补零对FFT振幅的影响

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拉胡尔羽衣甘蓝 2023年1月25日

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//www.tianjin-qmedu.com/matlabcentral/answers/1900240-effect-of-zero-padding-on-fft-amplitude

编辑: 保罗 2023年2月11日

答:接受马特·J

许多课本和其他文学评论FFT分辨率的改善由于补零但我没有遇到一个文本评论补零对FFT振幅的影响由于信号长度的变化(有效相同的能量分布在长时间)。在现实世界中,振动信号的处理,工程师说感兴趣的频率振幅。

补零不会改变原始信号,从而低估振幅FFT吗?

谢谢

拉胡尔

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拉胡尔羽衣甘蓝 2023年1月26日

的矛盾,我意味着零填充信号的FFT和原来一样,除了在X轴上点添加值,不存在(在原始信号的FFT,因此本质上提高分辨率)。然而,当我们认为它的物理解释,这意味着改变了信号在时间域零填充不会影响其频域值但会引起不同的反应。

为了说明这一点,如果我们考虑一个钟(老式电子)有非常低阻尼和不让声音罢工(它是用锤子打)说每2秒和比较与一个铃铛的声音,一次,再一次袭击后一次说每10 - 15分钟。肯定有不同的声音回应我们的感觉。然而,我们可以考虑两种类型的攻击一样,因为从2秒时间10分钟相当于零填充第一种第二种类型的罢工罢工

我不确定如果我有正确传达我想问什么。

谢谢

拉胡尔

保罗 2023年1月26日

编辑:保罗 2023年1月28日

信号永远继续下去,都成过去,走向未来。然而,DFT只是为信号定义x [n]有限时间的长度n,在信号为0 n < 0的信号是0 n > = n .重要的是要明白,这种情况并不排除0 n < = n - 1。

解释DFT的一个方法是,结果总是离散傅里叶级数系数的周期延长x [n] Nfft > = n如果Nfft = n,然后我们计算DFT的w / o补零,如果Nfft > n然后我们用零填充。

假设对于这个讨论确定性信号是有限的,我们可以用DFT以两种方式之一。

首先,x [n]是一个周期的周期信号与周期n,正是这种周期信号我们想描述。在这种情况下,我们设置Nfft = N和DFT计算。我们现在有DFS系数的周期信号,我们真正关心的。假设我们罢工贝尔三三个节拍,从n = 0开始,然后休息三个节拍,我们这样做时间过去和未来。所以我们的一个周期显著的序列样子x1 =[1 1 1 0 0 0],与N = 6。最后三个零不补零。他们是非常重要的在定义一个周期的信号。我们可以把这个序列的DFT,没有补零,获得其DFS系数,可以计算x [n] n的任何值。这六个DFS系数都是我们所需要的。

第二,x [n]实际上是一个有限的时间信号。在这个例子中,我们不罢工贝尔直到n = 0,然后srike两次,然后停止。所以x [n]看起来像这样x [n] = […0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0…),椭圆表示从未结束,第一一次入境社会中n = 0。现在,这个信号频谱的频率,作为其DTFT可以被计算。然而,我们想用DFT计算样品DTFT的一个周期。我们这样做的方式是首先序列x2 =(1 1 1),但Nfft大,即。,大量的补零,所以DFT x3 = [x2 0 (1, Nfft-3)]。现在,当我们的DFT x3,我们的DFS系数周期性扩展的x3, Nfft时期,这些仍然DTFT的频域一个周期的样本x [n]。Nfft > > N,那么x3的周期性扩展变得越来越接近实际x [N](想象发生了什么Nfft - >正),和DFT样本越来越密集的给我们一个更好的照片一个周期DTFT的x [N]。

拉胡尔羽衣甘蓝 2023年1月27日

保罗,

谢谢你如此详细的解释。然而,我有一些后续问题。希望你不介意。我很抱歉把这篇文章了。

1)在你的第一个例子中,声明, “最后三个零是不补零” 是非常重要的。问题是,这不是(x1)的子集seriesx [n]在你第二个例子(x3) ?或者,你是想说,自从Nfft > > N在第二种情况下,零的(不是由于零填充在第一种情况下)不重要吗?

2)我的困惑就是,如何determinethe周期信号的FFT扩展,当我们在一个信号。我们是否需要整个信号的周期(原始+垫0)还是原来的信号。如果前不会FFT成为主观谁用多少0因为FFT的比例因子,因此振幅依赖于原始信号的周期?

3) “现在,当我们把DFT的x3,我们的DFS系数x3的周期延长,与Nfft时期,这些仍频域一个周期的样本DTFT的x [n]”

——在这里,x3包括x1的原始信号。怎么规模FFT x3如果我们感兴趣的是绝对振幅的物理量(如力)的x3作为频率的函数?将信号长度多少,你可以用它来划分(6 (x1或3 x2) ?

谢谢

拉胡尔

保罗 2023年1月28日

1。是的,x1的前六个元素是在第一种情况下x3在第二种情况下。我发现了一个错误的评价和固定它,现在说:“x3 = (x2 0 (Nfft-3)]。”Maybe that typo confused things. I don't understand the second question here that starts "Or, are you saying ...."

2。我重读这个问题很多次了,不确定我的理解。我们一直在说,在这个线程补零不会影响信号的振幅谱。正如我说过的和MattJ显示,补零频域的位置变化DTFT的样本,但这些样本的振幅仍然遵循DTFT有限时间信号的振幅。

3所示。是的,前六元素的x3 x1的元素是一样的。至于DFT扩展的结果,是什么物理量的“振幅”的定义在第一或第二个案例吗?

拉胡尔羽衣甘蓝 2023年1月30日

保罗,

至于DFT扩展的结果,是什么物理量的“振幅”的定义在第一或第二个案例吗?

——这是0-pk级会产生一个信号产生机制。例如,一个振动器振动结构。

谢谢

拉胡尔

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马特·J 2023年1月28日

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编辑:马特·J 2023年1月28日

@Rahul羽衣甘蓝现在发生在我,你不是真的想计算一个有限的信号的傅里叶变换。你不是想计算一个周期信号的傅里叶级数系数,其中x (n), n = 0,……,n - 1是一个采样信号的一个周期。注意,不是一般的傅里叶变换分解无限周期信号的方法,因为它有无限的能量,虽然有一定的数学关系连续傅里叶变换连续傅里叶级数。

离散傅里叶级数的系数(DFS)信号,然后使用Matlab的办法 fft () 命令

DFS = fft (x) / N

所以,1 / N可能是你正在寻找的归一化因素。补零x确实会改变傅里叶级数系数。然而,重要的是要明白,垫0有不同的解释应用FFT时非周期信号分析比周期信号分析。

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拉胡尔羽衣甘蓝 2023年1月29日

马特,

是的,我想做一个FFT的一个周期无限波通过其1周期长度的信号。你的语句,

“然而,重要的是要理解,垫0有不同的解释应用FFT时比周期信号分析非周期信号分析。”

是非常重要的。你能详细说明吗?

