许多数学模型都涉及高阶导数。但MATLAB ODE求解器只适用于一阶常微分方程组。所以我们必须重写模型，使之只包含一阶导数。让我们看看如何用一个非常简单的模型来做，谐振子。

x ' ' + x = 0。这涉及到二阶导数。为了把它写成一个一阶系统，我们引入了向量y，这是一个有两个分量的向量，x，以及x的导数。

我们只是改变符号，让y的两个组成部分，x和x素数。那么y的衍生物是与x和x双撇载体中。所以微分方程现在变成Y2素加Y1等于零。你看我们如何改写只是这个微分方程。所以Y2主要是打X的双质数？

一旦你做到了，一切很容易。矢量系统现在Y1，Y2主要是Y2减去Y1。第一个组件表示Y1主要是Y2。这只是说，第一部分的导数是第二。这里的微分方程本身。Y2主要是减去Y1是实际的谐振子微分方程。

当我们写这篇文章，作为MATLAB的自治功能，这里的自治功能。f是吨和y的自主功能，即不依赖于吨。首先，它现在是一个向量，列向量。f的第一组分是Y2。而第二部分是-Y。

这里的第一个组件就是一个符号的问题。所有的内容是在所述第二部件，其表达的微分方程。

现在对一些初始条件 - 假定初始条件为0 x是0，且x素的0是1。在向量y的方面，这是0 Y1，y的第一分量是0和第二成分为1。

或者用向量表示，初始向量是。这意味着它们的解是sin (t)和cos (t)当我们在MATLAB中写出初始条件时，它是列向量。

让我们打开MATLAB命令窗口。这是微分方程。y1 '等于y2。y2 ' = -y1。这是谐振子。

我们将整合从0到2PI，因为他们是三角函数。我要去超过36索要输出2 pi的步骤，它相当于每10度像在机场跑道。

我将需要一个初始条件。Y0为0。我需要一个列向量，0，1，对于两个组件。我将使用ODE45，如果我不带输出参数，微分方程F，T跨越的时间间隔ODE45和Y0初始条件调用它。

如果我打电话ODE45没有输出参数，它只是自动绘制的解决方案。在这里，我们得到从1开始的余弦吨图表，从0开始正弦吨。

现在，如果我回到命令窗口，并要求获取在T和y的输出，我再拿到输出的载体。37个步骤，向量t和两个分量Y，含正弦和余弦的两列。现在我可以在相平面上画出它们。

用y2来对付ya。如果我把坐标轴正规化，就会得到一个很好的圆，每10度画一个小圆，就像我说的，就像机场的跑道一样。

1927年，荷兰的一位电气工程师引进了范德堡尔振荡器，用来模拟真空管电路中的振荡。它有一个非线性阻尼项。它被用于各种领域的现象建模，包括地质学和神经学。

它具有混沌行为。我们感兴趣的是它的数值分析，因为，作为参数亩的增加，越来越多的问题变得僵硬。为了写它作为与MATLAB ODE求解器使用一阶系统中，我们介绍了矢量y，含x和x素数。

桑尼主要为x素数，X双撇。然后微分方程写入，从而y总理的第一部分是Y2。然后微分方程被写入y的第二组分。

这里的非线性阻尼项减Y1。当mu为0时，这成为谐波振荡器。在这里，它是作为匿名函数。

让我们运行一些实验用范德波尔振荡器。首先，我必须定义亩的价值。我来接亩的适度值。穆等于100现在与万亩设置，我可以定义匿名函数。

它包含了mu的值。这是f的第二部分的范德堡尔方程，我要收集关于ODE求解器工作有多努力的统计数据。为此，我将使用ODE set，告诉它我想打开stats。

我需要一个初始条件。现在我要运行ODE45来解决这个问题。我指定了一个t的起始值，和一个t的终值，ODE45会选择它自己的时间步长。我知道t等于460，它会对它积分大约两个周期的解。

现在我们可以看一会儿了。这需要很多步骤。随着越来越多的步骤，它开始变慢。现在，它开始变得痛苦缓慢，因为它运行到僵硬。

我会在这里关闭相机一段时间，所以你不必看所有这些步骤。我们正试图在这里获得高达460我会打开它，因为我们得到接近尾声。

好吧，摄像机已经关了三分钟了。你可以看到我们已经走了多远。我们离结束还很远。我要按下停止按钮。我们回到命令窗口。

呵呵，所以我们没有到达终点这里。让我背过的时间间隔，在这里试试这个值。请参阅如何工作的。因此，这将仍然需要很多步骤。

但是，我们将能够中场休息这将大大超过约一个周期。我们将真正得到这里结束。

我要把相机开着，直到我们结束。这花了不到一分钟的时间。它走了近15000步。我们用一个简单的解算器算一下。

在那里。所以只花了半秒钟，走了500步。这里有一个刚度的简单例子。我们用刚性解方程来检验范德堡尔方程。让我们捕获输出并绘制它。

因为那个情节不是很有趣。我想用几种不同的方法来画。再一次，我想回到。抓住几个时期。

我们来画一个电流分量作为时间的函数。就是这个。这是范德波尔方程。

你可以看到它有一个初始过渡，然后落户到这里与这些真正的陡峭尖峰周期振荡。即使这种僵硬的求解器在这些快速变化的努力。我们已经有了点相当数量的在这里，因为这是它选择的步长。

现在，让我们回到命令行，做一个相平面情节。因此，这里的这个振荡阻尼的相平面情节。而且它远不及一个圆，它是，如果亩为0。

这是范德波尔振荡器的特征行为。