求解常微分方程在MATLAB, 10:滚筒
从系列:在MATLAB求解常微分方程
抛出一个带有三种不同长度的矩形对象(如麦片盒),到空气中。你可以得到这个盒子下跌对其最长轴稳定,或对其最短轴。但如果你想让它下跌轴中间,你会发现运动是不稳定的。角动量的模型是一个非线性系统的三个微分方程。有六个关键点:相对应的四个长和短轴是稳定的;相对应的两个中间的轴不稳定。
这是微分方程的角动量滚筒。试着把一本书,或者一个盒子,或任何三维直线的对象都是不同的,在空中转折,下跌。
你可以去对其最长轴旋转,或对其最短轴。但是你不能对其中心轴旋转。让我们看看这一现象数值。
这是匿名函数定义那些一分之三阶微分方程组。现在我要开始一个初始条件的第一个临界点附近。1 0 0是一个关键时刻。我需要一个随机数的0.2倍,接近临界点,然后正常化,长度为1。
所以最大的组件是第一个组件。和其他两个都很小,但不是太小了。这是一个简单的数值问题。这里没有刚度有关。所以我将使用ODE 23日从0到10积分,这是解决方案。
蓝色的组件是第一个,它保持接近1。和其他两个周期,旋转在0。让我们回过头来再启动条件。这是一次。
现在另外两个组件都很小。当我们集成,蓝色分量保持平接近1。和其他两个人几乎没有变动。
现在我要去第三个临界点,0,0,1。做同样的事情。把附近的一个随机数。使用ODE 23。现在黄色组件保持接近1。和其他两个移动定期0。
运行一遍。第三部分是接近1。另外两个不太大。和运行ODE 23。附近的其他组件保持1。和其他两个旋转周期性0。
现在我们要去中间的临界点。我们要试着让盒子中间绕着它的轴旋转。第二个组件是一个接近1。现在我们看到完全不同的行为。
这个黄土组件不保持接近1。它下降接近1,回来了。让我们整合在一段时期内,我们可以看到的行为。
这是周期性的。但它下降到1,返回1。和另外两个大的振幅在0。这是不稳定的中间临界值。
让我们做一次。同样的事情。1到1,后退。这是周期性的。这些解决方案万博 尤文图斯都是周期性的。但这中间临界点是不稳定的。现在我想把这些不同的方式,以图形方式。
微分方程这三个关键点。任何解决万博 尤文图斯方案开始正是在这些初始条件。但是如果你开始接近这些初始条件?
原来,x和z是稳定的临界点。但y是一个不稳定的临界点。如果附近的角动量是x z或附近,那里附近停留。但如果它开始在y,它移动得很快。
你可以认为是短轴(x, z是长轴。短轴附近的旋转是稳定的。长轴附近和旋转稳定。但旋转中间的轴附近是不稳定的。
我们可以看到,在以下图形。事实证明,如果一个解决方案从一个初始条件,规范1,它就与标准1。所以住在单位球面上的解决方案。
这是我们单位与我们分享三临界点,x, y,和z。如果这是地球,z将北极。六月子午线跨越赤道轴。在东大西洋,从西非。y将是第90子午线穿过赤道的地方。在印度洋,西苏门答腊。
如果我们从x附近一个初始条件,稳定的解绕x。在短轴旋转。如果我们从z附近的一个初始条件,稳定的解决方案绕z。在长轴旋转。
但是如果我们开始在y,解决方案,到附近- y,转身,回到y。周期性,但清晰的世界各地。原来,实际上是一个圆,一个绕x。
如果我们略高于y,我们得到一个绕z。下降略低于y,我们得到一个轨道- z。去y的权利,我们得到一个轨道- x。
让我们放大一点。我们可以看到,y是一个典型的不稳定的临界点。让我们最后,画一些轨道。
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