我最终要做的是下面,

1)我有两个信号(可以认为是周期性)和不同长度,不同的采样间隔和可能不同频率的内容。

2)我想比较两个信号w.r。t在某些频率振幅,所以,做FFT势在必行。

现在我有两个信号有不同长度,我不想影响他们的FFT长度振幅。所以我要在那些他们相同的长度,然后在每一个做FFT运算。也,我想扩展(1 / N)比较的需要。

谢谢

拉胡尔

马特·J 2023年1月29日

编辑:马特·J 2023年1月30日

“然而,重要的是要理解,垫0有不同的解释应用FFT时比周期信号分析非周期信号分析。”是非常重要的。你能详细说明吗?

嗯,想象一下,我们有一个连续时间信号,我们要样品,但是时间采样率是固定的,在

(确切的价值不重要),我们无法控制。

如果连续信号周期,那么我们要取其傅里叶级数。要做到这一点,我们样本信号的一个周期

获得一个序列

和使用上面的离散公式我得到的傅里叶级数的系数,

在这种情况下,因为信号及其时间采样率是固定的和,序列的长度N

不是在我们的控制之下。的推导c_k要求我们整合在一个完整的时期,所以

固定的,样本的数量N /周期是固定的。

另一方面,假设相反的信号是有限的持续时间。所以,我们不会计算傅里叶级数,而是这个积分的傅里叶变换:

我现在将离散化积分,再假设

第二是固定的和。然而,在这种情况下,由于信号是有限的时间,我可以代替无穷积分限制与有限的D / 2只要D是大到足以覆盖信号的持续时间,

我和t = n离散化积分

dt =

,f = k / D, N = D /

导致

有两个注意到差异周期性情况和有限的时间情况。首先,正常化FFT计算时是不同的

相比

。第二,在有限的时间情况下,参数D和因此N = D /

是在我们的控制虽然采样率

是固定的。增加或减少在或多或少的零维结果

。它也有改变频率采样间隔的影响

= 1 / D,而不是底层的连续光谱,已经证明。

现在让我们回去放松假设

是固定的。对于周期性sginal,因为我们现在控制

,我们现在也控制在傅里叶级数系数的计算N

。然而,样本的比例

脉冲样本和垫0的比例保持不变,假设给定的周期连续信号没有改变。反之,在有限的时间信号的情况下,D和截断间隔

自由变量,因此脉冲样本和垫0的比例可以任意控制。

保罗 2023年1月29日

编辑:保罗 2023年1月30日

@Rahul羽衣甘蓝

“1)我有两个信号(可以认为是周期性)和不同长度,不同的采样间隔和可能不同频率的内容。”

澄清,“两个信号是连续时间信号,正确吗?

在这种情况下“认为”是什么意思?

关于“不同长度时间”,这意味着时间的窗口已收集的样本每个信号是不同的?

“2)我想比较两个信号w.r。t在某些频率振幅,所以,做FFT势在必行。”

如果两个连续时间信号x1 (t)和x2 (t)与时间T1和T2是周期性的,唯一的频率含量在各CFS k / T1和T2 k /频率(赫兹)。显然,如果T1 = T2,那么我们可以比较CFS频率。如果T1 ~ = T2,那么我们只能比较,在最好的情况下,子集的k1, k2, k1 / T1 = = k2 / T2。根据这个,比较的“某些频率”是什么?

拉胡尔羽衣甘蓝 2023年1月30日

保罗,

1)这两个信号从传感器在测试过程中获得和数字采样。“认为”我的意思是,我要去处理它们假设他们是周期性的,因为产生来源应该生产周期信号理论。

2)不同的时间长度,这意味着时间的窗口已收集的样本每个信号是不同的?——是的

3)”If two continuous-time signals x1(t) and x2(t) are periodic with periods T1 and T2, the only frequency content in each are ...." - There is not just 1 frequency present in the signals. They would have many frequencies.

4)”certain frequencies" - These are frequencies that are expected to have significant amplitudes

如果需要更多的信息,请让我知道。

谢谢

拉胡尔

马特·J 2023年1月30日

编辑:马特·J 2023年1月30日

由“身体正确”我的意思是,如果,比方说,一个人蹲在呈现正弦板重50公斤,然后由加载力的FFT测量细胞之间的连接他的脚和董事会应该显示峰值对应于50公斤的质量。

更表明你想计算离散傅里叶级数。DFS系数将输入的正弦分量的振幅,

N = 100;

t = linspace (0, 1, N + 1);t(结束)= [];

力= 50 * sin(2 *π* t);

X = fft(力,N) / N;%离散傅里叶级数

fAxis = (0: n - 1);

茎(fAxis 2 * abs (X));xlim ([0, 10]);包含(的频率(赫兹))

因子2 * 2的abs (X)是由于这样的事实,一个真正的正弦信号的频率f0将分解成2复杂+ f0和f0的频率正弦曲线。

拉胡尔羽衣甘蓝 2023年1月31日

马特,

作为之前说我想比较两个信号的振幅和不同的采样率和总时间,在每个频率。虽然包含多个频率的信号,我事先并不知道两个信号的频率是什么所以我不确切知道总时间应该删除两个信号和deltaT我应该使用。这些都是决定之前的理论知识的基础上激发产生机制。所以无论我截断的,我会介绍如果我需要选择补零 NFFT = 2 ^ nextpow2 (L);

在这种情况下,比例因子将本质上包括垫的长度0 !

这意味着,根据上面你的评论,在每个频率振幅会由于补零长度比例不同,每个频率分量将取决于有多少整数时间适合选择的总时间(除了保持窗口效果为了讨论补零)。我的理解正确吗?

谢谢

拉胡尔

马特·J 2023年1月31日

编辑:马特·J 2023年1月31日

@Rahul羽衣甘蓝这听起来像你没有致力于决定是否要进行周期信号分析或非周期,有限的时间信号分析。必须作出这一决定之前,它必须在连续时间。一旦你知道那种你想近似的连续分析,决策可以在如何最好地使用fft算法离散化分析

尽管包含多个频率的信号,我事先并不知道两个信号的频率是什么

如果是周期性的信号,就像你说,然后你应该知道。一个连续信号的周期T包含一组离散的谐波频率1 / T, 2 / T, 3 / T, ....如果两个信号有两个不同时期T1和T2,那么他们的谐波频率不一致,没有方法可以进行比较。

这意味着,根据上面你的评论,在每个频率振幅会由于补零长度比例不同,每个频率分量将取决于有多少整数时间适合选择的总时间(除了保持窗口效果为了讨论补零)。

我做了许多“上面评论”在这一点上,所以我不知道你是哪一个引用。如果你是做周期信号的分析,你一直在说,那么就没有理由窗口信号有限长度。应被视为无限重复的信号。

如果你窗口信号因为你实际上想做finite-duration信号分析,然后在连续时间你需要使用傅里叶变换来分析信号,傅里叶级数。如果你要使用傅里叶变换,所有的期望你表达的振幅谱是无效的。特别是,如果你把50 *罪的傅里叶变换(2 *π* t),它不应该将有50的峰值。

拉胡尔羽衣甘蓝 2023年2月1日

是的正确. .

