从频率响应与invfreqs / invfreqz滤波器系数

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法比奥Cavagna 2023年5月16日

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//www.tianjin-qmedu.com/matlabcentral/answers/1965314-filter-coefficients-from-frequency-response-with-invfreqs-invfreqz

编辑: 保罗 2023年5月21日14:50

答:接受保罗

你好,

我有一个线性时不变系统(spring-mass-damper),系统的输入是一个梯形加速度功率谱密度的基础应用于系统输出的均方根加速度的质量。评估输出的rms我想使用lyap,但我可以使用它只有在系统的输入是一个白噪声。

我想设计一个滤波器,作为输入白噪声(平坦功率谱密度)和作为输出的输入我的LTI系统:梯形加速度功率谱密度。我只需要滤波器的系数,这样我可以评估的空间状态形式过滤器和过滤器+ LTI(需要使用lyap)。

我不明白如何使用invfreqs / invfreqz。设计滤波器的级响应不匹配,我想。

这是代码:

清除所有;关闭所有;clc

定义梯形APSD % %

df = 0.1;

f_a = 20;f_b = 100;f_c = 300;f_d = 2000;%的频率点

s_l = 3;s_r = 5;%的斜坡

APSD_m = 1;%平PSD中期

f_l = f_a: df: f_b;f_m = f_b: df: f_c;f_r = f_c: df: f_d;

APSD_l = APSD_m * (f_l / f_b)。^ (s_l / (10 * log10 (2)));%左PSD

APSD_r = APSD_m * (f_r / f_c)。^ (s_r / (10 * log10 (2)));%对PSD

APSD_m = APSD_m *的(1、长度(f_m));% PSD中期

f_APSD = [f_l、f_m f_r];

APSD = [APSD_l、APSD_m APSD_r];

% %过滤器invfreqz

desiredResponse = sqrt (APSD);我想要%幅度响应

normalizedFrequency = f_APSD. / f_APSD(结束)*π;

[b] = invfreqz (desiredResponse normalizedFrequency 10 13 [], 30);%得到滤波器系数

zplane (b)

[h, w] = freqz (b, a,长度(f_APSD));%滤波器的频率响应

图()

重对数(APSD, f_APSD - k, f_APSD, abs (h)。^ 2, ' g ')

传奇(“目标APSD”、“滤波器响应”)

接受的答案

保罗 2023年5月16日

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//www.tianjin-qmedu.com/matlabcentral/answers/1965314-filter-coefficients-from-frequency-response-with-invfreqs-invfreqz answer_1237199

编辑:保罗 2023年5月17日22:58

假设f_APSD赫兹,过滤器,h,低于给APSD合理匹配。

df = 0.1;

f_a = 20;f_b = 100;f_c = 300;f_d = 2000;%的频率点

s_l = 3;s_r = 5;%的斜坡

APSD_m = 1;%平PSD中期

f_l = f_a: df: f_b;f_m = f_b: df: f_c;f_r = f_c: df: f_d;

APSD_l = APSD_m * (f_l / f_b)。^ (s_l / (10 * log10 (2)));%左PSD

APSD_r = APSD_m * (f_r / f_c)。^ (s_r / (10 * log10 (2)));%对PSD

APSD_m = APSD_m *的(1、长度(f_m));% PSD中期

f_APSD = [f_l、f_m f_r];

APSD = [APSD_l、APSD_m APSD_r];

% %过滤器invfreqz

% {

desiredResponse = sqrt (APSD);我想要%幅度响应

normalizedFrequency = f_APSD. / f_APSD(结束)*π;

[b] = invfreqz (desiredResponse normalizedFrequency 10 13 [], 30);%得到滤波器系数

zplane (b)

[h, w] = freqz (b, a,长度(f_APSD));%滤波器的频率响应

图()

重对数(APSD, f_APSD - k, f_APSD, abs (h)。^ 2, ' g ')

