股价演变

假设价格按照与无风险利率、股息收益率(如果有的话)和市场波动率相关的对数正态分布演变。此外，假设所有这些数量在期权的生命周期内保持固定。这些假设导致了价格的随机微分方程。

$$d\mathrm{年代}＝\mathrm{年代}\times ［（r-d）dt+\sigma ϵ\sqrt{dt}］$$，

在哪里 $$\mathrm{年代}$$股票价格， $$r$$为无风险利率， $$d$$是股票的年股息率， $$\sigma$$是价格的波动，和 $$ϵ$$表示高斯白噪声过程。假设 $$（\mathrm{年代}+\Delta \mathrm{年代}）/\mathrm{年代}$$是对数正态分布的，这个微分方程可以离散得到这个方程。

$${\mathrm{年代}}_{t+1}＝{\mathrm{年代}}_t\times \mathrm{经验值}［（r-d-\frac{1}{2}{\sigma }^2）\Delta t+\sigma ϵ\sqrt{\Delta t}］$$．

用100美元的股票来分析一个两年的时间窗口，假设如下:

股票价格= 100;timeToExpiry = 2;红利= 0.01;riskFreeRate = 0.005;sampleRate = 1/250;波动率= 0.20;

为了确保可预测的结果，请设置CPU和GPU随机数生成器的种子。

种子= 1234;rng(种子);gpurng(种子);

模拟股价随时间变化的路径，并绘制结果。

价格=股票价格;时间= 0;h = animatedline(标记=“。”）;而time < timetoexpiration time = time + sampleRate;漂移= (riskFreeRate -红利-波动率*波动率/2)*抽样率;扰动=波动率*平方根(sampleRate)*randn;价格=价格*exp(漂移+扰动);addpoints (h、时间、价格);结束网格在轴紧包含(“时间(年)”) ylabel (“股价(元)”）

CPU和GPU的时间执行

的simulateStockPrice函数，在本例的末尾提供，它使用前一节中描述的离散微分方程模拟股票价格。

准备输入数据，以运行100,000个股票价格的蒙特卡罗模拟。

N = 100000;startStockPrices = stockPrice*ones(N,1);

在CPU上计时100,000次模拟。

if = 0 (N,1);为i = 1:N finalStockPricesCPU(i) = simulatstockprice (startStockPrices(i)，.．.riskFreeRate、股息、波动,.．.timeToExpiry sampleRate);结束timeCPU = toc;

因为每个模拟给出了一个独立的期权价格估计，所以取平均值作为结果。

流(计算CPU上$%1.4f的平均价格在%1.3f秒内。\n，.．.意思是(finalStockPricesCPU) timeCPU);

计算CPU的平均价格为99.0857美元，用时2.206秒。

为了在GPU上运行模拟，在GPU上准备输入数据gpuArray对象。

gpuStartStockPrices = gpuArray(startStockPrices);

当你打电话时arrayfun以GPU数组和函数句柄作为输入，arrayfun将指定的函数应用于数组的每个元素。这种行为意味着循环遍历每个起始股票价格是不必要的。的arrayfun函数将一个基于元素的MATLAB®函数转换为自定义CUDA®内核，从而减少了执行操作的开销。

运行simulateStockPrice函数使用arrayfun并在GPU上进行100,000次模拟gputimeit．

finalStockPricesGPU = arrayfun(@ simulatstockprice，.．.gpuStartStockPrices riskFreeRate,股息,波动,.．.timeToExpiry sampleRate);timeGPU = gputimeit(@() arrayfun(@ simulatestockprice，).．.gpuStartStockPrices riskFreeRate,股息,波动,.．.timeToExpiry sampleRate));流(“计算GPU上$ 1.4f的平均价格在%1.3f秒内。\n”，.．.意思是(finalStockPricesGPU) timeGPU);

在0.023秒内计算出GPU的平均价格为99.0442美元。

将GPU上的蒙特卡罗模拟结果绘制成直方图。

直方图(finalStockPricesGPU, 100);包含(“股价(元)”) ylabel (“频率”网格)在

亚洲期权定价

使用基于期权有效期内股票价格的算术平均值的欧亚期权。的asianCallOption函数通过在模拟过程中累积价格来计算平均价格。对于看涨期权，如果平均价格高于执行价格，函数就执行期权。支付就是平均价格和执行价格之间的差额。使用asianCallOption，在本例末尾提供，以模拟亚洲看涨期权。

将期权的执行价格设定为95美元。

罢工= 95;

