实用介绍多分辨率分析

多分辨率分析是什么?

信号通常包含多个物理意义的组件。通常,你想研究一个或多个这些组件的隔离在同一时间尺度与原始数据。多分辨率分析是指一个信号分解成组件,产生原始信号什么时候补充道。为数据分析是有用的,如何将信号分解是很重要的。理想情况下,组件将数据的变化分解成物理意义和可翻译的部分。这个词多分辨率分析通常与小波和小波包有关,但有non-wavelet mra技术也产生有用。

作为一个激励的例子你可以获得一个MRA的见解,考虑以下合成信号。在1000赫兹信号采样1秒。

Fs = 1 e3;t = 0:1 / Fs: 1 - 1 / f;comp1文件= cos(2 *π* 200 * t) * (t > 0.7);comp2 = cos(2 *π* 60 * t) * (t > = 0.1 & t < 0.3);趋势=罪(2 *π* 1/2 * t);rng默认的wgnNoise = 0.4 * randn(大小(t));x = comp1文件+ comp2 + + wgnNoise趋势;情节(t, x)包含(“秒”)ylabel (“振幅”)标题(“合成信号”)

信号明确由三个主要组件:60 time-localized振荡频率的周期/第二,time-localized振荡与200次/秒的频率,和趋势项。这一趋势项也是正弦但有频率的1/2周期每秒,所以它只完成1/2周期在一秒钟的间隔。60周期/秒或60 Hz之间振荡发生0.1和0.3秒,而200 Hz之间振荡发生0.7和1秒。

不是所有的这是显而易见的从原始数据的情节因为这些组件混合。

现在,情节的信号频率的观点。

xdft = fft (x);N =元素个数(x);xdft = xdft(1:元素个数(xdft) / 2 + 1);频率= 0:Fs / N: Fs / 2;情节(频率,20 * log10 (abs (xdft)))包含(“周期/秒”)ylabel (“数据库”网格)在

从频率分析,对我们来说更容易辨别的频率振荡分量,但是我们失去了time-localized自然。也很难想象的趋势这一观点。

获得一些同步的时间和频率信息,我们可以使用连续小波变换时频分析技术(类)。

类(x, Fs)

现在你看到的时间区段60赫兹和200赫兹组件。然而,我们仍然没有任何有用的可视化的趋势。

时频视图提供了有用的信息,但在很多情况下你想分离组件的信号在时间和单独检查他们。理想情况下,您想要这些信息可在同一时间尺度与原始数据。

多分辨率分析完成。事实上,一个有用的方法是,它提供了一种多分辨率分析避免需要时频分析,同时允许您直接在时域中工作。

分离信号组件

真实世界的信号不同组件的混合物。通常你只对这些组件的子集感兴趣。多分辨率分析允许你缩小你的分析通过将信号分成组件在不同决议万博 尤文图斯。

提取信号组件在不同分辨率分解变化量在不同时间尺度上的数据,或者说在不同的频段(不同的振荡万博 尤文图斯)。因此,你可以想象在不同的尺度信号的变化,或同时频段。

分析和合成信号利用小波多分辨。分析了信号在8决议或水平。万博 尤文图斯

mra = modwtmra (modwt (x, 8));helperMRAPlot (x, mra t“小波”,小波多分辨的(2 3 4 9))

没有解释情节上的符号是什么意思,让我们用我们的知识的信号,试图理解这小波多分辨向我们展示什么。如果你开始的情节和继续直到你达到原始数据的情节,你看到组件变得越来越顺畅。如果你愿意考虑数据在频率方面,组件中包含的频率越来越低。回想一下,原始信号有三个主要部件,200赫兹的高频振荡,60赫兹的低频振荡和趋势项,被加性噪声。

如果你看一下 $$\underset{}{\overset{\sim }{D}}2$$情节,你可以看到time-localized高频组件是孤立的。你可以看到和调查这一重要信号特性本质上是孤立的。接下来的两个情节包含低频振荡。这是多分辨率分析的一个重要方面,即重要信号组件最终可能不会孤立在一种MRA组件,但是它们很少位于两个以上。最后,我们看到了 $$\mathrm{年代}8$$含有趋势项的阴谋。为了方便起见,这些组件的轴的颜色改变了强调在MRA。如果你喜欢想象这个情节或后续没有突出,离开最后一个数字输入helperMRAPlot。