而不是删除,我选择 NFFT = 2 ^ nextpow2 (L);这导致补零。

一个问题你早些时候发表评论, ” 如果你窗口信号因为你实际上想做finite-duration信号分析,然后在连续时间你需要使用傅里叶变换来分析信号,傅里叶级数。如果你要使用傅里叶变换,所有的期望你表达的振幅谱是无效的”

任何数据处理,甚至无限周期波,将会在一个有限的数据,对吗?

在50振幅的正弦波示例中,您只能使用有限的数据。

有什么不同的处理会使如果含有周期成分相同的两个信号处理1)使用无限数据长度(假设发言)2)使用有限的数据长度。最终结果应该是一样的正确即振幅……不是吗?将傅里叶变换不给正确的振幅和傅里叶级数给,不是吗?或者,你认为如果我的目标是获得正确的振幅,我应该做数据处理的方式,我最终使用傅里叶级数和不改变呢?

谢谢

拉胡尔

布鲁诺陈德良 2023年2月1日

编辑:布鲁诺陈德良 2023年2月1日

周期信号的傅里叶级数的定义。它可以用DFT analysic近似一个周期的信号。样品越多越好近似。
连续傅里叶变换(钢管)的任何函数定义是平方可积,可能会或可能会无限长度。
如果函数是周期的T,傅里叶变换没有定义(不是平方可积函数)
然而如果我们窗口这个无限周期函数,你可以乘坐客运。现在如果你把窗口越来越大,使其覆盖越来越多的时期,旅客将收敛于一个Dirac-comb加权系数,与1中描述的傅里叶级数系数成正比。第一个狄拉克的频率是基频f = 1 / T。
形状的钢管在基频及其谐波与k (k * f整数)的客运信封窗口函数。当窗口宽,频谱的振幅峰值上升和宽度会缩小,这样的积分(或多或少)保持不变。因此振幅很难解释。你选择窗函数通过一个折衷两件事:在频域(a)漂亮的衰变,但(B)不要砍伐太多的原始信号在时间域。注意:如果你截断abrutely时间信号,使用矩形窗函数,得到各种奇怪的效应,因为周大福的矩形是一个sinc函数衰减缓慢为0,这不是理想的。
你可以在在FFT分析窗口的信号,将会提高分辨率的影响傅里叶域中。频谱的振幅不受补零。

马特·J 2023年2月1日

编辑:马特·J 2023年2月1日

任何数据处理,甚至无限周期波,将会在一个有限的数据,对吗?

是的,但是正如前面我给你的文章、傅里叶级数积分(用于周期信号)和傅里叶变换积分(非周期信号)是不同的,并导致不同的离散。

有什么不同的处理会使如果含有周期成分相同的两个信号处理1)使用无限数据长度(假设发言)2)使用有限的数据长度。

这取决于如何你删除周期信号有限长度。例如信号 50 * sin(2 *π* t) ,我能得到的傅里叶级数系数峰值50因为我截一个周期。我也会得到相同的峰值如果我截一个整数的倍数。在任何其他情况下,虽然,我不会得到相同的峰值系数。

这是与你,因为你有两个不同时期的信号,可能试图删除其中之一的一小部分一段为了得到他们两人在共同的时间窗口。

而不是删除,我选择NFFT = 2 ^ nextpow2 (L);这导致补零。

但是你开始填充短信号在一个周期后,还是几个?有人可能会认为你让短信号尽可能多的时间可以在t < L补零开始前完成。一个参数可以为填充方案。

马特·J 2023年2月1日

编辑:马特·J 2023年2月1日

你会做什么参数对填充方案w.r。t得到振幅对吧?

在下面的例子中我们可以看到差异。信号x1和x2都有周期T = 1。然而,T = 1不是faster-oscillating信号x2的基本周期,而是T2 = 1/2。如果我取离散傅里叶级数删除这两个信号的地平线T = 1,我得到以下结果。两个信号的谐波frquencies预期的傅里叶级数系数振幅。

N = 100;

t = linspace (0, 1, N + 1);t(结束)= [];

fAxis = (0: n - 1);

关闭所有

x1 = 100 *(罪罪(2 *π* t) +(8 *π* t));%慢信号

x2 = 60 *(罪(4 *π* t) +罪(12 *π* t));%的速度信号

X1 = fft (X1, N) / N;%离散傅里叶级数

X2 = fft (X2, N) / N;%离散傅里叶级数

tiledlayout (1、2)

nexttile;

情节(t t (x1, x2);

包含“时间”;传奇(“慢”,“快”);轴广场

nexttile

茎(fAxis、abs (X1));持有在

茎(fAxis、abs (X2));持有在

包含(的频率(赫兹));传奇(“慢”,“快”);轴广场

xlim ([0, 15])

sgtitle (多阶段的截断的)

但是,如果我做x2的分析让它只运行1段(0.5秒),并补零,每个信号的系数具有相同的振幅和之前一样在各自的谐波。然而,在1赫兹和4赫兹x1但不是x2(谐波),x2的系数得到sinc-extrapolated,导致更多的连续光谱。如果连续性很重要你做比较,这可能是更好的抽样方案。

图;

x2(端/ 2:端)= 0;

X2 = fft (X2, N) / (N / 2);%离散傅里叶级数拟合

保罗 2023年2月1日

编辑:保罗 2023年2月1日

指的是 @Bruno陈德良的评论

考虑项目3和4在一起,的确,CTFT积分不收敛周期信号,但是我们仍然做的定义一个CTFT间隔一个脉冲序列的周期信号谐波频率和比例指数CFS系数的信号。这个定义可以到达的极限过程为布鲁诺,我想象这是严格的方法。但它可以直观地理解通过扩展脉冲序列通过逆CTFT积分,收益率的CFS表示周期信号。话题,但值得注意的是,CTFT可以定义为其他,非周期信号的CTFT积分不收敛,等

x (t) =亥维赛(t) - > x (f) =狄拉克(f) / 2 - 1 i / f(2 * *π)

考虑第五项,在我看来,只要CTFT窗外足够的带宽小于1 / T,如果窗口的CTFT的高峰是在f = 0,然后CTFT的谱峰周期信号的乘积和窗口将在谐波频率和振幅峰值将CFS的振幅系数的乘积和窗口的CTFT的高峰期,这是已知的。基本上,我试图理解为什么“振幅谱峰的是很难解释,“假设窗口带宽缩小相对于1 / T。(注意:我将显示一个示例代码,但是运行特性并不是为我工作)。

拉胡尔羽衣甘蓝 2023年2月2日

马特,

是的,你已经明白我的“术语”正确。

现在,这是一个重要的和微妙的观察,我想指出。

你的评论。” 但是,如果我做x2的分析让它只运行1段(0.5秒),并补零,每个信号的系数具有相同的振幅和之前一样在各自的谐波 ”——这是真的只有当你使用比例因子是N / 2,而不是N, fft。

例子你截断x2和零填充它,你其fft除以N / 2而不是N情况下早些时候没有截断。这是我最初的问题,得到正确的振幅,我是否应该考虑信号长度包括零填充扩展频谱的长度。如果你有使用N比例,在第二个案例中,信号幅度将实际的一半。

在我的例子中,

N1 =(传感器输出数据的长度)

N2 = N1 +垫0由于长度 NFFT = 2 ^ nextpow2 (L);

所以,我是否应该被N1和N2扩展?

