黄金螺旋是由连续扩展的黄金矩形和内切的四分之一圆序列模拟的。

内容

黄金矩形

我们从一个模仿黄金螺旋的动画。gif开始。您可以看到，从黄金矩形中删除一个正方形会留下一个形状相同的更小的矩形。连接内切的四分之一圆产生一个不断膨胀的螺旋。矩形的长宽比是黄金比例。

$$ \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $$

本文最后给出了一个MATLAB函数来生成这些扩展的黄金矩形和四分之一圆，但这不是一个真正的黄金螺旋。

真正的黄金螺旋

对数螺旋是用极坐标给出的曲线

$$ r = \alpha e^{\lambda \theta} $$

角坐标$\theta$必须是多值的，因为点绕原点多次。我们得到了一个特殊的对数螺旋黄金螺旋线通过黄金比例和设定

$$ \lambda = \frac{2}{\pi}{\ln{\phi}} $$

然后半径是$\phi$的倍数，当$\theta$穿过直角轴时，半径是整数倍数。

$$ r = \alpha \phi^{\frac{2}{\pi} \theta} $$

这是$0 \le \theta \le 2 \pi$的图形。

我没有看到任何明显的分析方法来指定比例因子$\alpha$。通过取$\alpha$ = 1.48699214由对数黄金螺旋方法生成的数值，即由黄金矩形和内切线四分之一圆生成的数值，随着角度$\theta$变大。

golden_spiral.m

黄金矩形的爆炸。构造一个由黄金矩形和内切四分之一圆组成的连续扩展序列。

Cleve Moler版权2013 The MathWorks, Inc.

% Initialize_variables

%黄金分割率=(1+√(5))/2;

%缩放控制速度n = 256;F = (1/n);

%缩放a = 1;S =;T = 1/(+1);

%中心x = 0;Y = 0;

% A square us = [-1 1 1 -1];Vs = [-1 -1 1 1 -1];

% 4 / 4圆= 0:/20:/2;U1 = 2*cos() - 1;V1 = 2*sin(theta) - 1;U2 = 2*cos(+ /2) + 1;V2 = 2*sin(+ /2) - 1;U3 = 2*cos(+) + 1;V3 = 2*sin(theta+pi) + 1;U4 = 2*cos(- /2) - 1;V4 = 2*sin(- /2) + 1;

initialize_graphics

%循环

K = 0;当get(klose，'value') == 0 if mod(k,n) == 0电源开关mod(k/n,4) case 0，右case 1，上case 2，左case 3，下end结束放大k = k+1;结束暂停(1)关闭(gcf)

% ------------------------------------

函数幂a = s;S = * S;T = * T;功率百分比

% ------------------------------------

函数缩放轴(f*轴)绘制结束%缩放

% ------------------------------------

函数右侧x = x + s;Y = Y + t;线(y + x + *我们* vs,“颜色”,“黑色”)线(x +一个* u4 y + * v4)结束%

% ------------------------------------

函数up y = y + s;X = X - t;线(y + x + *我们* vs,“颜色”,“黑色”)线(x + * u1, y + * v1)结束%

% ------------------------------------

函数左x = x - s;Y = Y - t;线(y + x + *我们* vs,“颜色”,“黑色”)线(x + * u2, y + * v2)结束%

% ------------------------------------

函数向下y = y - s;X = X + t;线(y + x + *我们* vs,“颜色”,“黑色”)线(x + * u3, y + * v3)结束%

% ------------------------------------

函数initialize_graphics CLF重置设置(gcf，'color'，'white'，'menubar'，'none'，'numbertitle'，'off'，…'name'，'Golden Spiral') shg轴('position'，[0 0 1 1])轴(3.5*[-1 1 -1 1])轴方形轴off line(us,vs，'color'，'black') line(u3,v3) klose = uicontrol('units'，'normal'，'position'，[.]4.04 . 12.04]，……“风格”、“切换”、“字符串”、“关闭”、“活力”,“上”);绘制结束%初始化图形

结束黄金螺旋

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发布与MATLAB®R2013b

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