小波多分辨使用固定的函数调用小波信号分离组件。的k小波多分辨组件,用 $$\underset{}{\overset{\sim }{D}}k$$在前面的情节,可以被视为一个过滤信号频带的形式 $(\frac{1}{2^{k+1}\Delta t},\frac{1}{2^k\Delta t}]$在哪里 $\Delta t$是采样周期或采样间隔。最后顺利组件,用情节的表示 $$\mathrm{年代}l$$,在那里 $$l$$MRA的水平,抓住了频段 $(0,\frac{1}{2^{l+1}\Delta t}]$。这个近似的精度取决于所使用的小波多分辨。参见[5)的小波和小波包查看详细描述。

然而,还有其他的MRA技术考虑。

的经验模态分解(EMD)是一个data-adaptive多分辨率技术。EMD递归地从数据中提取不同的决议不使用固定的函数或过滤器。万博 尤文图斯EMD作为一个信号组成的快振荡叠加在一个慢一个。快速振荡提取后,剩余的过程将组件作为新的信号慢又认为这是一个快速振荡叠加在一个较慢的。这个流程将继续,直到一些停止准则。虽然EMD使用固定函数不像小波来提取信息,EMD方法在概念上非常相似的分离信号的小波方法细节和近似然后再将近似成细节和一个近似。EMD被称为MRA组件固有模态函数(货币基金组织)。参见[4为详细治疗EMD)。

情节EMD分析相同的信号。

[imf_emd, resid_emd] = emd (x);helperMRAPlot (x, imf_emd t“emd”,经验模态分解的(1 2 3 6))

尽管MRA组件的数量不同,EMD和小波多分辨信号产生一个类似的情况。这不是偶然的。参见[2)之间的相似之处的描述小波变换和EMD。

EMD分解,高频振荡是本地化的第一个固有模态函数(IMF 1)。较低的频率振荡是本地化主要国际货币基金组织(IMF) 2,但是你也可以看到一些影响国际货币基金组织(IMF) 3。组件的趋势在国际货币基金组织(IMF) 6非常类似于趋势分量提取的小波技术。

自适应多分辨率分析的另一个技术变分模态分解(VMD)。像EMD, VMD试图提取固有模态函数,或模式的振荡信号不使用固定的功能进行分析。但EMD和VMD确定模式以非常不同的方式。EMD作品递归的时域信号中提取货币逐步降低频率。VMD首先在频域中识别信号的峰值和提取所有并发模式。参见[1VMD的治疗。

[imf_vmd, resid_vmd] = vmd (x);helperMRAPlot (x, imf_vmd t“vmd”,“变分模态分解”(2 4 5))

关键要注意的是,类似于小波和EMD分解,VMD将感兴趣的三个组件成完全独立的模式或少量的相邻模式。所有三个技术允许您可视化信号组件与原始信号相同的时间尺度。

有data-adaptive技术实际上基于构造小波滤波器的频率内容数据。这种技术是经验的小波变换(易)3]。EMD的一个主要的批评是,它的定义是纯粹的算法。因此,它不容易适合数学分析。易迈耶另一方面实际上构造小波的基础上,分析信号的频率的内容。因此,易顺从的数学分析的结果,因为过滤器用于分析用户是可用的。重复使用易合成信号的分析。

[mra_ewt, cfs, wfb信息]=易(x,“MaxNumPeaks”5);helperMRAPlot (x, mra_ewt t“易”,“经验小波变换”(1 2 3 5))

类似于前面的EMD和小波多分辨技术,易有孤立的振荡组件和趋势几个固有模态函数。然而,与EMD过滤器用于执行分析和通频带信息给用户。

Nf =长度(x) / 2 + 1;cf =意味着(info.FilterBank.Passbands, 2);f = 0: Fs /长度(x): Fs-Fs /长度(x);clf ax = newplot;情节(ax, f (1: Nf), wfb (1: Nf,:)) ax。XTick =排序(cf。* Fs);斧子。XTickLabel = ax.XTick;包含(“赫兹”网格)在标题(“经验Meyer小波”)