根据你的例子在我看来,我应该使用信号的实际长度为零的信号的FFT和N1在我的例子中。

你同意吗?

谢谢

拉胡尔

马特·J 2023年2月2日

编辑:马特·J 2023年2月2日

这是我最初的问题,得到正确的振幅,我是否应该考虑信号长度包括零填充扩展频谱的长度。

那么看来我已经回答了你的问题。我希望你能Accept-click答案。:-)

根据你的例子在我看来,我应该使用信号的实际长度为零的信号的FFT和N1在我的例子中。

这实际上取决于你的态度垫0和他们是否应该被认为是波的周期的一部分。我们不要总是忽略为零。假设我的信号是锯齿低于两倍。这波的周期是6,你在一个合适的规范化1/6傅里叶级数的计算。如果你是想说这段时间是3由于振动非零部分的长度是3,你就错了。如果你是想说这段时间之间的长度是4,因为只有开始的前置牙齿和后置的牙齿很重要,你也将是错误的。

间隔0的原因并不重要,当你考虑前面的正弦例子是因为你显然不认为他们的周期波的一部分。0,有不同的用途。如果你认为他们浪潮的一部分,那么你就大错特错了考虑谐波系数的“正确的振幅”的x2 30。

f = @ (t)马克斯((abs (t) -0.5)。* (abs (t) < = 2), 0);

x = @ (t) f (mod (t, 6) 2);

fplot (x, [-0.1, 18]);ylim ([0, 3])

布鲁诺陈德良 2023年2月3日

@Rahul羽衣甘蓝请不要打扰。让我们继续。

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更多的答案(3)

布鲁诺陈德良 2023年1月29日

3
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编辑:布鲁诺陈德良 2023年1月29日

如果你(视窗化)的信号模具顺利0 然后用0填充尾部变化对FFT谱(振幅),这相当于致密没有扩展频谱(插值)。

N = 70;

x = (0: n - 1) - (n - 1) / 2;

E = exp (- (x / (N / 6)) ^ 2);

y = e * randn(大小(x));

f = (0: N - 1) / N;

yhat = fft (y);

图

情节(f, y,“b”f E“c”);

NPad = 2 ^ nextpow2 (N);

ypad = y;ypad (NPad) = 0;

fpad = (0: NPad-1) / NPad;

ypadhat = fft (ypad);

图

情节(f、abs (yhat),“b +”、fpad、abs (ypadhat),r -。)

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布鲁诺陈德良 2023年1月30日

编辑:布鲁诺陈德良 2023年1月30日

“我试着做了插值重采样来得到NFFT = 2 ^ nextpow2 (L)”

你为什么这样做呢?我给补零相当于频率doman插值如果你信号衰减到0。

插值频率不引入新的频率(线性插值究竟如何?),而零填充与非衰减信号做频谱的影响。

如果你窗口信号正确(像你所说的),那么你的信号会衰减到0,然后0-pad在我的代码显示,这是或多或少在光谱域插值: 振幅不变 ,频率调整的新数组索引。

毕竟时窗口的主要目的研究信号傅里叶域中:避免人工制品。

如何的问题规模FFT获得“身体正确”是一个单独的问题,不管你是否零垫信号。马特似乎已经正常化地址为你的目标(尽管我还没有仔细阅读他的答案)。

y的单侧频谱

% yhat = fft (y) * 2 *√(dt / (n - 1))

单位力/√(Hz)如果你原始信号是力量,并与相应的频率向量f。如果你想回到部队单位必须整合yhat ^ 2某一非零间隔(宽度~带宽)然后√(集成。有可能讨论这个主题的基调。带宽是零,因为你的信号长度是有限的,即使是完美的正弦波输入,因为它被截断。

%采样频率和周期

dt = 0.1;

fs = 1 / dt;

%信号向量长度和时间

N = 4000;

t = dt * (0: n - 1);

mono %产生测试信号的频率

T = 10;

一个= 2023;

y = A * sin(2 *π/ T * T);

%傅里叶变换光谱和片面的

df = fs / (n - 1);

yhat = fft (y) * 2 *√(dt / (n - 1));

yhat = abs (yhat(1:装天花板((结束+ 1)/ 2)));

nf =长度(yhat);

iseven = mod (N + 1, 2);

如果iseven

duplicatedside =联盟(nf);

其他的

duplicatedside = 1;

结束

yhat (duplicatedside) = yhat duplicatedside /√(2);

%将频率向量

f = df * (0: nf-1);

情节(f, yhat);

包含(“f (Hz)”)

ylabel (光谱[V /√(Hz)]”)

参照线(f(结束),“- - -”,“奈奎斯特”,“LabelHorizontalAlignment”,“左”)

%检索振幅

耐火的= 1 / T;

bw = 0.2;

弗林特=耐火的+ bw / 2 * [1];

保持= > =弗林特(1)& f < =弗林特(2);

振幅=√trapz df, yhat(保持)。^ 2))

幅值= 2.0235 e + 03

xlim(弗林特)

FFT的振幅的直接解释总是有问题,只有能量和均方根值通过L ^ 2集成在傅里叶域中通过和帕塞在数学上是正确的。

布鲁诺陈德良 2023年1月30日

编辑:布鲁诺陈德良 2023年1月31日

这是完整的代码窗口,然后重组这两个事实

零填充= >窗口信号振幅FFT不会改变
正确的缩放后回到amplittude集成

% %

%明显

%关闭所有

%样本频率和样本

dt = 0.3;

fs = 1 / dt;

%信号向量长度和时间

N = 600;

t = dt * (- (n - 1) / 2: (n - 1) / 2);

mono的频率周期T %产生测试信号

T = 10;

一个= 2023;

y = A * sin(2 *π/ T * T);

%窗函数

Ewidth = t(结束)/ 2;

E = exp (- (t / Ewidth) ^ 2);

%有窗的信号让他们顺利衰减到0

ywin = y。* E;

图

h =情节(t) [y (:) ywin (:) * E (:)));

包含(“t [s]”)

ylabel (“信号[V]”)

传奇(h,“原始”,”窗口的“,“窗口”);

