真正的gydF4y2Ba)，表示系统的微分指标为gydF4y2Ba0gydF4y2Ba或gydF4y2Ba1gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

DAEvars isLowIndexDAE(拓扑)gydF4y2Ba

ans =gydF4y2Ba逻辑gydF4y2Ba1gydF4y2Ba

步骤4:将DAE系统转换为MATLAB函数句柄gydF4y2Ba

此步骤为MATLAB ODE求解器创建函数句柄gydF4y2Baode15igydF4y2Ba，这是一个通用求解器。使用专门的质量矩阵求解器，例如gydF4y2Baode15sgydF4y2Ba而且gydF4y2Baode23tgydF4y2Ba,请参阅gydF4y2Ba使用质量矩阵求解器求解daegydF4y2Ba而且gydF4y2Ba选择一个ODE求解器gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

reduceDAEIndexgydF4y2Ba输出一个由方程组成的向量gydF4y2Ba个标志性gydF4y2Ba一个变量的向量gydF4y2BaDAEvarsgydF4y2Ba．使用gydF4y2Baode15igydF4y2Ba，则需要一个描述DAE系统的函数句柄。gydF4y2Ba

首先，方程gydF4y2Ba个标志性gydF4y2Ba可以包含没有在变量向量中指定的符号参数吗gydF4y2BaDAEvarsgydF4y2Ba．通过使用找到这些参数gydF4y2BasetdiffgydF4y2Ba的输出gydF4y2BasymvargydF4y2Ba从gydF4y2Ba个标志性gydF4y2Ba而且gydF4y2BaDAEvarsgydF4y2Ba．gydF4y2Ba

pDAEs = symvar(DAEs);pDAEvars = symvar(DAEvars);extraParams = setdiff(pDAEs,pDAEvars)gydF4y2Ba

extraParams =gydF4y2Ba
                   $（gydF4y2Ba \begin{array}{c} ggydF4y2Ba & 米gydF4y2Ba & rgydF4y2Ba \end{array} ）gydF4y2Ba$

你需要指定的额外参数是质量gydF4y2Ba米gydF4y2Ba,半径gydF4y2BargydF4y2Ba，重力常数gydF4y2BaggydF4y2Ba．gydF4y2Ba

通过使用创建函数句柄gydF4y2BadaeFunctiongydF4y2Ba．的额外输入参数指定额外的符号参数gydF4y2BadaeFunctiongydF4y2Ba．gydF4y2Ba

f = daeFunction(DAEs,DAEvars,g,m,r);gydF4y2Ba

工作流的其余部分是纯数值的。设置参数值并创建函数句柄gydF4y2Baode15igydF4y2Ba．gydF4y2Ba

G = 9.81;M = 1;R = 1;F = @(t,Y,YP) F (t,Y,YP,g,m,r);gydF4y2Ba

步骤5:找到求解器的初始条件gydF4y2Ba

的gydF4y2Baode15igydF4y2Ba求解器需要函数句柄中所有变量的初始值。利用MATLAB求得满足方程的初值gydF4y2BadecicgydF4y2Ba函数。gydF4y2BadecicgydF4y2Ba接受对初始条件的猜测(可能不满足方程)，并尝试使用这些猜测找到满意的初始条件。gydF4y2BadecicgydF4y2Ba可能会失败，在这种情况下，您必须手动为您的问题提供一致的初始值。gydF4y2Ba

首先，签入变量gydF4y2BaDAEvarsgydF4y2Ba．gydF4y2Ba

DAEvarsgydF4y2Ba

DAEvars =gydF4y2Ba
                  
                    $（gydF4y2Ba \begin{array}{c} xgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \\ ygydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \\ TgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \\ DxtgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \\ DytgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \\ 迪特gydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \\ DxttgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \end{array} ）gydF4y2Ba$

在这里,gydF4y2BaDxt (t)gydF4y2Ba的一阶导数是多少gydF4y2Bax (t)gydF4y2Ba，gydF4y2Ba迪特(t)gydF4y2Ba的二阶导数是多少gydF4y2Bay (t)gydF4y2Ba等等。a中有7个变量gydF4y2Ba7gydF4y2Ba——- - - - - -gydF4y2Ba1gydF4y2Ba向量。因此，对变量的初值及其导数的猜测也必须是gydF4y2Ba7gydF4y2Ba——- - - - - -gydF4y2Ba1gydF4y2Ba向量。gydF4y2Ba