易技术的另一个优点是,分析系数保留原始信号的能量。这个属性是共享的非自适应的小波技术,但没有找到non-wavelet自适应技术。

EWTEnergy =总和(vecnorm (cfs, 2) ^ 2)。

EWTEnergy = 875.5768

sigEnergy =规范(x, 2) ^ 2

sigEnergy = 875.5768

对于分离有用的组件的一个真实的例子,考虑一个地震仪(垂直加速度, $$\text{纳米}/{\text{年代}}^2$$神户地震),记录在塔斯马尼亚大学,霍巴特,澳大利亚1995年1月16日开始20:56:51 (GMT)和持续的51分钟1秒的间隔。

负载KobeTimeTableT = KobeTimeTable.t;科比= KobeTimeTable.kobe;图绘制(T,科比)标题(“神户地震地震仪”)ylabel (“垂直加速度(nm / s ^ 2)”)包含(“时间”)轴紧网格在

获取数据的小波多分辨和阴谋。

mraKobe = modwtmra (modwt(科比,8));图helperMRAPlot(科比,mraKobe T“小波”,小波多分辨神户地震的[4 - 5])

情节展示了初级和次级波延迟组件分离MRA组件 $\underset{}{\overset{\sim }{D}}4$和 $\underset{}{\overset{\sim }{D}}5$。组件在不同地震波旅行速度与主(压缩)波传播速度超过二次(剪切)波。MRA技术可以使您能够孤立地研究这些组件在原来的时间尺度。

重构的信号多分辨

分离信号的点为组件通常是删除某些组件或减轻它们对信号的影响。MRA技术的关键是能够重建原始信号。

首先,让我们证明,所有这些多分辨率技术允许您完全重构的信号组件。

sigrec_wavelet =总和(mra);sigrec_emd = (imf_emd 2) + resid_emd总和;sigrec_vmd = (imf_vmd 2) + resid_vmd总和;图次要情节(3、1、1)的阴谋(t, sigrec_wavelet);标题(“小波重建”);集(gca),“XTickLabel”[]);ylabel (“振幅”);次要情节(3、1、2);情节(t, sigrec_emd);标题(“EMD重建”);集(gca),“XTickLabel”[]);ylabel (“振幅”);次要情节(3、1,3)情节(t, sigrec_vmd);标题(“VMD重建”);ylabel (“振幅”);包含(“时间”);

最大的重建误差在取样的基础上为每个方法的顺序 $10^{-\; -\; -\; -\; -\; -12}$或更小,表明他们是完美的重建方法。因为MRA之和组件重构原始信号,顺理成章地,包括或不包括组件的子集可以产生一个有用的近似。

回到我们最初的合成信号的小波多分辨和假设您不感兴趣的趋势项。因为过去的趋势项是本地化MRA组件,刚从重建排除该组件。

sigWOtrend =总和(mra (1: end-1,:));图绘制(t, sigWOtrend)包含(“时间(s)”)ylabel (“振幅”)标题(“趋势项消除”)

删除其他组件,您可以创建一个逻辑向量假您不希望包含在组件值。这里我们把趋势和最高频率分量与第一种MRA分量(这似乎主要噪声)。情节的实际第二信号组件(60 Hz)以及重建比较。

包括= true(大小(mra (1), 1);包括([1 2 9])= false;ts =总和(mra(包括:));情节(t, comp2“b”)举行在情节(t, t,“r”)标题(“趋势项和最高频率分量删除”)包含(“时间(s)”)ylabel (“振幅”)传说(《组件2》,“部分重建”)xlim ([0.0 - 0.4])

在前面的例子中,我们对趋势项作为妨害组件被删除。有许多应用程序,这一趋势可能感兴趣的主要组件。让我们想象mra趋势项提取的三个例子。

图绘制(t)的趋势,“线宽”,2)在情节(t, mra(最终,:)imf_vmd(:,结束)imf_emd(:,结束)mra_ewt(:,结束)])网格在传奇(“趋势”,“小波”,“VMD”,“EMD”,“易”)ylabel (“振幅”)包含(“时间(s)”)标题(在三种mra的趋势)