% 0填充信号的傅里叶变换光谱和片面的

Npad = 8 * 2 ^ nextpow2 (N);% 8因子的高分辨率傅里叶域中

df = fs / Npad;

yhat = fft (ywin Npad);

scalefft = 2 *倍根号(dt / (n - 1));% N,而不是NPad

yhat = scalefft * abs (yhat(1:装天花板((结束+ 1)/ 2)));

nf =长度(yhat);

iseven = mod (Npad + 1, 2);%编辑修复一个小故障

%直流和奈奎斯特对双方都是很常见的

如果iseven

duplicatedside =联盟(nf);

其他的

duplicatedside = 1;

结束

yhat (duplicatedside) = yhat duplicatedside /√(2);

%将频率向量

f = df * (0: nf-1);

图

情节(f, yhat);

包含(“f (Hz)”)

ylabel (光谱[V /√(Hz)]”)

参照线(f(结束),“- - -”,“奈奎斯特”,“LabelHorizontalAlignment”,“左”)

%从帕检索振幅

耐火的= 1 / T;%我们也可以检测的频率yhat的高峰期,但我们知道它是1 / T

bw =√6 (2) / Ewidth *√(2);

弗林特=耐火的+ bw / 2 * [1];

保持= > =弗林特(1)& f < =弗林特(2);

RMSE =√trapz (e . ^ 2) / (n - 1));

振幅=√trapz df, yhat(保持)。^ 2))/ RMSE%的估计

幅值= 2.0230 e + 03

%放大光谱的峰值

xlim(弗林特)

布鲁诺陈德良 2023年1月31日

编辑:布鲁诺陈德良 2023年1月31日

@Rahul羽衣甘蓝 “我不知道为什么在比例因子是N,而不是Npad。”

这有些解释我的各种帖子,如果你密切关注。

这里发生了什么是帕平等,或等效离散所谓瑞利能量定理和 DFT 定义的因素1 /√(N)所以要在时间和傅里叶变换对称领域的能源的观点。

0-padding结合第二个事实不会改变的振幅FFT作为我的回答我,只是使频率向量与细步(密度)在相同的频域[0,Niquist],没有理由调整振幅的长度在信号。

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保罗 2023年2月5日

2
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编辑:保罗 2023年2月11日

这个线程从一个问题开始补零的离散傅里叶变换(DFT)和答案和评论了许多点其他相关概念包括连续傅里叶级数(CFS)、连续时间傅里叶变换(CTFT),窗口,可能还有其他许多人。作为一个线程可能会有如此多的评论和其他问题的评论,这可能是难以理解的所有概念如何相互关联和流动。因此,我认为这可能是好的显示准确,至少对其中一些这些概念。

我发布这个的答案,因为我不确定它会流很好地作为一个评论在任何其他的答案。

同时,这个答案不会增加任何材料已经发布。再一次,这只是试图用Matlab来说明一些点已经由(没有特殊的顺序) @Mathieu诺 , @Star黾 , @Bjorn Gustavsson , @Matt J 和 @Bruno陈德良和我。

定义一个简单的、连续时间信号

                              信谊t f真实
                             
                              π=符号(π);
                             
                              T1 =信谊(2);
                             
                              T2 =信谊(3);
                             
                              x (t) = 12 * sin(2 *π/ T1 * t) + 4 * cos(2 *π/ T2 * t);

x (t)是两个周期信号的总和。因为比T1 / T2是一个有理数,我们知道x (t)是周期性的。通过检查,其基本周期

T =符号(6)

我们可以验证

                              简化(x (t) - x (t + t))
                             
ans =
                                  0
                                 

因为x (t)是周期性的,其CTFT火车了狄拉克δ函数的基频及其谐波(1/6 Hz)。在这种情况下,我们只有零谐波在f = + 1/3和f = + 1/2

X (f) =扩大(傅里叶(X (t), t, 2 *π* f))

X (f) =

因为x (t)是周期性的,它有一个指数CFS表示。CFS系数n的函数计算

信谊n个整数

C (n) = int (x (t) * exp (1 j * 2 *π* n / t * t), t, 0, t) / t

C (n) =

或者,我们可以使用傅里叶计算他们一样好。

                              % C (f) =傅里叶(x (t) * rectangularPulse (0, t, t), t, 2 *π* f) / t;
                             
                              % C (n) = C (n / T);

由于被积函数在 int n作为一个参数,它不捕捉特殊情况下,abs (n) = 2或abs (n) = 3。清理,和C (n)非常简单

[~,denC] = numden (C (n));

npoles =解决(denC);

为npole = npoles (:)。

C (n) =分段(n = = npole限制(C (n), n, npole), C (n));

结束

C (n) =简化(C (n))

C (n) =

CFS系数的脉冲序列完全cofficients定义X (f),下面将利用这一事实。

图4 CFS的振幅系数。

造船= 5;

图

茎(造船/ T, abs (C(造船)))

ylim (7 [0])

包含(“赫兹”)

因为我们使用的是指数CFS, C的振幅(n)和C (- n)是每个相应的谐波振幅的1/2。因此,情节告诉我们,谐波的振幅赫兹是12 1/2和1/3赫兹是4,这正是我们期望基于x (t)的定义。

假设我们只提供给我们一个x (t)的一部分。下一步显示了傅里叶分析仍然可以从信号中提取振幅信息。

定义一个窗口函数覆盖信号的一部分,我们已经进行处理。三角窗函数(插图)是参数化的x (t),它涵盖的时期。

                              信谊numperiod
                             
                              w (t, numperiod) = triangularPulse (0, numperiod * t, t);

假设我们有10 x (t)的时期

nperiod = 10;

窗口的CTFT信号

W (f) =简化(傅里叶(W (t, nperiod), t, 2 *π* f));

因为w (t)涵盖了相当数量的时期,它在频域带宽看起来小相对于x (t)的谐波之间的频率间隔

图

fplot (abs (W (f)), [-0.3 - 0.3]);

参照线(双(1/2 / T),“r”,“1 / (2 t)”);

包含(“赫兹”)

ylim (31 [0])

W的峰值在f = 0 (f)

                              W0 =限制(W (f), f, 0)
                             
W0 =
                                  30.
                                 

这也是窗口下的面积。

                              int (w (t, nperiod), t, 0, nperiod * t)
                             
ans =
                                  30.
                                 

