MATLAB的答案

我有一个非常简单的马尔可夫链和我想知道如果有一个简化方程乘以每个州花

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没有人
没有人 2022年8月18日
编辑: 没有人2022年8月31日
我有下面的马尔可夫链的转移矩阵。
M = (1 - p, p 0,0,……;
p 0 1 - p 0 ....;
p, 0, 0, 1 - p ....;
…]
即所有M (: 1) = p和M (i, i + 1) = 1 - p。M (i, j)跃迁概率从我到j。链可能是无限的,但是数值我猜它会没事的说只有100个国家,因为每个国家都是越来越难,因为那里从状态1的概率是(1 - p) ^我,我每一步可能回落状态1。
这似乎是显而易见的,时间我= 2:n躺在一个指数衰减函数。但我没有直觉= 1。
任何想法获得 公式的 (模拟)乘以花作为p的函数?
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约翰D 'Errico
约翰D 'Errico 2022年8月22日
看到我的答案,我给足够的解决方案允许你推导出最终的公式。无限的转移矩阵大小,你可以看到它如何工作。我没有提供一个完整的解决方案,因为我认为这太可能作业以某种形式。

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在回答这个问题。

接受的答案

约翰D 'Errico
约翰D 'Errico 2022年8月22日
编辑:约翰D 'Errico 2022年8月22日
跑:
这甚至不是一个关于MATLAB的问题。更糟的是,这很可能是作业问题。然而,既然你得到答案,我将提出如何处理这个问题。
你国家有一个有效的转移矩阵,本质上的函数的变量p。它是形式
M = (1 - p, p 0,0,……;
p 0 1 - p 0 ....;
p, 0, 0, 1 - p ....;
…]
但是你状态这是一个无限的转换矩阵,所以我们从来没有真正有最后一行。然后你指出的那样,只要p是零,那么probabilty是高,你将永远不会让它过去的状态,如果矩阵是有限的,因为最后一个状态的概率是(1 - p) ^ (n - 1)。有限马尔可夫链转移矩阵,我们可以编写矩阵有一个相当简单的最后一行。例如,我们可能会设置最后一行总是返回状态1的过程,如果它曾经进入最终状态。(我们不希望最终状态是一个吸收。)
M = @ (p, n)诊断接头(repmat (1 - p, n - 1, 1), 1) + [[repmat (p, n - 1, 1), 1], 0 (n, n - 1)];
现在我们可以构建一个简单的矩阵,来验证我正确地建造它。
信谊p
M (p, 5)
ans =
所以一个小矩阵,只是向你展示它是什么样子,我正确地生成它。我写了,如果这个过程状态5,它总是滴回到状态1。我们如何找到长期的状态概率?我们可以使用特征值,但对于任何值n,是相当大的,我们知道执行分析的矩阵将太大特征值分解。无论如何,有一个简单的解决方案。我们已经知道我们关心的特征值是1,我们只是希望相关的特征向量。考虑一个例子,对于一个10 x10矩阵。我这样做你可以获得一些直觉的解决方案。
steadyStateTimes = null (M (p, 10)。”——眼(10))
steadyStateTimes =
你可以花一些时间思考为什么。(嘿,不是我的作业,所以你需要做一些思考。)不要担心什么似乎是负数,因为p小于1,所以提高(p - 1)到一个奇怪的力量也会是负面的。然而,这个向量不是按比例缩小的总和为1。我们需要做的,之前是有意义的。这看起来像p = = 0.5 ?
潜艇(steadyStateTimes /笔(steadyStateTimes), p, 5)
ans =
这看起来像我预期的那样的世界。你的总体想法看起来像什么?你也应该能够推断的解决方案是一般矩阵的大小为n, p的函数,这肯定是某种形式的作业,我已经做了太多。
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没有人
没有人 2022年8月31日
编辑:没有人 2022年8月31日
谢谢大家的支持!万博1manbetx
约翰和威廉是正确的,我没有定义矩阵的最后一行。(1 0 0 ....0]是一个很好的解决方案。
为了加快速度,我使用约翰的解决方案但直接定义特征向量:
n = 10;%的状态数
p = 0.5;%概率回到状态1
V = (1) ^ (n - 1: 1:0)。/ ((p - 1) ^ (n - 1: 1:0));%具体特征向量,而不是象征性的
TS = V /笔(V);%最终解决稳态次
TS(结束)
当然,大n p越小,必须给准确的结果。我有检查它通过观察最后定居国家TS(结束)(可能有更好的解决方案)。万博 尤文图斯
我猜,这取决于我们对计算速度值精度。对我来说实际上是足够快的代码添加一个数量级n,例如p = 0.001:
n = = 1 e3, TS(结束)= = 5.8210 e-04,大约需要0.1毫秒
n = = 1 e4, TS(结束)= = 4.5221 e-08
n = = 1 e5, TS(结束)= = 3.5421 e-47,大约需要10 ms

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答案(1)

威廉•罗斯
威廉•罗斯 2022年8月22日
编辑:威廉•罗斯 2022年8月22日
@nobody ,
【编辑:添加了一个注意的可能性超过一个平衡态)
让我们注意你的矩阵将被应用到右侧的一个行向量代表一个州。有些人写一个马尔可夫矩阵的转置你的,在这种情况下,左边的矩阵将一个列向量。
一个马尔可夫矩阵是广场。我不明白你要表达的最后一行的矩阵。你的公式不为最后一行工作。例如,有三个州,我们有
[1 - p, p M = 0;
p 0 1 - p;
p 0 ?];
每一行的概率总和必须统一,所以最后一行一定不适合你的公式。
一个马尔可夫矩阵有一个统一的特征值。*,特征值的特征向量assocated分布系统收敛于经过多次迭代。这给你一个确定的方式,没有模拟,均衡分布。但是我们无能为力演示它,直到我们回答关于最后一行的质疑。
*可以有不止一个特征值的团结。例如,如果马尔可夫矩阵是单位矩阵,有多个特征值的团结,任何probabbility初始分布是一个均衡分布。

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