注意,这一趋势是平滑和最准确的捕捉到小波技术。EMD找到一个平稳的趋势项,但它是关于转向真正的振幅而VMD技术趋势似乎更偏向发现振荡比小波和EMD方法。这是进一步讨论的的含义MRA技术,优点和缺点部分。

利用多分辨检测瞬态变化

在前面的例子中,这个角色的多分辨率分析振荡分量的检测数据和总体趋势是强调。然而,这些并不是唯一的信号特性,可以使用多分辨率分析分析。MRA可以帮助定位和检测信号中的瞬态特性像冲动的事件,或减少或增加变化在某些组件。可变性本地化特定尺度的变化或频带通常表明显著变化过程中产生的数据。这些变化往往更容易查看组件的可视化比原始数据。

为了说明这一点,考虑到季度chain-weighted美国实际国内生产总值(GDP)数据,1947年第一季度到2011年第四季度。季度样本对应的采样频率4样品/年。垂直黑线标志着“大缓和”的开始标志着一段时间的下降在美国宏观经济波动在1980年代中期开始。注意,这是很难辨别查看原始数据。

负载GDPDatarealgdp图绘制(年)在情节([(146)年(146)],[-0.06 - 0.14],“k”)标题(“GDP数据”)包含(“年”)举行从

获得一个GDP数据的小波多分辨。情节最好的分辨率MRA组件与大稳健时期明显。因为获得小波多分辨使用固定过滤器,我们可以将细尺度上查看组件与频率每年1周期每年2周期。一个组件与一段时间的振荡两个季度的频率每年2周期。在这种情况下,捕捉到的最好的分辨率查看组件的变化发生在相邻两个季度之间间隔的GDP季度季度发生的变化。

mra = modwtmra (modwt (realgdp“db2”));图绘制(一年,mra (1:))在情节([(146)年(146)],[-0.015 - 0.015],“k”)标题(“小波多分辨每季度变化”)包含(“年”)举行从

减少变化,或在经济方面波动,更显而易见在最好的分辨率查看组件比原始数据。技术来检测变化方差MATLABfindchangepts(信号处理工具箱)经常工作在MRA组件比原始数据。

MRA技术,优点和缺点

在这个例子中,我们讨论了小波多分辨率分析和data-adaptive技术。有什么优点和缺点的各种技术?换句话说,应用程序可能我选择一种什么?让我们开始与小波。小波技术在本例中使用固定过滤器获取MRA。这意味着小波多分辨一个定义良好的数学解释,我们可以预测MRA的行为。我们还能把事件查看特定时间尺度的GDP数据就像做的例子。缺点是小波变换将信号划分为八度乐队(中心频率的减少1/2每个组件),以便在高中心频率带宽远比在较低的频率。这意味着两个紧密间隔的高频振荡可以很容易地结束在同一种MRA与小波技术组件。

重复第一个合成的例子但移动两个振动组件在一个八度。

Fs = 1 e3;t = 0:1 / Fs: 1 - 1 / f;comp1文件= cos(2 *π* 150 * t) * (t > = 0.1 & t < 0.3);comp2 = cos(2 *π* 200 * t) * (t > 0.7);趋势=罪(2 *π* 1/2 * t);rng默认的;wgnNoise = 0.4 * randn(大小(t));x = comp1文件+ comp2 + + wgnNoise趋势;情节(t, x)包含(“秒”)ylabel (“振幅”)

小波多分辨重复和阴谋。

mra = modwtmra (modwt (x, 8));helperMRAPlot (x, mra t“小波”,小波多分辨的,9 [2])

现在我们看到, $\underset{}{\overset{\sim }{D}}2$同时包含150赫兹和200赫兹组件。如果你使用EMD重复这一分析,你看到相同的结果。

现在让我们使用VMD。

[imf_vmd ~, info_vmd] = vmd (x);helperMRAPlot (x, imf_vmd t“vmd”,“VMD”,(1 2 3 5]);