应用窗口的CTFT x (t)和计算结果

                              xw (t) = x (t) * w (t, nperiod);
                             
                              XW (f) =傅里叶(XW (t)、t、2 *π* f);

乘法在时域卷积对应于频域。W (f)的卷积狄拉克δ函数X (f)社会中W (f)转移到相应的谐波和狄拉克乘以相应的系数。但这些狄拉克系数只是CFS系数。因此,我们可以简单地直接表达CTFT xw (t)的

                              造船= (2 2 3 3);
                             
                              XWalt (f) =总和(C(造船)。* W (f-nval / T));

表明,XW (f)和XWalt (f)是等价的。

图

持有在

% fplot正在太长了。

% fplot (abs ([XW (f) XWalt (f))))

fplot (matlabFunction (abs (XW (f))), [1]);

fplot (matlabFunction (abs (XWalt (f))), [1]);

xlim ([1] * 3/4)

包含(“赫兹”)

因为W (f)的带宽相对于谐波间距小,XW (f)本质上是由W (f)的副本转移到CFS的谐波频率和比例系数。这个结果表明,我们可以恢复C的振幅(n)在谐波频率通过简单地划分XW W0 (f)。

图

fplot (abs (XW (f) / W0))

持有在

茎(造船/ T, abs (C(造船)))

xlim ([1] * 3/4)

ylim (7 [0])

包含(“赫兹”)

如果我们只有蓝色曲线,我们可以推测潜在的周期信号是由两个正弦信号在1/2赫兹和1/3分别与振幅12和图4赫兹。

在连续时间框架,现在搬到离散时间。

定义函数来评估数值(不是严格必需的,只是比评估跑快一点象征性和转换)

                              xfunc = matlabFunction (x (t));
                             
                              wfunc = matlabFunction (w (t, numperiod),“var”[t numperiod]);

假设一个采样周期的

t = 0.01;

样本覆盖的数量,许多时间

N = nperiod *双(T) / Ts;

样品和相关的时间

tval = (0: (n - 1)) * Ts;

评估x (t)和w在样本时间(t)。

                              xval = xfunc (tval);
                             
                              wval = wfunc (tval nperiod);

计算DFT

                              XWdft = fftshift (fft (xval。* wval));
                             
                              nfft =元素个数(XWdft);
                             
                              fval =装天花板(linspace (-nfft / 2, nfft / 2 - 1, nfft)) / nfft / Ts;

现在,情节DFT与适当的扩展,我们需要把窗外的影响函数。在离散时间,没有任何其他比例的输出 fft ,corresoponds除以样本之和窗口

                              图
                             
                              茎(fval、abs (XWdft) / sum (wval));
                             
                              xlim ([-0.75 - 0.75])
                             
                              包含(“赫兹”)

如果我们使用了一个矩形窗口,那么(wval) = N,我们刚刚除以N。

覆盖的扩展版本XW (f)

                              持有在
                             
                              fplot (abs (XW (f) / W0),‘g’)

按比例缩小的DFT样本本质上是频域样本XW (f) / W0(一般来说,这种关系只是近似的近似得到更好的Ts变小和N变大)。

放大看东西好一点

甘氨胆酸copyobj(图);

xlim ([0.2 - 0.6])

因为DFT样本有效地恢复XW (f) / W0,我们又知道谐波频率和相应的振幅。

四DFT样本躺在谐波频率完全因为N是如何计算给定的价值正是覆盖10期Ts。总的来说,我们不能保证数据覆盖周期的整数;毕竟,是我们试图确定。

此外,Ts的选择在这个例子中,x [n] = x (n * Ts)是离散时间周期。

假设我们有10多个样本的时期。

                              nperiod = 10 + 0.25;
                             
                              N =圆(nperiod *双(T) / Ts);

经历相同的过程

tval = (0: (n - 1)) * Ts;

xval = xfunc (tval);

wval = wfunc (tval nperiod);

XWdft = fftshift (fft (xval。* wval));

nfft =元素个数(XWdft);

fval =装天花板(linspace (-nfft / 2, nfft / 2 - 1, nfft)) / nfft / Ts;

图

茎(fval、abs (XWdft) / sum (wval));

参照线(5“r”)

参照线(1/3,“r”)

包含(“赫兹”)

xlim ([0.2 - 0.6])

ylim (7 [0])

表明,DFT样品不是很“不错,”尤其是在1/3赫兹,这基本上是介于两个DFT样本。

现在,我们终于到达最初的关于补零的问题,我们可以使用它来填写DFT样品在频域

N =圆(nperiod *双(T) / Ts);

tval = (0: (n - 1)) * Ts;

xval = xfunc (tval);

wval = wfunc (tval nperiod);

XWdft = fftshift (fft (xval。* wval 2 ^ 14));%使用大量的填充

nfft =元素个数(XWdft);

fval =装天花板(linspace (-nfft / 2, nfft / 2 - 1, nfft)) / nfft / Ts;

图

茎(fval、abs (XWdft) / sum (wval));

参照线(5“r”)

参照线(1/3,“r”)

包含(“赫兹”)

xlim ([0.2 - 0.6])

ylim (7 [0])

已经反复说明,补零没有影响到任何范围振幅谱,我们恢复正确的按比例缩小的振幅谱,只要除以总和(wval),不是样品的数量DFT(2 ^ 14在这个实例中)。补零恢复我们所寻求的信息,这是谐波的地方很近1/2赫兹和1/3 Hz,分别为振幅近12和图4。

虽然看起来DFT样本的样本XW (f),这不是真的,因为XW (f)是基于一个60秒的窗口和DFT件是基于一个60 + 6/4 = 61.5秒窗口,CTFT略有不同。然而,只要窗口的峰值CTFT(不管它可能)是在f = 0,适用相同的过程。,using the peaks of XWdft(n)/sum(wval) to estimate the harmonic frequencies and amplitudes, as long as the DFT is normalized based on the actual window used, as done in this example.

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马特·J 2023年1月26日

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编辑:马特·J 2023年1月27日

这里有一个例子显示一个FFT的振幅不改变由于零填充。在所有情况下,峰值振幅是5。

x = [1, 1, 1, 1 1];

N = (1:5) * 5;

为n =

plotFcn (x, n);%在x 2 * n和FFT的阴谋

结束

持有从;传奇(“n = "+ N)

函数plotFcn (x, N)

z = 0 (1, N);

x = [z、x, z];% 0垫

M =地板(元素个数(x) / 2);

X = abs (fftshift (fft (X)));

情节((- M: M) /元素个数(X), X,“o”);持有在

结束

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Bjorn Gustavsson 2023年1月27日

@Matt J :不幸的是你也删除及信号的fft ( x 所有的),只有一个非零振幅在DC -它对应于一个Dirac-spike在0。当补零这样一个信号从根本上改变一个信号从constant-valued信号(在fft-sense也是周期性信号)的长度为方波的周期zero-padded信号长度(这显然sinc fft。)

@Paul 1:是啊,我现在的咆哮绝对是疯狂的从哪来的。2:是的,问题描述一个矩形窗口是自然的,但“考试”我希望下一个问题是,“解释fft的隐周期假设导致高频混叠组件由于边缘效应,以及如何控制这个问题窗口”。

…如果我认为我们可能认为与其说是多少天使应该头上的针,但翅膀应该是什么颜色的?