假设摆的初始角位移为30°或gydF4y2Baπ/ 6gydF4y2Ba，坐标原点在摆的悬浮点。假设我们用了半径gydF4y2BargydF4y2Ba的gydF4y2Ba1gydF4y2Ba，初始水平位置gydF4y2Bax (t)gydF4y2Ba是gydF4y2Bar * sin(π/ 6)gydF4y2Ba．初始垂直位置gydF4y2Bay (t)gydF4y2Ba是gydF4y2Ba- r * cos(π/ 6)gydF4y2Ba．指定向量中变量的这些初值gydF4y2Bay0gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

任意设置其余变量的初始值及其导数为gydF4y2Ba0gydF4y2Ba．这些都不是很好的猜测。然而，它们足以解决这个问题。在你的问题中，如果gydF4y2BadecicgydF4y2Ba错误，然后提供更好的猜测和参考gydF4y2BadecicgydF4y2Ba．gydF4y2Ba

Y0est = [r*sin(pi/6);- r * cos(π/ 6);0;0;0;0;0);Yp0est = 0 (7,1);gydF4y2Ba

创建一个选项集，用于指定数值搜索的数值公差。gydF4y2Ba

Opt = odeset(gydF4y2Ba“RelTol”gydF4y2Ba10.0 ^ (7),gydF4y2Ba“AbsTol”gydF4y2Ba10.0 ^ (7));gydF4y2Ba

为变量及其导数找到一致的初值gydF4y2BadecicgydF4y2Ba．gydF4y2Ba

[y0,yp0] = decic(F,0,y0est，[]，yp0est，[]，opt)gydF4y2Ba

y0 =gydF4y2Ba7×1gydF4y2Ba0.4771 -0.8788 -8.6214 0 0.0000 -2.2333 -4.1135gydF4y2Ba

yp0 =gydF4y2Ba7×1gydF4y2Ba0 0.0000 00 -2.2333 00gydF4y2Ba

步骤6:解决DAEs使用gydF4y2Ba`ode15igydF4y2Ba`

求解时间范围内的系统积分gydF4y2Ba0gydF4y2Ba≤gydF4y2BatgydF4y2Ba≤gydF4y2Ba0．5gydF4y2Ba．将网格线和图例添加到情节中。gydF4y2Ba

[tSol,ySol] = ode15i(F，[0 0.5]，y0,yp0,opt);情节(tSol ySol (: 1: origVars),gydF4y2Ba“线宽”gydF4y2Ba, 2)gydF4y2Ba为gydF4y2Bak = 1:origVars S{k} = char(DAEvars(k));gydF4y2Ba结束gydF4y2Ba传奇(年代,gydF4y2Ba“位置”gydF4y2Ba，gydF4y2Ba“最佳”gydF4y2Ba网格)gydF4y2Ba在gydF4y2Ba

图中包含一个轴对象。axis对象包含3个line类型的对象。这些对象表示x(t) y(t) t (t)gydF4y2Ba

通过设置新值并重新生成函数句柄和初始条件来求解不同参数值的系统。gydF4y2Ba

集gydF4y2BargydF4y2Ba来gydF4y2Ba2gydF4y2Ba并重新生成函数句柄和初始条件。gydF4y2Ba

R = 2;F = @(t,Y,YP) F (t,Y,YP,g,m,r);Y0est = [r*sin(pi/6);- r * cos(π/ 6);0;0;0;0;0);[y0,yp0] = decic(F,0,y0est，[]，yp0est，[]，opt);gydF4y2Ba

求解系统的新参数值。gydF4y2Ba

[tSol,y] = ode15i(F，[0 0.5]，y0,yp0,opt);情节(tSol, y (: 1: origVars),gydF4y2Ba“线宽”gydF4y2Ba, 2)gydF4y2Ba为gydF4y2Bak = 1:origVars S{k} = char(DAEvars(k));gydF4y2Ba结束gydF4y2Ba传奇(年代,gydF4y2Ba“位置”gydF4y2Ba，gydF4y2Ba“最佳”gydF4y2Ba网格)gydF4y2Ba在gydF4y2Ba