在CPU和GPU上进行100,000次模拟arrayfun并展示结果。

optionPricesCPU = 0 (N,1);为i=1:N optionPricesCPU(i) = asianCallOption(startStockPrices(i)，.．.riskFreeRate、股息、波动性,罢工,.．.timeToExpiry sampleRate);结束timeAsianOptionCPU = toc;流(计算CPU上$%1.4f的平均价格在%1.3f秒内。\n，.．.意思是(optionPricesCPU) timeAsianOptionCPU);

计算CPU的平均价格为8.6733美元，用时2.146秒。

optionPricesGPU = arrayfun(@asianCallOption，.．.gpuStartStockPrices riskFreeRate,股息,波动性,罢工,.．.timeToExpiry sampleRate);timeAsianOptionGPU = gputimeit(@() arrayfun(@ asiancalloption，).．.gpuStartStockPrices riskFreeRate,股息,波动性,罢工,.．.timeToExpiry sampleRate));流(“计算GPU上$ 1.4f的平均价格在%1.3f秒内。\n”，.．.意思是(optionPricesGPU) timeAsianOptionGPU);

在0.023秒内计算出GPU的平均价格为8.7448美元。

为回溯选项定价

使用欧式回溯期权，其支付金额为期权存续期内最低股价与最终股价之间的差额。期权的执行价格是股票的最低价格。因为最终股票价格总是大于或等于最小值，期权总是被行权，并不是真正的可选。使用lookbackCallOption，在本例的末尾提供，用于模拟欧式的回看调用选项。

在CPU和GPU上进行100,000次模拟arrayfun并展示结果。

optionPricesCPU = 0 (N,1);为i=1:N optionPricesCPU(i) = lookbackCallOption(startStockPrices(i)，.．.riskFreeRate、股息、波动,.．.timeToExpiry sampleRate);结束timeLookbackOptionCPU = toc;流(计算CPU上$%1.4f的平均价格在%1.3f秒内。\n，.．.意思是(optionPricesCPU) timeLookbackOptionCPU);

计算CPU的平均价格为19.2456美元，用时2.201秒。

optionPricesGPU = arrayfun(@lookbackCallOption，.．.gpuStartStockPrices riskFreeRate,股息,波动,.．.timeToExpiry sampleRate);timeLookbackOptionGPU = gputimeit(@() arrayfun(@ lookbackcalloption，).．.gpuStartStockPrices riskFreeRate,股息,波动,.．.timeToExpiry sampleRate));流(“计算GPU上$ 1.4f的平均价格在%1.3f秒内。\n”，.．.意思是(optionPricesGPU) timeLookbackOptionGPU);

在0.021秒内计算出GPU上19.3893美元的平均价格。

障碍期权定价

使用涨跌障碍期权，如果股价达到障碍水平，该期权将失效。如果股价低于障碍水平，在正常的欧洲看涨期权计算中使用最终股价。使用upAndOutCallOption函数，该函数在本例的末尾提供，用于模拟一个向上和向外的障碍调用选项。

设定期权的执行价格和期权失效的障碍价格。执行价格为95美元，壁垒价格为150美元。

罢工= 95;屏障= 150;

在CPU和GPU上进行100,000次模拟arrayfun并展示结果。

optionPricesCPU = 0 (N,1);为i=1:N optionPricesCPU(i) = upAndOutCallOption(startStockPrices(i)，.．.riskFreeRate、股息、波动性,罢工,.．.障碍,timeToExpiry sampleRate);结束timeBarrierOptionCPU = toc;流(计算CPU上$%1.4f的平均价格在%1.3f秒内。\n，.．.意思是(optionPricesCPU) timeBarrierOptionCPU);

在2.074秒内计算出CPU的平均价格为6.8327美元。

optionPricesGPU = arrayfun(@upAndOutCallOption，.．.gpuStartStockPrices riskFreeRate,股息,波动性,罢工,.．.障碍,timeToExpiry sampleRate);timeBarrierOptionGPU = gputimeit(@() arrayfun(@ upandoutcalloption，).．.gpuStartStockPrices riskFreeRate,股息,波动性,罢工,.．.障碍,timeToExpiry sampleRate));流(“计算GPU上$ 1.4f的平均价格在%1.3f秒内。\n”，.．.意思是(optionPricesGPU) timeBarrierOptionGPU);

