微分方程和线性代数,2.3:非受迫性阻尼运动
从系列:微分方程和线性代数
吉尔伯特-斯特朗,麻省理工学院(MIT)
与常系数微分方程,是指数的基本解决方案万博 尤文图斯e圣。指数年代解决一个简单的方程等作为2+ b + C = 0。
好的。所以今天是自然的,这意味着零在右边,寻找空的解决方案——阻尼——这意味着有一个系数B的一阶导数。万博 尤文图斯解决方案是什么?这确实是一个基本的、基本方程。在许多应用程序中,一个是质量。
在一个春天,例如,一个将是一个质量。B是阻尼、摩擦。弹簧常数和C,力量,把质量。或在电子技术中,B是阻力。给一些摩擦,给一些热量。
这就是我们的方程。只是我们必须解决它。我们想寻找指数。纯指数只是对常系数方程。所以我将替代y = e的圣,会发生什么?
有C e圣Cy。导数带来了。两个衍生品降低s²。所以我只是作为平方,b, C, e的相乘圣我怎么得到0 ?0是不会来自e圣,所以它必须来自这个。
所以从根本上说,整个视频和更多的是关于一个二次方程。²+ b + C = 0。我们必须解决它。我们必须理解如何回答依赖于这些数字,A和B和C,常量?好吗?
所以我们知道路线。我们知道解决方案。万博 尤文图斯二次公式告诉我们,这两个解决方案——总有两个,但是他们可以平等——这个——你认识这个表情万博 尤文图斯吗?
你看到阻尼系数。你看到这一切重要的平方根,告诉我们,取决于B方大于4 ac, B方等于4 ac, B方更小。所以小B意味着更少的阻尼。它会被称为欠阻尼。
这里的可能性。B可能是0。让我们回到之前的视频解决方案是一个纯粹的复指数时,纯正弦余弦。没有阻尼。永远只是振荡。这是我们知道的。
现在,新的B B方可能会更小。所以这只是一个小阻尼。在这种情况下,解决方案是什么样子?如果B方小于4 ac,我不得不总是回头看。所以我有一些负面的。
一些消极的事情,a - B / 2 a。然后加上或者减去,这家伙有什么重要?B方比4 ac聪明。这是消极的。所以它的根是一个虚数。加或减,有一个虚数。
有点不同的固有频率。它被称为潮湿的频率。不是很频繁。的阻尼振荡速度下降一点,但它带来了指数衰减。这一次我会画一幅画或下次解决方案,e -圣。
但是你看,e -圣衰变为0。它就像一个弹簧慢慢下降到0。但它作为它的振荡。好的。现在,我们有两个更多的可能性。
直,这些只是乐趣。还有下一个。当B方正是4 ac。4 ac。B的平方除以4 ac,这将是关键的比率。这里这个比例是1。在这种情况下,平方根没有关系。的平方根B方- 4 ac = 0。我们得到s1和s2相等。两个相等的频率。
实数。他们的- B / 2 a。所以s1和s2 - B / 2 a。这只是衰变之间的边缘欠阻尼振荡。和另一个极端是过阻尼。过阻尼,当B方大于4 ac,然后我们的公式,我们总是回头看,二次公式。B方大于4 ac,这是真实的。一个正数的平方根。是完全真实的。
所以在这种情况下,我们有两个,s1和s2。哦,我画你一些照片。我画你的抛物线,的平方。这是一个图形的平方。让我阴谋²+ b + C。
所以在这个过阻尼情况下,我们可能会有很多的阻尼。B是相当大的。那就是——这个方向是s。我画的s²+——好吧,让我看看。我认为可能+ 2 s。现在我要选择这个,哦,实际上,加上0。
这有一个根,这是过阻尼。过阻尼。一个巨大的数字。C = 0。没有质量。没有刚度。所以这个抛物线有根在0和- 2根。这将是一个极端的例子,没有僵硬。
现在,让我添加一些刚度。所以如果我改变常数项?这电梯图。这电梯图。所以让我把它1。所以我移动整个图1。所以你看,我移动它,这些根基会越来越近。在正确的时候,当我移动它到1时,发生了什么?
临界阻尼。临界阻尼。是这种情况(s²+ 2 s + 1。这正是s + 1两次。和它有重根,我们总是认为不会低于边际情况,但这并不高于。这里打两次。
根是- 1两次。这是至关重要的。现在什么?进一步增加这个常数C。你会把图,解除抛物线。取消一个,比方说。是什么发生了什么?
这是s²+ 2 s + 2。你看这图告诉我们什么。它告诉我们,没有根,没有真正的根源。这是一个真正的图形在现实面,它从来不是0。这是s + 1。这样当我有+ 1的平方+ 1。不能是0。从来没有0。
这——对不起。2、阻尼。它有阻尼,但欠阻尼。根是复杂的。这年代+ 1的平方等于0。的根源是什么?s - 1 +或- i。欠阻尼的情况下。所以我写下来。
从这些图表我们看到这么多。这是一个图表,我改变了常数项,首都C,刚度k。所以,解除了图。最终根源是复杂的。他们不是真正的了,因为抛物线没有交叉轴了。根是轴的交点。
这是一个。下个视频我要画另一张照片。也许改变b改变阻尼。那么将会发生什么如果我改变阻尼吗?如果没有阻尼,根是纯虚数。是的。让我们通过这四种可能性,因为这是你必须学习。
如果B = 0,没有阻尼。我们回到纯振荡,纯粹是虚构的。我们只是看到余弦和正弦。如果我们添加一个小阻尼,出现衰减。如果我们添加——我甚至可以画这些可能性。
我画y (t)的解决方案,对t。好的。所以欠阻尼——说它开始的解决方案——将振荡,万博 尤文图斯但衰减。这是欠阻尼。你还记得发生了什么?当B存在但较小。B方小于4 ac。
过阻尼,如果它开始,比方说,在这里,它将会为0,可能没有振荡。它可能有一个振荡。取决于它的开始。哦,让我把这张照片。这一个是过阻尼。这家伙是欠阻尼。仍欠阻尼振荡。过阻尼,最多一次。它可以穿过一次。但过阻尼比4大B方交流。
好的。还有更多事情要做。这是中央,你必须思考B方4 ac的比率。有自己的名字。和阻尼比,或阻尼比的平方。我们确定所有这些解决方案。万博 尤文图斯
大家都知道解决方案时将是0吗?没有阻尼。在这种情况下,它只会摆动。所以我的照片,你可能会说,有点混乱。但这纯振荡将与无阻尼B = 0。
好的。这是第一次看二次方程。²+ b + c。它有大的名字特征方程,但你可以看到,这是一个二阶微分方程的基本方程。所以我们会看到更多这样的措施。谢谢。
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