微分方程和线性代数,3.3 c:特征值和稳定性:2×2矩阵A
从系列:微分方程和线性代数
吉尔伯特-斯特朗,麻省理工学院(MIT)
两个方程y ' =唉是稳定的(解决方案方法零万博 尤文图斯)的痕迹一个是消极和行列式是正的。
这是一个很好的时间做两个两个矩阵,特征值,和稳定性。两个两个特征值是最简单,最容易理解。好分开两个的两个案例后n×n的特征值问题。
当然,我记得特征值和特征向量的基本教义。我们正在寻找一个矢量,x,和一个数字,λ,特征值,因此Axλx。换句话说,当我乘上一个,特殊的向量x不改变方向。
它只是改变长度系数λ,这可能是积极的。可能是零。可能是负面的。可能是复数。不过,这是一个数量。这是方程的关键。
让我往它的解决方案。所以我想搬到左边。所以我就写同样的方程。现在我看到,这个矩阵乘以向量给我0。
现在,当这有可能吗?这个矩阵不可逆的。如果是可逆的,唯一的解决方案是x = 0。没有好。所以这个矩阵必须是单数。
这是决定它必须是0。现在我们有一个方程的特征值λ。所以λ是多少我们转移矩阵行列式0。我们通过λ乘以单位转变从对角线减去。
所以我可以从非常简单的2×2的矩阵,我们第一次见的那种,叫做一个同伴矩阵。所以我们遇到这个矩阵,当我们有一个二阶方程。所以我开始与方程y ' ' + ' + Cy = 0。
所以我开始用一个二阶方程。然后我介绍了y '作为第二未知。现在我有一个矢量未知,y, y '。然后,当我写下方程——我不会重复,它把我们带到一个2×2的矩阵。
两个方程两个未知数,y, y '。这是一个2×2的矩阵,我们感兴趣的。但是我们真的是两个两个地感兴趣。让我把这个矩阵A,我的同伴矩阵。
我只是想通过寻找其特征值的步骤。矩阵的特征值是什么?我们只是把矩阵,对角减去λ,行列式。当我把一个2×2的矩阵的行列式,只是乘以,等于-λ乘以-λλ的平方。
这给了我一个Bλ。和其他行列式是这个产品的一部分,- c,但是它有一个负号,所以+ c .这是我的方程矩阵特征值的伴侣。当然你看到相同的方程,我们的指数。
所以λ为矩阵情况下是一样的年代,s1和s2的单一的二阶方程。所以这个方程有解e圣当矩阵特征值λ等于年代万博 尤文图斯。同样的s1和s2。
但是现在我继续2×2的矩阵。它的特征是什么?这两个特征值方程的样子吗?所以这将是一个特殊情况。
在这里,我有一个通用的矩阵a, b, c, d。我减去λ的对角线。我正在行列式。给我两个特征值。让我们做它。
-λ乘以-λλ的平方。然后我有一个-λd和a -λ。所以我有一个+ dλ。然后我有部分不涉及λ。这部分不涉及λ的行列式,b, c, d。它只是广告和- bc。
有一个广告- bc,是0。这是一个二次方程,第二学位。一个2×2的矩阵有两个特征值,这个方程的两个根。我只是想了解越来越多的连接根,λ1λ2、矩阵a, b, c, d。
如果我知道2×2的矩阵,这告诉我特征值。所以这将成为一个二次方程有两个根源。如果我的因素,这将因子λ-λ1乘以λ-λ2。当然,如果数字是好的,那么我能看到λλ1和2是什么。
在这种情况下,我发现特征值。如果数据不好,λ1和λ2来自二次公式,b - b +或-√平方- 4 ac。二次公式解这个方程,告诉我这两个数字。
如果我用这种方式,我看到λ的平方。我看到-λ乘以λλ1和2。然后我看到+λ1乘以λ2 = 0。在这里,我写的方程两个λ。在这里,我写方程当我知道两个λ。
为什么我这样做?我想把这个和这个,看到这个数字,不管它是什么,是一样的。他们出现在那里,负的系数λ。这是第一步,λ1 +λ2是一样的一个+ d。
只匹配这两个方程。这就像一个普遍的事实是一个二次方程。根之和-系数λ。然后是常数项是常数项。所以λ1乘以λ2是ad - bc。
这是关于一个2×2的矩阵,a, b, c, d,特征值之和。这是特征值之和,所以我把s-u-m表明我看着之和——是一个+ d + d。对角线上的数字。这是有点特殊。
当我添加对角线数字,我所谓的跟踪矩阵。我介绍一个词,跟踪。跟踪是对角线上加起来。和相匹配的+ d。