0.021秒内计算出GPU上的平均价格为6.7834美元。

比较结果

计算每个模拟的CPU执行时间与GPU执行时间的比率。

ratio = [timeCPU/timeGPU timeAsianOptionCPU/timeAsianOptionGPU ..．.timeLookbackOptionCPU / timeLookbackOptionGPU timeBarrierOptionCPU / timeBarrierOptionGPU]

率=1×494.2557 94.6009 104.1725 97.5490

要使结果可视化，请绘制每个模拟的执行时间之比。

栏(分类([“股价”“亚洲看涨期权”“Lookback选项”“障碍选择”]),.．.比率)ylabel (CPU与GPU执行时间之比）

在本例中，在GPU上运行模拟arrayfun比在CPU上运行模拟要快得多。

当您将本例中描述的技术应用于您自己的代码时，性能改进将很大程度上依赖于您的硬件和所运行的代码。

万博1manbetx支持功能

股票价格演化模拟函数

的simulateStockPrice函数执行蒙特卡罗模拟来确定最终的股票价格。计算假设价格按照与无风险利率、股息收益率(如果有的话)和市场波动率相关的对数正态分布演变。

的simulateStockPrice函数以初始股票价格、无风险利率、股息率、市场波动率、总时间窗口和样本率作为输入。

函数finalStockPrice = simulateStockPrice(价格，riskFreeRate，股息，波动性，T,dT) T = 0;而t < t t = t + dT;漂移= (riskFreeRate -红利-波动率*波动率/2)*dT;扰动=波动率*根号(dT)*randn;价格=价格。*exp(漂移+扰动);结束finalStockPrice =价格;结束

亚洲看涨期权功能

的asianCallOption函数执行蒙特卡罗模拟来确定亚洲看涨期权价格。计算假设价格按照与无风险利率、股息收益率(如果有的话)和市场波动率相关的对数正态分布演变。该函数通过在模拟过程中累积价格来计算平均价格。对于看涨期权，如果平均价格高于执行价格，函数就执行期权。支付就是平均价格和执行价格之间的差额。

的asianCallOption函数以初始股票价格、无风险利率、股息率、市场波动率、执行价格、总时间窗口和样本率作为输入。

函数optionPrice = asianCallOption(价格，风险自由率，股息，波动性，罢工，T,dT) T = 0;accumulativeprice = 0;而t < t t = t + dT;dr = (riskFreeRate -股息-波动率*波动率/2)*dT;pert =波动率*√(dT)*randn;价格=价格*exp(dr + pert);cumulativePrice = cumativeprice +价格;结束numSteps = (T/dT);meanPrice = cumulativePrice/numSteps;以今天的货币表示最终价格。optionPrice = exp(- riskfreerate *T)*max(0,meanPrice - strike);结束

回看选项命令功能

的lookbackCallOption函数执行蒙特卡罗模拟来确定欧式回溯期权，其支付是期权生命周期内最低股价与最终股价之间的差值。期权的执行价格是股票的最低价格。因为最终股票价格总是大于或等于最小值，期权总是被行权，并不是真正的“可选”。

的lookbackCallOption函数以初始股票价格、无风险利率、股息率、市场波动率、总时间窗口和样本率作为输入。

函数optionPrice = lookbackCallOption(价格，riskFreeRate，股息，波动性，T,dT) T = 0;minPrice =价格;而t < t t = t + dT;dr = (riskFreeRate -股息-波动率*波动率/2)*dT;pert =波动率*√(dT)*randn;价格=价格*exp(dr + pert);如果minPrice =价格;结束结束以今天的货币表示最终价格。optionPrice = exp(- riskfreerate *T)*max(0,price - minPrice);结束

Barrier Option函数

的upAndOutCallOption函数执行蒙特卡罗模拟来确定一个向上和向上的障碍看涨期权价格。如果股票价格低于障碍水平，该函数在正常的欧洲看涨期权计算中使用最终股票价格。

的upAndOutCallOption函数以初始股票价格、无风险利率、股息率、市场波动率、执行价格、障碍价格、总时间窗口和样本率作为输入。

函数optionPrice = upAndOutCallOption(价格，风险freerate，股息，波动率，罢工，障碍，T,dT) T = 0;而(t < t) &&(价格<障碍)t = t + dT;dr = (riskFreeRate -股息-波动率*波动率/2)*dT;pert =波动率*√(dT)*randn;价格=价格*exp(dr + pert);结束如果价格<障碍在障碍之内，价格与欧式期权相同。optionPrice = exp(- riskfreerate *T)*max(0，价格-执行);其他的%达到障碍，期权被撤回optionPrice = 0;结束结束