传奇(“目标APSD”、“滤波器响应”)

g = APSD(1) /(2 *π* f_APSD (1));

h =特遣部队(g *[1 0], 1) *特遣部队(1,(1 /(2 *π* f_b) 1)) *特遣部队(1,(1 /(2 *π* f_c) 1)) ^ 2;

h =特遣部队(g *[1 0], 1) *特遣部队(1,(1 /(2 *π* f_c * 0.85) 1]) ^ 3;

zpk (h)

ans = 6.5822 e06年代- - - - - - - - - - - - (s + 1602) ^ 3连续时间零/钢管/增益模型。

图

semilogx (f_APSD, 20 * log10 (APSD) f_APSD, db(挤压(波德(h, 2 *π* f_APSD)))),网格

包含(“赫兹”);ylabel (“数据库”)

不知道多好比赛需要,或如果它真的需要匹配sqrt (APSD)我不完全理解为什么这个近似有助于评估输出响应的均方根一些输入。如果输入和系统是已知的,它不应该有可能找到的RMS的输出这些信息呢?

我会更好地解释我的问题。我有一个spring-mass-damper系统兴奋在其基地的加速度。这种加速表达通过功率谱密度(APSD),我没有时间历史。我想评估加速度的均方根(rms)的质量。一个可能的解决方案是:我把APSD乘以的力量传递率的绝对值,然后我可以取平方根。另一个解决方案是李雅普诺夫方程,从Matlab帮助:* X + X *“+ Q = 0;那里是矩阵A的系统状态方程形式,Q是B * W * B和B党卫军形式矩阵B和W的功率谱密度的输入是一个白噪声与平坦功率谱密度(这样)。这个方程的解决方案的系统状态的变化,与ss矩阵C我可以评估输出的方差作为C * X * C '然后取平方根,rms的输出。使用这种方法,就像我说的,我必须有一个系统的输入是一个白噪声和输出质量加速度的均方根。我可以想象这个系统的一系列整形滤波器(输入白噪声、输出APSD)和spring-mass-damper系统(APSD输入、输出质量rms)。 So that the augmented system has input white noise and output mass rms. What I need is to design the shaping filter so that its magnitude response is the square root of the power spectral density (S_uu(om) = abs(H(j*om))^2 * 1, where 1 is assumed to be the PSD of the white noise, S_uu the APSD and H the filter transfer function), and I need its coefficients to write the transfer function and its state-space form (needed to write the state-space form of the augmented system, whose matrices will be used in the lyapunov equation).

保罗 2023年5月17日20:13

编辑:保罗 2023年5月17日23:30

我只是建造了一个传递函数与频率响应相当于APSD。

但使用李雅普诺夫方程方法,我能明白为什么你需要一个传递函数适合sqrt (APSD)。

你能提供一个参考链接李雅普诺夫方程方法?

你有义务使用李雅普诺夫方程的方法吗?如果没有,我们知道PSD的输出是输入的PSD的产物和传递函数的大小的平方,这两种。然后RMS的输出应该是根号PSD输出的积分,不应该吗?

我要尝试一个例子。

f_APSD APSD如上定义

                                   df = 0.1;
                                  
                                   f_a = 20;f_b = 100;f_c = 300;f_d = 2000;%的频率点
                                  
                                   s_l = 3;s_r = 5;%的斜坡
                                  
                                   APSD_m = 1;%平PSD中期
                                  
                                   f_l = f_a: df: f_b;f_m = f_b + df: df: f_c;f_r = f_c + df: df: f_d;
                                  
                                   APSD_l = APSD_m * (f_l / f_b)。^ (s_l / (10 * log10 (2)));%左PSD
                                  
                                   APSD_r = APSD_m * (f_r / f_c)。^ (s_r / (10 * log10 (2)));%对PSD
                                  
                                   APSD_m = APSD_m *的(1、长度(f_m));% PSD中期
                                  
                                   f_APSD = [f_l、f_m f_r];
                                  
