资本资产定价模型

资本资产定价模型(CAPM)是一种古老但经常被诟病的工具，用来描述资产价格和市场价格之间的波动。尽管在CAPM的实施和解释中出现了许多问题，但从业者面临的一个问题是用不完全的股价数据估计CAPM的系数。

假设我们可以在参考文献中找到一些假设(参见Sharpe [3.]，林特纳[2]，贾罗[1]，以及夏普等人。[4])， CAPM得出资产收益与市场收益呈线性关系。具体来说，给定构成一个市场的所有股票的收益记为米无风险资产的收益记为C， CAPM表示每项资产的回报率R(我)在市场上有预期的形式

E[R(i)] = C + b(i) * (E[M] - C)

的资产I = 1，…n,在那里b(我)是指定给定资产与基础市场之间变动程度的参数。换句话说，每个资产的预期收益等于无风险资产的收益加上风险调整后的预期市场收益减去无风险资产收益。参数的集合(1),…b (n)被称为资产。

请注意，资产的beta具有这种形式

b(i) = cov(R(i)，M)/var(M)

也就是资产和市场收益的协方差除以市场收益的方差。如果一项资产的贝塔值等于1，则该资产随市场而变动;如果一项资产的贝塔系数大于1，则该资产的波动性大于市场;如果一项资产的贝塔值小于1，则该资产的波动性小于市场。

CAPM的估计

用于估计的CAPM模型的标准形式是一个线性模型，每个资产都有附加参数来表征剩余误差。对于每一个n资产与米观察到的资产收益样本R (k,我)，市场回报M (k)，以及无风险资产回报C (k)，则估计模型具有

R (k, i) =(我)+ C (k) + b(我)* (M (k) - C (k)) + V (k,我)

为样本K = 1，…,米和资产I = 1，…n,在那里(我)是指定资产的非系统收益的参数，b(我)资产是V (k,我)是否每个资产的剩余误差与相关的随机变量V(我)．

参数的集合(1)……(n)被称为资产。CAPM的严格形式规定，α必须为零，从零的偏差是暂时不平衡的结果。然而，在实践中，资产可能具有非零阿尔法值，其中许多主动投资管理都致力于寻找具有可利用的非零阿尔法值的资产。

为了考虑到alpha值不为零的可能性，估计模型通常试图估计alpha值，并执行测试以确定alpha值在统计上是否等于零。

剩余误差V(我)假设有时刻

E[V(i)] = 0

而且

E[V(i) * V(j)] = S(i,j)

的资产I,j = 1，…n，其中参数为(1,1),……S (n, n)被称为残差或非系统方差/协方差。

每项资产剩余方差的平方根，即，√(我))为I = 1，…n，被称为资产的剩余风险或非系统风险，因为它表征了资产价格的剩余变化，而这些变化不能用市场价格的变化来解释。

缺失数据估计

尽管对于拥有足够长资产回报历史的公司，可以估算贝塔值，但对于近期ipo的贝塔值却极其难以估算。然而，如果存在一组足够可观察到的公司，可以预期它们与新公司的股价走势具有某种程度的相关性，例如，与新公司处于同一行业的公司，则可以使用Financial Toolbox™中的缺失数据回归例例获得新公司beta的估算值。

一些技术股票beta的单独估计

为了说明如何使用缺失数据回归例程，我们将估计12只科技股的贝塔值，其中一只股票(GOOG)是IPO。

首先，从mat文件中加载12只股票的日期、总回报和股票代码CAPMuniverse．

负载CAPMuniverse谁资产数据日期

名称大小字节类属性资产1x14 1568 cell数据1471x14 164752 double日期1471x1 11768 double

日期= datetime(日期，“ConvertFrom”，“datenum”）;

模型中的资产具有以下符号，其中最后两个系列是市场和无风险资产的代理。

资产(1:7)

ans =1 x7单元格列1到6{“apple”}{amazon的}{cisco的}{“戴尔”}{“易趣”}{“google”}列7{“hp”}

资产(14)

ans =1 x7单元格列1到6{“IBM”}{intel的}{“微软”}{‘ORCL}{“yahoo”}{‘市场’}列7{“现金”}

数据涵盖2000年1月1日至2005年11月7日期间的每日总回报率。在这个宇宙中，有两只股票的价值缺失，由南这两只股票中的一只在此期间进行了首次公开募股，因此，数据明显少于其他股票。

