这是第二个视频二阶微分方程,常系数,但是现在我们有一个右手边。和第一个是自由与零简谐运动,但现在我做这个运动,我把这个运动,但是在一个频率ω。这是我强迫项。
所以我认为我有一个强迫频率,ω,并记住这一个,没有解决方案,有一个固有频率ωn。这是非常重要的人,是那些分离?管理是否桥,你走太多的振荡,最终下跌。
或在极端情况下,他们是平等的吗?如果ωn =ω,叫做共振。我把这个词。共振。当ω=ωn。今天,我们不会处理,但你应该知道总是公式有一个ω-ωn除以。所以如果是0,如果ω等于ωn公式必须改变。
今天,这不会发生。不。这个公式是什么?yp是什么?我在寻找一个特定的解决方案。这是一个不错的功能,在实践中也很重要。所以我想希望的特定的解决方案可能是一些多个余弦ωt。
在这个问题是可能的。因为如果我有一个余弦,我有一个余弦右边,如果这余弦来,左边,余弦函数的二阶导数,再一次,余弦,我将有一个匹配的余弦ωt。然后我会选择正确的数字Y。
我不能做,当有一个一阶导数,因为余弦函数的一阶导数引入的迹象。我会有一个混合物的余弦和正弦然后我最好允许混合物。但是在这里我不需要。
强制函数。反应,这是强迫响应。我想习惯这个词,响应的解决方案。这是输入,是输出的响应。我只是代入方程,发现Y。
这里我有米,二阶导数是一个Y,二阶导数将-ω的平方* cos。这里我有肯塔基州是Y * cos = cos。我可以有一个常数,但整件事就没有更有趣的是,没有更多的困难比1。
所以我做什么?这里的好处是我所有的余弦,所以我要有-ω的平方m和k。所以k - mω的平方。我可以这样写吗?* y我要取消余弦。这只是一个1。是1。
我已经取消了余弦,所以我一直在肯塔基州。我已经把1了,我已经把a -ω的平方。这告诉我Y。就像插入一个指数和取消指数。在这里,我取消余弦因为每一项是一个余弦。
所以我知道y .所以我知道答案。所以最终答案是Y (t)是Yn。好吧,让我先把Y特定+ Yn。所以我刚刚发现Y。尤其这资本Y cosωt。所以它是余弦ωt Y, Y = 1 /。
这是y .下面我有k - mω的平方。对吧?这就是我们刚刚发现,特定的解决方案。首都Y乘以常数,常数1 /。现在是C1 cosωnt和C2 sinωnt。
记住,ωn不同于ω。事实上,这是相当不错的。我可以写,所以你会看到重要的另一种方式。记住,ωn的平方是什么?我能记住,ωn的平方是k / m。对吧?是的。
k是一样的,我要把这里m - k是一样的mωn的平方。k是一样的mωn平方这里我减去mω的平方。你会看到共振的目的或接近共振时桥越来越被迫购买频率接近其共振频率。
这种差异,ω的平方,两频率之差的平方是分母,将小然后影响很大。如果我们让这些太近,影响太大了。所以我们会看到这个cos(ωt /这是我所说,这是频率响应的因素。1 / mωn的平方-ω的平方。
当强迫项的关键乘数是一个纯粹的频率,这个频率会爆炸。现在,当然,都城C1和C2是什么?我们发现那些从初始条件。在t = 0,我们放在t = 0,这告诉我们C1。我们把在t = 0再次匹配速度Y ' 0,这告诉我们C2。你还好吗?
看看美丽的解决方案。这是空的部分。这是迫使部分特定部分,cos除以常数。还有一个方程,一个强迫项我想经常和总现在讨论。这是一个δ函数,一个脉冲。
所以我要添加一个例子。我的' ' +肯塔基州等于δ函数。δ函数。这叫做一个脉冲。所以我想解决这个方程。强迫项只发生在一秒时,在最初的第二。在t = 0,δ函数,我的春天。
所以春天是这个摆坐着或坐在那里。实际上,我们在休息。这是我的钟摆。我会画一个钟摆。我不知道。这不是一个钟摆。但这是不够好。
这个方程表示如果我点击一个点光源吗?在t = 0时,我点击它但是我给它一个有限的速度。它在那一瞬间秒不动。这是δ函数来让我给你的结果会发生什么,然后我们将看到他们了。
所以我在做什么?我想解这个方程时,迫使函数是一个δ函数。所以我要叫y脉冲响应。时的解决方案,来迫使函数是一个脉冲。所以y是脉冲响应。事实上,它是如此重要,我要给它自己的信。g。现在,我可以把y变成一个g吗?
因此g g (t)是脉冲响应。如果我能解决这个方程。你可能会说,没那么容易。δ函数,它甚至不是一个真正的函数。这有点疯狂。这一切都发生在一秒。我很抱歉,在一个瞬间。不超过一秒,但是一个时刻。
但是我可以解决它。因为这个原因我可以解决它。我可以在这里把它看作一个脉冲或我有一个选择,显然我可以认为它是另一种方式解决问题没有力' '。同样的问题,同样的解决方案是0。
但我开始休息。什么都没有发生。y (0 = 0。它从一个初始速度,y ' (0。脉冲开始像一个高尔夫球。那就去吧。并有1 / m。我将讨论另一个时间。
现在我想看到的是,我这个有些神秘的方程或完全正常的方程,甚至没有方程从y (0) = 0。但在一个脉冲的初始速度给系统。我应该调用这个g。这是g。我们会看到脉冲响应,但让我们看看这次通过求解这个方程。
所以我打算解决这个方程,实际上上次我们解决了它。你还记得这个解决方案?当它从0开始,没有余弦。但当初始速度是1 / m,有一个迹象。所以我要写下g (t),也就是sinωnt。
为什么是固有频率?因为我没有解决。我要找一个没有解决方案。但之前的视频让我这个没有解决方案。万博 尤文图斯只有我要除以,得到1 / m作为初始速度。你会发现这不会解决方程。
这就是发生在钟摆或高尔夫球。嗯,摆得更好。实际上,高尔夫球差的例子。很抱歉。高尔夫球不来回摇摆。他们往往要走。
我在看钟摆、弹簧上下。春天开始的时候,有一个初始速度为1 / m之后什么都没发生。这是脉冲响应。一个脉冲的响应。为什么我喜欢呢?首先,它的美丽。简单的答案。
其次,每一个强制函数,输出来自这一个。我们将会看到这一点。所以我们引入强制功能,因为ωt,特解的倍数的cosωt。现在,我们引入了一个强制函数三角洲,δ函数的响应是一个正弦函数。谢谢你！