                                   APSD = [APSD_l、APSD_m APSD_r];

定义简单的二阶模型

                                   wn = 2 *π* 200;
                                  
                                   ζ= 0.3;

二阶系统

                                   h =特遣部队(wn ^ 2,[1 2 *ζ* wn wn ^ 2]);
                                  
                                   sys = ss (h);

期望的品质因数,我认为这是RMS ^ 2,基于李雅普诺夫的解决方案使用上面的方向

                                   W = 1;
                                  
                                   X = lyap (sys.A sys.B * W * sys.B”);
                                  
                                   V = sys.C * X * sys.C。”
                                  
                                     V = 1.0472 e + 03

PSD输出的响应与常数,一个输入单元,PSD是abs (H (f)) ^ 2。品质因数的计算通过集成的PSD输出和正片叠底乘以2,因为我们只是整合正频率。

                                   Vs = 2 *积分(@ (f)重塑(abs (freqresp (sys, 2 *π* f)) ^ 2,大小(f)), 0,正)
                                  
                                     Vs = 1.0472 e + 03

对于真正的问题,定义从加速度传递函数基础加速度的质量

                                   h =特遣部队([2 *ζ* wn wn ^ 2],[1 2 *ζ* wn wn ^ 2]);
                                  
                                   sys = ss (h);

覆盖系统的频率响应与PSD的输入

图

semilogx (f_APSD, 20 * log10 (APSD) f_APSD, db(挤压(波德(sys, 2 *π* f_APSD)))),网格

传奇(“abs (H (f))”,“APSD”)

计算产品的积分APSD和abs (H (f)) ^ 2,只有APSD频率定义的局限性。线性插值似乎是合理的考虑到df似乎很小。

                                   2 *积分(@ (f) interp1 (APSD f_APSD, f,“线性”)。*重塑(abs (freqresp (sys, 2 *π* f)) ^ 2,大小(f)), f_APSD (1) f_APSD(结束)
                                  
                                     ans = 1.2210 e + 03

扩展APSD asusming是零直流和滚降至零线性f = 10000。当然,你可以如果需要更多的现实模型

                                   apsd = @ (f) interp1 ([0 f_APSD 1 e4], [0 apsd 0], f,“线性”,0);
                                  
                                   2 *积分(@ (f) apsd (f)。*重塑(abs (freqresp (sys, 2 *π* f)) ^ 2,大小(f)), 0,正)
                                  
                                     ans = 1.2254 e + 03

保罗 2023年5月18日在定于今年

指定PSD的基本运动

                                   df = 0.1;
                                  
                                   f_a = 20;f_b = 100;f_c = 300;f_d = 2000;%的频率点
                                  
                                   s_l = 3;s_r = 5;%的斜坡
                                  
                                   APSD_m = 1;%平PSD中期
                                  
                                   f_l = f_a: df: f_b;f_m = f_b + df: df: f_c;f_r = f_c + df: df: f_d;
                                  
                                   APSD_l = APSD_m * (f_l / f_b)。^ (s_l / (10 * log10 (2)));%左PSD
                                  
                                   APSD_r = APSD_m * (f_r / f_c)。^ (s_r / (10 * log10 (2)));%对PSD
                                  
                                   APSD_m = APSD_m *的(1、长度(f_m));% PSD中期
                                  
                                   f_APSD = [f_l、f_m f_r];
                                  
                                   APSD = [APSD_l、APSD_m APSD_r];

线性时不变滤波器级响应的大约sqrt (APSD)。可以做一个更好的高阶模型。

sqrtapsdsys = zpk ((-117.9, -1.899), (-23.9, -493.4, -2040), 2589.6);

比较APSD和大小的平方近似过滤器

图

semilogx (f_APSD, 20 * log10 (APSD) f_APSD, db(挤压(波德(sqrtapsdsys 2 *π* f_APSD)) ^ 2)),网格

传奇(“APSD”,“sqrtapsd ^ 2》)