第一步是为每个股票计算单独的回归，其中缺少数据的股票具有反映其降低可观察性的估计。

[NumSamples, NumSeries] = size(Data);NumAssets = NumSeries - 2;StartDate =日期(1);EndDate =日期(结束);Alpha = NaN(1，长度(NumAssets));Beta = NaN(1，长度(NumAssets));Sigma = NaN(1，长度(NumAssets));StdAlpha = NaN(1，长度(NumAssets));StdBeta = NaN(1，长度(NumAssets));StdSigma = NaN(1, length(NumAssets));为i = 1:NumAssets建立独立的资产数据和设计矩阵TestData = 0 (NumSamples,1);TestDesign = 0 (NumSamples,2);TestData(:) = Data(:，i) - Data(:，14);TestDesign(:，1) = 1.0;TestDesign(:，2) = Data(:，13) - Data(:，14);分别估计每个资产的CAPM。[Param, Covar] = ecmmvnrmle(TestData, TestDesign);估计协方差参数的理想标准误差。[StdParam, StdCovar] = ecmmvnrstd(测试数据，测试设计，Covar，“雪”）;估计模型参数的样本标准误差。StdParam = ecmmvnrstd(TestData, TestDesign, Covar，“海赛”）;设置输出结果。Alpha(i) = Param(1);Beta(i) = Param(2);Sigma(i) =根号下(Covar);StdAlpha(i) = StdParam(1);StdBeta(i) = StdParam(2);stdigma (i) =√(StdCovar);结束displaySummary (“独立”，开始日期，结束日期，NumAssets，资产，Alpha, StdAlpha, Beta, StdBeta, Sigma, StdSigma)

以2000年1月3日至2005年11月7日的每日总收益数据进行独立回归…αβσ  ---- -------------------- -------------------- -------------------- apple 0.0012 (1.3882) 1.2294 (17.1839) 0.0322 (0.0062) amazon 0.0006 (0.5326) 1.3661 (13.6579) 0.0449 (0.0086) cisco -0.0002 0.0298 1.5653(0.2878)(23.6085)(0.0057)戴尔的-0.0000 (0.0368)1.2594 (22.2164)0.0255 (0.0049)EBAY 0.0014 (1.4326) 1.3441 (16.0732) 0.0376 (0.0072) google 0.0046 0.0252 0.3742 (3.2107) (1.7328) (0.0071) (0.1747) 0.0001 hp IBM 1.3745 (24.2390) 0.0255 (0.0049) -0.0000 (0.0312) 1.0807 (28.7576) 0.0169 (0.0032) intc 0.0001 (0.1608) 1.6002 (27.3684) 0.0263 (0.0050) MSFT -0.0002 (0.4871) 1.1765 (27.4554) 0.0193 (0.0037) orcl 0.0000 (0.0389) 1.5010 (21.1855) 0.0319 (0.0061) yhoo 0.0001 (0.1282) 1.6543 (19.3838) 0.0384 (0.0074)

的α列包含每个股票的alpha估计值，如预期的那样接近于零。此外，t-statistics(括号括起来)通常拒绝在99.5%显著性水平上α非零的假设。

的β列包含每个股票的beta估计值t-statistics括在括号内。对于除GOOG以外的所有股票，贝塔系数非零的假设在99.5%的显著性水平上是可以接受的。不过，谷歌似乎没有足够的数据来对beta进行有意义的估计t-statistic意味着否定了beta值非零的假设。

的σ列包含剩余标准差，即对非系统风险的估计。而不是t-statistics，剩余标准偏差的相关标准误差被括在括号内。

一些技术股票贝塔值的分组估计

为了估计所有12只股票的贝塔值，建立一个联合回归模型，将所有12只股票分组在一个设计中(因为每个股票都有相同的设计矩阵，这个模型实际上是一个看似不相关的回归例子)。模型参数估计函数为ecmmvnrmle估计标准误差的函数是ecmmvnrstd．

由于GOOG有大量的缺失值，直接使用缺失数据函数ecmmvnrmle需要482次迭代才能收敛。这可能需要很长时间来计算。为了简洁起见，前480次迭代后的参数和协方差估计包含在mat文件中(CAPMgroupparam)，并用作计算股票贝塔值的初步估计。