VMD能够独立的两个组件。高频振荡本地化的国际货币基金组织(IMF) 1,而第二个组件是分布在两个相邻货币基金。如果你看估计VMD的中心频率模式,这项技术本地化的前两个组件大约200和150赫兹。第三国际货币基金组织(IMF)有一个中心频率接近150 Hz,这就是为什么我们看到第二个组件在两种MRA组件。

info_vmd.CentralFrequencies * Fs

ans =5×1202.7204 153.3278 148.8022 84.2802 0.2667

VMD能够这样做是因为它首先识别候选中心频率为首先通过观察数据的频域分析。

在小波多分辨不能分开两个高频组件,有一个额外的小波包MRA可。

wpt = modwptdetails (x, 3);helperMRAPlot (x,翻转(wpt), t,“小波”,“小波包查看”[5 6 8]);

现在你看到两个振荡是分开的 $\underset{}{\overset{\sim }{D}}5$和 $\underset{}{\overset{\sim }{D}}6$。从这个例子中,我们可以提取一般。如果一个初始波或EMD分解显示组件率明显不同的振荡在同一个组件,考虑VMD或小波包MRA。如果你怀疑你的数据在频率高频率成分接近,VMD或小波包方法通常会比小波或EMD方法。

召回的问题,提取一个平稳的趋势。重复小波多分辨和EMD。

mra = modwtmra (modwt (x, 8));helperMRAPlot (x, mra t“小波”,小波多分辨的,9 [2])

imf_emd = emd (x);helperMRAPlot (x, imf_emd t“EMD”,经验模态分解的(1 2 6))

趋势提取小波和EMD方法更接近真正的趋势比VMD和小波包提取的技术。VMD本质上是偏向发现窄频振荡组件。这是一个强度检测密集VMD的振荡,但一个缺点当数据中提取平稳的趋势。也是一样的小波包分解时mra超越几的水平。这就引出了第二个一般建议。如果你有兴趣在您的数据描述一个平滑的趋势识别或移除,尝试一个小波或EMD方法。

如何检测瞬态变化的国内生产总值数据?让我们重复使用VMD GDP分析。

[imf_vmd, ~, vmd_info] = vmd (realgdp);图次要情节(2,1,1)情节(一年,realgdp)标题(实际国内生产总值的);持有在情节([(146)年(146)],[-0.1 - 0.15],“k”)举行从次要情节(2,1,2)情节(一年,imf_vmd (: 1));标题(“第一VMD国际货币基金组织(IMF)”);包含(“年”)举行在情节([(146)年(146)],[-0.02 - 0.02],“k”)举行从

而最高频率VMD组件似乎也显示了一些减少变化从1980年代中期开始,它不是很明显在小波多分辨。因为VMD技术偏向发现振荡,有实质性的响了第一个VMD国际货币基金组织(IMF)掩盖了波动性变化。

重复使用EMD分析。

imf_emd = emd (realgdp);图次要情节(2,1,1)情节(一年,realgdp)标题(实际国内生产总值的);持有在情节([(146)年(146)],[-0.1 - 0.15],“k”)举行从次要情节(2,1,2)情节(一年,imf_emd (: 1));标题(“第一EMD国际货币基金组织(IMF)”)包含(“年”)举行在情节([(146)年(146)],[-0.06 - 0.05],“k”)举行从

EMD方法是找到波动性的变化那么有用(方差)。在这种情况下,固定函数在小波多分辨比数据自适应技术更有利。

这导致我们最后的一般规则。如果你有兴趣检测瞬态变化的一个信号脉冲事件减少和增加的可变性,试试小波技术。

结论

这个例子展示了多分辨率分解技术,如小波,小波包,经验模态分解,小波,经验和变分模式分解信号组件允许你研究相对隔离在同一时间尺度与原始数据。每个技术证明了自己强大的应用程序。的例子给了几条建议让你开始,但这些不应该被看作是绝对的。下表整理MRA技术这里给出的属性以及一些一般的经验法则。2分表示一个特定的力量,一加表明技术是适用的,但是不是一个特别的力量。等一个二进制属性保存的能量分析,一个复选标记表明这项技术有这个属性和一个“x”表示属性是缺席。

与信号多分辨率分析,可以对信号进行多分辨率分析,获取度量各种MRA组件,实验部分重建,并生成MATLAB脚本复制在命令行分析。

引用

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