工厂模型进行测试。基本加速度输入,质量加速度是输出。

                                   wn = 2 *π* 200;
                                  
                                   ζ= 0.3;
                                  
                                   h =特遣部队([2 *ζ* wn wn ^ 2],[1 2 *ζ* wn wn ^ 2]);
                                  
                                   sys = ss (h);

增加预滤器的植物。

augsys = sys * sqrtapsdsys;

使用lyap firgure计算的优点

                                   W = 1;
                                  
                                   X = lyap (augsys.A augsys.B * W * augsys.B”);
                                  
                                   V = augsys.C * X * augsys.C。”
                                  
                                     V = 1.2229 e + 03

计算直接集成的品质因数的乘积APSD和abs (sys) ^ 2。APSD近似过去指定的边界。适当延长APSD上会更好。

                                   apsd = @ (f) interp1 ([0 f_APSD 1 e4], [0 apsd 0], f,“线性”,0);
                                  
                                   2 *积分(@ (f) apsd (f)。*重塑(abs (freqresp (sys, 2 *π* f)) ^ 2,大小(f)), 0,正)
                                  
                                     ans = 1.2254 e + 03

应用相当接近。

保罗 2023年5月20日19:02

编辑:保罗 2023年5月21日14:50

这是一个完整的代码。它不是使用相同的代码,我在上面的评论中,但给出了非常相似的结果。

的关键部分是esimate阶段输出系统只基于增益。这段代码使用的方法级反应阶段的反应之间的关系。似乎工作这个问题,简单的情况下,但我肯定还没有测试。

这里有一个例子估计相位大小的一个简单的问题。

警告(“关闭”);%关闭警告不要杂乱的输出。很多的警告!

h =特遣部队([1]);h = h *特遣部队([1 - 5],[100]);

w = logspace (2、3、1000);

Hw =挤压(freqresp (h, w));

w0 = w(1:20:结束);

图

semilogx (w 180 /π*角(Hw) w0,180 /π*阶段(@ (w)重塑(abs (freqresp (h, w)),大小(w)), w0),“o”)

包含(“rad /秒”);ylabel (“度”)

定义所需的APSD

                                   df = 0.1;
                                  
                                   f_a = 20;f_b = 100;f_c = 300;f_d = 2000;%的频率点
                                  
                                   s_l = 3;s_r = 5;%的斜坡
                                  
                                   APSD_m = 1;%平PSD中期
                                  
                                   f_l = f_a: df: f_b;f_m = f_b + df: df: f_c;f_r = f_c + df: df: f_d;
                                  
                                   APSD_l = APSD_m * (f_l / f_b)。^ (s_l / (10 * log10 (2)));%左PSD
                                  
                                   APSD_r = APSD_m * (f_r / f_c)。^ (s_r / (10 * log10 (2)));%对PSD
                                  
                                   APSD_m = APSD_m *的(1、长度(f_m));% PSD中期
                                  
                                   f_APSD = [f_l、f_m f_r];
                                  
                                   APSD = [APSD_l、APSD_m APSD_r];

估计所需的预滤器的阶段,大小等于根号APSD的大小。

延长f_APSD左边得到更好地估计在低频率。

                                   f0 = [0.1 f_APSD(1:10 0:结束)];
                                  
                                   phasesqrtapsd2 =阶段(@ (w) (sqrt (apsdcalc (w / 2 / pi))), 2 *π* f0);
                                  
                                   magsqrtapsd2 =√apsdcalc (f0));

使用invfreqs传递函数估计。

                                   (b2 a2) = invfreqs (magsqrtapsd2。* exp (1 j * phasesqrtapsd2) 2 *π* f0, 2, 4, 0 * f0 + 1, 30);
                                  

转换为zpk形式。有一个波兰人以非常高的频率

                                   sqrtapsdsys = zpk (tf (b2 a2))
                                  