负载CAPMgroupparam谁Param0Covar0

名称大小字节类属性Covar0 12x12 1152 double Param0 24x1 192 double

现在估计十二个股票集合的参数。

NumParams = 2 * NumAssets;建立分组资产数据，设计矩阵。TestData = 0 (NumSamples, NumAssets);TestDesign = cell(NumSamples, 1);设计=零(NumAssets, NumParams);为k = 1:NumSamples为i = 1:NumAssets TestData(k,i) =数据(k,i) -数据(k,14);设计(i,2*i - 1) = 1.0;设计(i,2*i) =数据(k,13) -数据(k,14);结束TestDesign{k} =设计;结束与初始参数估计一起估算所有资产的CAPM。[Param, Covar] = ecmmvnrmle(TestData, TestDesign， []， []， []， Param0, Covar0);估计协方差参数的理想标准误差。[StdParam, StdCovar] = ecmmvnrstd(测试数据，测试设计，Covar，“雪”）;估计模型参数的样本标准误差。StdParam = ecmmvnrstd(TestData, TestDesign, Covar，“海赛”）;设置输出结果。Alpha = Param(1:2:end-1);Beta = Param(2:2:结束);Sigma =√(diag(Covar));StdAlpha = StdParam(1:2:end-1);StdBeta = StdParam(2:2:结束);stdigma =√(diag(StdCovar));displaySummary (“分组”，开始日期，结束日期，NumAssets，资产，Alpha, StdAlpha, Beta, StdBeta, Sigma, StdSigma)

以2000年1月3日至2005年11月7日的日总收益数据进行分组回归…αβσ  ---- -------------------- -------------------- -------------------- apple 0.0012 (1.3882) 1.2294 (17.1839) 0.0322 (0.0062) amazon 0.0007 (0.6086) 1.3673 (13.6427) 0.0450 (0.0086) cisco -0.0002 0.0298 1.5653(0.2878)(23.6085)(0.0057)戴尔的-0.0000 (0.0368)1.2594 (22.2164)0.0255 (0.0049)EBAY 0.0014 (1.4326) 1.3441 (16.0732) 0.0376 (0.0072) google 0.0041 0.0337 0.6173 (2.8907) (3.1100) (0.0065) (0.1747) 0.0001 hp IBM 1.3745 (24.2390) 0.0255 (0.0049) -0.0000 (0.0312) 1.0807 (28.7576) 0.0169 (0.0032) intc 0.0001 (0.1608) 1.6002 (27.3684) 0.0263 (0.0050) MSFT -0.0002 (0.4871) 1.1765 (27.4554) 0.0193 (0.0037) orcl 0.0000 (0.0389) 1.5010 (21.1855) 0.0319 (0.0061) yhoo 0.0001 (0.1282) 1.6543 (19.3838) 0.0384 (0.0074)

虽然完整数据股票的结果是相同的，但请注意，亚马逊和谷歌(这是两只价值缺失的股票)的贝塔估估值与每只股票分别得出的估估值是不同的。由于AMZN的缺失值很少，因此估计值的差异很小。但在谷歌，这种差异更为明显。

的tgoogle的beta估计的-统计数据现在在99.5%的显著性水平上是显著的。但是，请注意t- beta估计的统计数据基于样本Hessian的标准误差，与Fisher信息矩阵相反，它解释了由于缺失值而增加的估计不确定性。如果t-statistic是从较为乐观的Fisher信息矩阵中得到的tgoogle的统计数据是8.25．因此，尽管由于数据缺失而增加了不确定性，但google仍然对beta进行了统计上显著的估计。

最后，请注意GOOG的beta估计值是0.62-这个值可能需要一些解释。尽管在这段时间内，市场一直在波动，价格横向波动，但GOOG的价值一直在稳步升值。因此，它的相关性小于市场，这反过来意味着它的波动性小于贝塔小于1的市场。

参考文献

R. A.贾罗。金融理论．Prentice-Hall, Inc.， 1988。

林特纳。《风险资产估值与股票风险投资的选择》经济学与统计学评论。第14卷，1965年，第13-37页。

W. F.夏普。资本资产价格:风险条件下的市场均衡理论金融杂志。第19卷，1964年，第425-442页。

W. F.夏普，G. J.亚历山大，J. V.贝利，的投资。第六版，Prentice-Hall, Inc.， 1999。

效用函数

函数displaySummary(regressionType, StartDate, EndDate, NumAssets, Assets, Alpha, StdAlpha, Beta, StdBeta, Sigma, StdSigma) fprintf(1，'从%s到%s的每日总收益数据的%s回归…\n'，.．.regressionType,字符串(StartDate可以),字符串(EndDate));流(1,' %4s %-20s %-20s %-20s\n'，' '，“α”，“β”，“σ”）;流(1,' ---- -------------------- -------------------- --------------------\ n '）;为i = 1:NumAssets fprintf' % 4 s % 9.4 f (% 8.4 f) % 9.4 9.4 8.4 (%) % f (% 8.4 f) \ n '，.．.{我}资产,α(i), abs(α(我)/ StdAlpha(我)),.．.β(i)、abs(β(i) / StdBeta(我)),σ(i), StdSigma (i));结束结束