来自系列:用MATLAB求解ode
克里夫硅藻土,MathWorks
经典的Lotka-Volterra模型捕食者 - 猎物竞争模型,描述了狐狸和兔子之间的相互作用,或大鱼和小鱼,是数学生态学的基础。它也已应用于许多其他领域,包括经济学。该模型是两个方程的非线性系统,其中一个物种在不存在于另一个的情况下呈指数呈指数级增长并且另一个衰减。一个非零临界点是稳定的。所有解决万博 尤文图斯方案都是周期性的。程序“Predprey”提供了一个用于研究模型的应用程序。
Lotka-Volterra捕食者-猎物方程是所有涉及物种间竞争模型的鼻祖。它们是数学生态学等领域的基础。把这两个物种想象成兔子和狐狸,驼鹿和狼,或者小鱼和大鱼。
Y1代表了猎物,如果没有掠夺者,那么和平地生活在一起。我选择了时间和人口单位,以便领先的线性术语前面的系数是一个。因此,Y1粉末等于Y1代表牺牲者缺乏任何捕食者的指数增长。
掠夺者需要猎物,生活在猎物身上。因此,在没有任何牺牲者的情况下,这款减号就很重要。因此,Y2素数等于减号Y2代表指数衰减。在没有任何猎物的情况下,捕食者呈指数级。
但是这里是非线性术语。这些就像物流术语,除了两种物种之间的相互作用。Y1的生长受Y 2存在的限制。因此,Y1将成长,直到该术语变为0,一个Y2读取达MU2。
另一方面,当Y1到达MU1时,Y2的衰减变为0。要完成此规范,我们需要初始条件。所以我们有两个值ETA 1和ETA 2,这是Y1和Y2的初始值。
这四个参数,两个mus和两个etas,就是我们在捕食者-猎物模型中得到的四个参数。不用担心这些是连续变量也不用担心个体的数目是非整数。
我们可以有一半的兔子或十分之一的驼鹿。毕竟,这些是具有本质上发生的事情的理想化版本的模型。关键点是衍生物成为0.原点存在临界点。
但是,有趣的是,这些术语变为0.因此这就是Y1和Y2等于MU1和MU2的点。我们要看雅各比亚。这是雅各的一般。在临界点,雅各比比亚 - 这是雅各比亚。
雅可比的特征值是加号或减去I.而且这个临界点是一个稳定的中心,一个时间为2PI。所以这些是非线性方程。我们无法以简单的分析功能表达解决方案。
我们必须数值计算它们。但我们确实知道它们的行为。当初始条件接近于临界点时,解是周期性的。周期接近2。轨道接近于椭圆。
另一方面,如果初始条件远离临界点,则解仍然是周期性的。但周期大于2,轨道也远离椭圆。让我们用MATLAB来计算一个解。
我们需要参数。这是和。我来建立微分方程。然后选择ODE 45从0到25积分。这就是解决方案。这是周期性的。捕食者和猎物。看起来周期,它回到了初始条件是100和400。
它正在返回这一点。我们已经融入了超过三个时期的东西。我碰巧知道这个时期是6.5。所以我可以 - 我要设置 - 我想计算到更高的准确性。10到负6。
让我们捕获解决方案并在三个时期集成。它产生了337分。让我们用更精细的点绘制它。我们可以在这里看到,我们已经走了三个时期,并回到了100和300的初始值。
现在我要用一些东西来展示MATLAB中函数的周期性,叫作彗星。一个轨道。两个轨道。三个轨道。确定周期解的周期通常是计算的重要部分。
在Matlab ode Suite中,这是通过事件处理程序完成的。所以我将使用Ode的集合提供一个名为Pit Stop的事件处理程序。这是坑停止的代码。每次集成中的步骤都调用此代码。
而且我不会在这里进行详细介绍,但它计算了一个函数g,我们正在寻求看到这是0的0.当g返回0时,集成停止。我要去 - 我在这里有一个显示功能。
通常,这不会在这里。但我想看看这一点,看看如何完成计算。它说,当Y返回到其角度mu与ETA和MU之间的角度相同的点时终止。如果解决方案返回其初始条件,则比查找更可靠。
我们运行ODE 45,让它在一个无限的时间步上,在一个无限的区间上积分。这是不会发生的,因为我们会在g为0的时候停止但是用这个事件处理程序的选项向量集。就是这样。
这是积分过程中,补给站的输出。这是它找到的值。这是g趋于0的地方。我得到了一个有117个值的t向量。t的最终值就是我说过的这个值就是这个解的周期。
因此,这是如何通过颂歌求解器中的此事件处理功能确定的时间。大。我有一个名为predator prey的程序,该程序是与ncm附带的程序集合,与matlab的数值计算。我的书在Mathworks网站上提供。
捕食者猎物提供此图形用户界面,以演示我们已经谈过的捕食者猎物方程。顶部显示屏显示相平面图,猎物与捕食者的曲线。并且底部显示屏显示了时间序列图,两个人群的曲线。
一开始,它被设定在我们讨论过的条件下。这里有400只兔子和100只狐狸在300只兔子和200只狐狸的临界点附近。这是周期是6。5的奇数。
现在,它说拖动任意一个点。你可以改变初始条件或者临界点。如果我使初始条件接近临界点,那么相平面图就接近椭圆。周期接近于2。
这是6。28,是3。14的两倍。但如果我改变它,使两者彼此远离,那么相平面图就会和椭圆非常不同。它总是周期性。这是这些非线性方程的神奇之处。
他们总是有一个定期的解决方案。但现在正如您所看到的,那段时间大于2PI。并且解决方案远非万博 尤文图斯正弦曲线。因此,在NCM下的MathWorks网站中的程序中提供的Pred Prey应用程序,用于使用MATLAB的数值计算。
哎呀,我立场纠正。如果你谷歌蜕皮预折佩,它试图用它来谈谈我,但是它将它显示在我的第二本书中,用Matlab进行实验。有两本书。用matlab和Matlab的实验数值计算。
pred prey是第二个,用MATLAB做实验。你可以到网站上下载EXM的所有程序也可以到这里,这里是pred prey。这是在MathWorks网站上用MATLAB做的实验。只要是鼹鼠捕食者的猎物,你就能找到它。
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