                                     sqrtapsdsys e20 (s + 201.6) = 1.3257 (s + 2.942) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (s + 5.274 e16天)(s + 1885) (s + 610.3) (s + 61.26)连续时间零/钢管/增益模型。

消除了钢管在高频率。也许应该使用invfreqs指定三阶分母。

                                   sqrtapsdsys = freqsep (sqrtapsdsys, 2000)
                                  
                                     sqrtapsdsys = 2513.4 (s + 201.6) (s + 2.942) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (s + 61.26) (s + 610.3) (s + 1885)连续时间零/钢管/增益模型。

比较APSD平方大小的过滤器,在感兴趣的频率范围。

图

semilogx (…

f_APSD, db (APSD),…

f_APSD, db (abs(频率(b2, a2, 2 *π* f_APSD)) ^ 2),…

f_APSD, db (abs(挤压(freqresp (sqrtapsdsys 2 *π* f_APSD))) ^ 2)。…

)、网格

包含(“赫兹”)

传奇(“APSD”,“(b2 / a2) ^ 2”,“sqrtapsdsys ^ 2》)

可能要调整增益sqrtapsdsys APSD下的面积和abs (sqrtapsdsys) ^ 2下的面积在感兴趣的频率范围是一样的吗?

工厂模型进行测试。基本加速度输入,质量加速度是输出。

                                   wn = 2 *π* 200;
                                  
                                   ζ= 0.3;
                                  
                                   h =特遣部队([2 *ζ* wn wn ^ 2],[1 2 *ζ* wn wn ^ 2]);
                                  
                                   sys = ss (h);

增加预滤器的植物。

augsys = sys * sqrtapsdsys;

计算使用lyap品质因数

                                   W = 1;
                                  
                                   X = lyap (augsys.A augsys.B * W * augsys.B”);
                                  
                                   V = augsys.C * X * augsys.C。”
                                  
                                     V = 1.2081 e + 03

计算直接集成的品质因数的乘积APSD和abs (sys) ^ 2。

                                   2 *积分(@ (f) apsdcalc (f)。*重塑(abs (freqresp (sys, 2 *π* f)) ^ 2,大小(f)), 0,正)
                                  
                                     ans = 1.2253 e + 03

                                   警告(“上”)
                                  
                                   函数apsd = apsdcalc (f)
                                  
                                   %计算APSD下结论的频率。假定APSD卷为零
                                  
                                   使用相同的方程f % < f_a和f > f_d。
                                  
                                   f_a = 20;f_b = 100;f_c = 300;f_d = 2000;%的频率点
                                  
                                   s_l = 3;s_r = 5;%的斜坡
                                  
                                   APSD_m = 1;
                                  
                                   apsd = 0 * f + APSD_m;
                                  
                                   APSD_m = 1;%平PSD中期
                                  
                                   apsd (abs (f) < = f_b) = APSD_m * (abs (f (abs (f) < = f_b)) / f_b) ^ (s_l / (10 * log10 (2)));%左PSD
                                  
                                   apsd (abs (f) > = f_c) = APSD_m * (abs (f (abs (f) > = f_c) / f_c))。^ (s_r / (10 * log10 (2)));%对PSD
                                  
                                   apsd (apsd < = 1 = 1平台以及平台以及);
                                  
                                   结束
                                  
                                   函数w0阶段=阶段(mag)
                                  
                                   =南* w0阶段;
                                  
                                   为2 = 1:元素个数(w0)
                                  
                                   第二阶段()= -myhilbert (@ (w)日志(mag (w)), w0 (ii));
                                  
                                   结束
                                  
                                   结束
                                  
                                   函数你好= myhilbert (f, w0)
                                  
                                   x = @ (w) f (w)。/ (w0-w);
                                  
                                   %嗨=积分(x,负无穷,正);
                                  
                                   你好=(积分(x,负无穷,w0-eps) +积分(x, w0 + eps,正))/π;
                                  
                                   结束

法比奥Cavagna 2023年5月21日9:59

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