这是产品的特征值λ1乘以λ2。这就是产品。等于a的行列式。我只是让所有的连接都特别2×2。
所以如果我写下一些矩阵,我们可以立即看他们。让我写下一个矩阵。假设我写下这个矩阵。哦,我让他们0,1,0,4——啊,让我改进这一点。
2、4、4、9。2、4、4、2会更容易。对不起。我看那个矩阵。我立刻看到的两个特征值矩阵添加到4。2加2等于4。我把跟踪。
的两个特征值矩阵乘以行列式,这是2 * 2 = 4 - 16 - 12所示。所以这里的总和,矩阵是4。这个矩阵的行列式是4 - 16 - 12所示。
也许我能想出的两个数增加4 - 12和繁殖。我认为,事实上,6 - 2。我认为这里的特征值是6 - 2,因为这些加起来4,跟踪,他们6乘以2 - 12所示。这是决定因素。
两个两个矩阵,你有一个好的机会看到到底发生了什么。现在,我的兴趣今天视频是使用,使用特征值,决定稳定性。稳定意味着微分方程的解决方案去0。万博 尤文图斯
我们记住的解决方案是e的圣,这是一样的e万博 尤文图斯的λt。s和λ都来自相同的方程的二阶方程简化为一个同伴矩阵。所以我感兴趣的特征值为负。
特征值负是什么时候?或者如果他们复杂的数字,当他们真正的部分负面的。所以我们能记住跟踪、总和、产品,行列式。然后回答的稳定性问题。
所以我准备好稳定。所以稳定性意味着λ1 -和2λ-。这是真实的情况。或在复杂情况下,λ=一些+和-实部虚部。然后我们要实部是负的。
真正的λ的一部分,这是一个,应该是0。这就是我们的要求。如果特征值是复杂的,我们得到一对他们和真正的部分应该是e的0——点关于这个- e的在0。点关于这些-λ是e的λt会为0。
这是稳定。我的问题是,是什么测试矩阵特征值决定这个呢?我们可以看看矩阵——也许我们没有找到这些特征值。也许我们可以使用的事实。
再一次,事实是,λ1 +λ2是跟踪和λ1乘以λ2是行列式。我们可以读这些数字从矩阵。还有一个二次方程。
但是如果我们只是想知道信息,如特征值是负值?他们的真实部分负的?从这些数字中我们可以得到这些信息没有发现二次方程的特征值。不会很难做到,但我们没有去做。
假设我们有两个负特征值。当然,这意味着跟踪将是负面的。因为跟踪特征值之和。如果这些都是负面的,跟踪是负的。所以我们可以检查跟踪。
行列式呢?如果这是消极负面的,然后乘以这些会给一个正数。所以行列式应该是积极的。所以跟踪小于0。行列式大于0。稳定性试验。
稳定性试验。稳定。2×2的矩阵A, B, C, D,如果它的跟踪是负和它的行列式是正的,是稳定的。这是测试。
实际上,它是如果λ出来复杂,因为λ1 +λ2——λ1 + iω。λ2是一个-ω。金额是2。我们希望它是负的。
所以,跟踪负面。跟踪-即使是真实的或如果他们复杂的根。还告诉我们,根之和是负的行列式也有效。
如果加上iω乘以- iω,在这种情况下,λ1乘以λ2——如果我用这些数字,我得到一个平方加上ω的平方。加上。这是积极的。我们很好。
所以我的结论是这是稳定性的测试。我可以把它应用到几个矩阵。我写了几矩阵。我能看看这个测试,你能看看这个测试,应用它。
这是一个例子。说- 2,- 1,3,4。这是什么好吗?跟踪是- 3。这很好。行列式是2 - 12 - 10。这是不好的。这是不好的。
这是不稳定的。有消极的因素。不稳定的。所以我把x通过。不稳定的。
我需要一个稳定的一个。稳定的一个,我想要像- 5,和1,假设。没关系。跟踪是负的。- 4。现在我想让行列式积极。
所以也许我最好把6 - 7。只是选择数字。所以现在行列式是- 5 + 42。一个很大的正数。和行列式测试通过。这是好的。一个将是稳定的。
如果这是我的矩阵A,那么解决dy dt等于Ay, y '平等啊是我的万博 尤文图斯微分方程。这两个解决方案,万博 尤文图斯将跟踪特征向量-λ。-λ,因为跟踪-和行列式是正的。通过稳定性试验和解决方案去负无穷。万博 尤文图斯
这是两个两个地。谢谢你!
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