这或许是一个脚本,它说明了窗口的问题:

                                   t = linspace(0、5 *π,512);
                                  
                                   f1 = fftfreq(意思是(diff (t (1: end-1))),元素个数(t (1: end-1)));
                                  
                                   f0 = fftfreq(意思是(diff (t)),元素个数(t));
                                  
                                   图
                                  
                                   次要情节(4、2、1)
                                  
                                   %的周期及其谱振幅的信号
                                  
                                   罪情节(t (1: end-1) ((2) * t (1: end-1)))
                                  
                                   次要情节(4、2、2)
                                  
                                   情节(f1 log10 (abs (fftshift (fft(罪(t (2) * (1: end-1)))))),“。”)
                                  
                                   轴([5 5 -16 1.2 * log10(元素个数(t))))
                                  
                                   次要情节(4、2、3)
                                  
                                   %的一个样本被周期性的信号
                                  
                                   罪情节(t(1:结束),((2)* t(1:结束)))
                                  
                                   次要情节(4、2、4)
                                  
                                   情节(f0 log10 (abs (fftshift (fft(罪(2 * t(1:结束)))))),“。”)
                                  
                                   轴([5 5 5 1.2 * log10(元素个数(t))))
                                  
                                   次要情节(4、2、5)
                                  
                                   %四分之一周期信号的周期
                                  
                                   罪情节(t (1: end-1) ((2.5) * t (1: end-1)))
                                  
                                   次要情节(2,6)
                                  
                                   情节(f1 log10 (abs (fftshift (fft(罪((2.5)* t (1: end-1)))))),“。”)
                                  
                                   轴([5 5 5 1.2 * log10(元素个数(t))))
                                  
                                   w1 = tukeywin(元素个数(t (1: end-1)) 0.75);
                                  
                                   w2 = chebwin(元素个数(t (1: end-1)), 50);
                                  
                                   次要情节(4、2、7)
                                  
                                   %有窗的版本及其谱振幅
                                  
                                   罪情节(t (1: end-1) ((2.5) * t (1: end-1)。* w1”)
                                  
                                   持有在
                                  
                                   情节(t (1: end-1),罪((2.5)* t (1: end-1)) * w2。”)
                                  
                                   次要情节(4、2、8)
                                  
                                   情节(f1 log10 (abs (fftshift (fft (w1。。*罪((2.5)* t (1: end-1))))))“- - -”)
                                  
                                   持有在
                                  
                                   情节(f1 log10 (abs (fftshift (fft (w2。。*罪((2.5)* t (1: end-1))))))“- - -”)
                                  
                                   轴([5 5 5 1.2 * log10(元素个数(t))))
                                  
                                   函数f = fftfreq (dt, n)
                                  
                                   % FFTFREQ——fft-frequency-array
                                  
                                   %
                                  
                                   %调用:
                                  
                                   % f = fftfreq (dt, n)
                                  
                                   %的输入:
                                  
                                   % dt -采样时间(s)、双标量
                                  
                                   % n -频率,标量int
                                  
                                   %输出:
                                  
                                   % f -频率数组(Hz), dobule数组
                                  
                                   如果快速眼动(n, 2) = = 0
                                  
                                   f = [0: n / 2 - 1, n / 2: 1) / (dt * n);%如果n是偶数
                                  
                                   其他的
                                  
                                   f = [0: (n - 1) / 2 - (n - 1) / 2: 1) / (dt * n);%如果n是奇数
                                  
                                   结束
                                  
                                   结束

应产生一个图是这样的:

马特·J 2023年1月28日

编辑:马特·J 2023年1月28日

@Rahul羽衣甘蓝保罗已经向你解释,FFT并不认为x1作为一个较长的周期信号的时期。作为一个有限序列FFT观点x1。如果你的信号包含多个脉冲,脉冲必须显式地出现在输入向量x,如果你希望FFT意识到它们的存在。换句话说,如果你想找到3脉冲信号的频谱有50%的责任周期,你会做什么,

                                   x = [1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0);
                                  
                                   X = fft (X)

X光谱及其振幅实际上取决于责任周期,即。,如果我添加或删除零脉冲之间的振幅将会改变。然而,增加之间的零脉冲的数量并不等于零填充。补零是指添加初始和/或落后于0只,并没有影响的振幅谱,我证明给你我最初的回答。

马特·J 2023年1月28日

编辑:马特·J 2023年1月28日

以下我修改原始的例子显示的效果不同的责任周期的一系列狄拉克脉冲振幅谱。我是不正确的说,振幅变化,即使我们看到,频谱改变整体。

x = [1, 1, 1, 1 1];

T = 1:3;

为t =

plotFcn (x, t);%之间插入t - 1 0 x光谱(i)和情节

结束

持有从;传奇(“责任周期= "+ 100. / T +“%”)

函数plotFcn (x0, t)

x = 0 (1 t *元素个数(x0));

x (1: t:结束)= x0;

N =元素个数+ 1 e4 (x);

freqAxis = ((0: N - 1)装天花板((N - 1) / 2)) / N;

X = fft (X, N);

情节(freqAxis fftshift (abs (X)),“- - -”);持有在

包含频率(赫兹)”

ylabel“谱振幅”

结束

保罗 2023年1月28日

@Matt J

相反,我说恰恰相反:“. .结果(DFT)总是离散傅里叶级数系数的周期延长x [n]……”To be clearer, I should have said "DFS coefficients (to within a scale factor)"

在这个例子中我们可以看到这。

让信号x1 [n] = [1 1 1 0 0 0] n = 0: (N1-1) N1 = 6,否则和零

让信号x2 [n] = [1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0] n = 0: (N2-1), N2 = 18日,否则为0。

让x1p [n]是周期扩展的x1 [n] N1。

让x2p [n]是周期延长x2 [n]与N2。

它应该清楚x1p [n] = = x2p [n]

因此,一个周期的阶x1p [n]和x2p [n]应该包含相同的信息

x1 = [1 1 1 0 0 0];N1 = 6;% 1 x1的时期

x2 = (x1 x1 x1);N2 = 18;% x2的一个周期

X1 = fft (X1);f1 = (0: (N1-1)) / N1;

X2 = fft (X2);f2 = (0: (N2-1)) / N2;

图

次要情节(211);情节(f1、abs (X1)、“o”、f2、abs (X2),“- x”);

次要情节(212);情节(f1、角(X1)、“o”f2,角(X2),“- x”);

ampltidues是相同的在一个因子的N2 / N1 = 3,和阶段是相同的。一个周期的DFT x2 [n]是相同的(3)内,比例因子作为一个周期的DFT的x1 [n],因为x1的周期性扩展[n]和x2 [n]是相同的。“相同的”我的意思是关于四个零的点编码的所有底层的周期信号的信息。

保罗 2023年1月28日

编辑:保罗 2023年1月28日

@Rahul羽衣甘蓝

当然,我们可以这样做。

                                   x1 = [1 1 1 0 0 0];N1 = 6;% 1 x1的时期
                                  
                                   x2 = (x1 x1 x1);N2 = 18;% x2的一个周期
                                  
                                   x3 = (x2 0 (1,6)];N3 = N2 + 6;%的要求拉胡尔
                                  
                                   X1 = fft (X1);f1 = (0: (N1-1)) / N1;
                                  
                                   X2 = fft (X2);f2 = (0: (N2-1)) / N2;
                                  
                                   X3 = fft (X3);f3 = (0: (N3-1)) / N3;

我们也计算DTFT的x1 [n]和x2 [n]。DTFT的x3 [n]是一模一样的x2 [n],所以我们不需要计算它。

                                   [X1DTFT, f1dtft] = freqz (x1, 2048,“整体”1);
                                  
                                   [X2DTFT, f2dtft] = freqz (x2, 2048,“整体”1);

第一。DFT的情节,我会muliplty X1的DFT 3上的所有东西都能得到平等。

图

持有在

情节(f1、abs (3 * X1),“o”);

情节(f2、abs (X2)、“- x”);

情节(f3、abs (X3),“- *”);

传奇(“X1 * 3”,“X2”,“X3”)

我们看到现在补零的x3已经增加了更多的频域样本,预计因为N3 > N2。为什么这些X3频域样本在哪里?他们的样品是DTFT的x3,正如我们上面说的DTFT x2是一样的。添加DTFTs x1和x2的阴谋。

                                   图
                                  
                                   持有在
                                  
                                   情节(f1、abs (3 * X1),“o”);
                                  
                                   情节(f2、abs (X2)、“- x”);
                                  
                                   情节(f3、abs (X3),“- *”);
                                  
                                   情节(f1dtft、abs (X1DTFT) * 3, f2dtft, abs (X2DTFT));
                                  
                                   传奇(“X1 * 3”,“X2”,“X3”,“X1DTFT * 3”,“X2DTFT”)

为一个更好的视图放大一点

甘氨胆酸copyobj(图)

xlim (0.4 [0])

传奇(“X1 * 3”,“X2”,“X3”,“X1DTFT * 3”,“X2DTFT”)

必须这样,X1躺在X1DTFT样品。也必须这样,X2和X3躺在X2DTFT的样本。我们可以看到,X2DTFT sinc-y。X3的样本时认为,仅是在前面的情节,看起来时髦。但这只是因为那些躺在X2DTFT X3样本(X3DTFT如果我们计算是一样的)。如果我们添加更多的补零添加到x3,由此产生的x3样品看起来sinc-y越来越多,就像绿色的曲线。

也很清楚,3 * X1DTFT ~ = X2DTFT。然而,他们在四个频率相等,这是,并非巧合的是,非零的样本各自的频率阶。

保罗 2023年1月28日

编辑:保罗 2023年1月29日

@Matt J

应对这个评论....

专注于最后一句话,我同意。我们可以用一个简单的示例来加以说明。

信谊t w f真实

xn = 1:5;n = 0:4;

x (t) =总和(xn。* sinc (sn));

图

fplot (x (t) 10 [3])

持有在

茎(n, xn)

x [n] five-sample窗口无限时间信号的x (t),

将频域

第一的CTFT x (t)

                                   X (w) =简化(傅里叶(X (t), t, w));% CTFT
                                  
                                   X (f) = X(2 *信谊(pi) * f);

现在x的DTFT [n]

[Xdtft, fdtft] = freqz (xn 1 linspace (-1.5、1.5,500), 1);

现在x的DFT [n]

                                   Xdft = fftshift (fft (xn));
                                  
                                   fdft = (2:2) / 5;

现在情节。我将举起Xdtft一点这样我们可以看到下面发生了什么

图

持有在

fplot (abs (X (f)) [-1.5 - 1.5])

情节(fdtft 1.05 * abs (Xdtft))

茎(fdft、abs (Xdft))

传奇(“CTFT”,“DTFT”,“DFT”)

正如所料,由于x (t)的具体定义x的DTFT [n]是一个精确的周期延长x (f)。

到目前为止还好。但我不认为上述涉及任何关于如何继承周期性内置的DFT有限时间信号。

“所以,如果你正试图计算的频谱是连续傅里叶变换的脉冲信号,DFT不会意识到存在的多个脉冲,除非他们明确抽样在x [n]”

请纠正我如果我错了,但我认为这句话是关于使用采样和DFT 估计的CTFT 有限的时间多脉冲信号(而不是一个infinite-duration周期信号)

所以这样的

x (t) = rectangularPulse (-0.5, 2.5, t);

x (t) = x (t) + x (t-6) + (t-12);%有限的持续时间三个脉冲的信号

图

持有在

fplot (x (t)[1, 20]),网格

轴垫

%样本

xn = repmat (1 1 1 0 0 0, 1, 3);n = 0:17;

茎((0:17),xn);

CTFT x (t)

X (f) =潜艇(简化(傅里叶(X (t), t, w)), w, 2 *符号(π)* f);

图

fplot (abs (X (f)) [-0.75 - 0.75])

ylim (9 [0])

如果我们想要得到最好的X (f)的估计,我们使用xn,包含所有三个脉冲的样本,计算DTFT

                                   图
                                  
                                   持有在
                                  
                                   fplot (abs (X (f)) [-0.75 - 0.75])
                                  
                                   [Xdtft, fdtft] = freqz (xn 1 linspace (-0.5, 0.5, 1001), 1);
                                  
                                   情节(fdtft、abs (Xdtft))

DTFT是一个非常好的近似CTFT的核心部分,即。-0.5 < = f < = 0.5。DTFT实际上是一样的,我们会得到与fft (xn, 1001),也就是说。的大规模在DFT xn,所以我们不会阴谋。

现在,我们知道从上面的DFT xn DTFT的频域样本。添加这些情节

                                   Xdft = fft (xn);
                                  
                                   茎(abs(9:8) / 18日(fftshift (Xdft)))

如图所示,xn DFT的频域DTFT的样本。

但我们可以得到相同的因素(3)DFT信息只使用第一个脉冲

Xdft1 = fft (xn (1:6));

情节((3:2)/ 6,3 * abs (fftshift (Xdft1)),“- x”)

传奇(“CTFT”,“DTFT”,“三个脉冲的DFT”,一个脉冲的DFT 3 *)

如果目标是估计CTFT x (t)通过DFT w / o补零,唯一得到的额外信息使用所有三个脉冲振幅比例的样品在四个频率零振幅。这个结果是否一致与你预期从“DFT(不知道)存在的多个脉冲”?或不应该包括两个额外的脉冲有不同的或附加的效果如何的DFT的CTFT单脉冲比较x (t) ?

Bjorn Gustavsson 2023年1月30日

通过周末了我错过了很多讨论。以来,这已经是一个相当庞大的fourier-transform-information我不会巧妙地赶上来,会袖手旁观,阅读,但首先一个最后的评论 @Paul 的回答:

” 从我的角度来看,我们并不一定constant-valued函数的傅里叶变换。马特·J有限序列的数据:[1,1,1,1,1)。在做任何分析之前我想想我假设信号是未知的。如果这五个点是一个恒定信号的一个子集,这是一件事。但如果这五个点是一个矩形脉冲的子集,那么这是一个不同的事情。可能还有其他这些5分代表的东西。不管那是什么,它指导我如何做分析,例如,补零,窗户,等等。 ”

这是一个有效的观点,但从一个Occhamian (Akaike /贝叶斯模型选择)把它将很难证明额外fourier-components以外的直流,因为这是不足以完全解释可用的数据,扩展之外,非常危险。

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