`fmincon`带解析Hessian的内点算法

打开生活的脚本

这个示例展示了如何使用派生信息使解决过程更快、更健壮。该fmincon内点法可以接受的Hessian函数作为输入。当您提供的黑森州，你可以获得更快，更准确地解决了约束最小化问题。

助手功能bigtoleft是长为迅速负的目标函数X（1）协调变得消极。它的梯度是一个三元素向量。该代码bigtoleft的帮助函数出现这个例子结束了。

用于该示例的约束集是两个锥体，一个朝上，和一个朝下的内部的交叉点。约束函数是包含用于每个锥形一个组件的两个成分的矢量。因为这个例子中是三维的，该约束的梯度为3×2的矩阵。该代码twocone的帮助函数出现这个例子结束了。

创建约束的图形，使用目标函数着色。

％创建人物图1 =图;%建立轴axes1 =轴(“父”,图1);视图(-63.5 [18]);网格('上'）;保持（'所有'）;％建立极坐标和两个圆锥r = 0: .1:6.5;th = 2 *π* (0:.01:1);x = r ' * cos (th);y = r ' * sin (th);z = -10 +√x ^ 2 + y ^ 2);zz = 3-sqrt (x ^ 2 + y ^ 2);％在评估锥面目标函数newxf =重塑（bigtoleft（[X（:)，Y（:)，Z（:)]），66101）/ 3000;newxg =重塑（bigtoleft（[X（:)，Y（:)，Z（:)]），66101）/ 3000;％创建的对象颜色设定下冲浪冲浪(x, y, z, newxf“父”，axes1，'EdgeAlpha', 0.25);％创建的对象色组上冲浪冲浪（X，Y，ZZ，newxg，“父”，axes1，'EdgeAlpha', 0.25);轴等于

创建黑森函数

的二阶导数信息fmincon解算器，你必须创建一个黑森州是拉格朗日黑森州。拉格朗日黑森州由下式给出

$\nabla_{X X}^{2} 大号（ X ， λ ） = \nabla^{2} F （ X ） + Σ λ_{一世} \nabla^{2} C_{一世} （ X ） + Σ λ_{一世} \nabla^{2} C Ë q_{一世} （ X ）。$

这里， $F （ X ）$ 是bigtoleft功能和 $C_{一世} （ X ）$ 是两个锥约束功能。该hessinterior在辅助函数这个例子结束了计算拉格朗日黑森州在一个点X采用拉格朗日乘子结构拉姆达。函数首先进行计算 $\nabla^{2} F （ X ）$ 。然后计算两个约束Hessians $\nabla^{2} C_{1} （ X ）$ 和 $\nabla^{2} C_{2} （ X ）$ ，用对应的拉格朗日乘数乘以它们lambda.ineqnonlin（1）和lambda.ineqnonlin（2），并添加它们。从。的定义可以看出twocone约束功能 $\nabla^{2} C_{1} （ X ） = \nabla^{2} C_{2} （ X ）$ ，从而简化计算。

创建选项使用衍生工具

启用fmincon使用目标梯度，梯度约束和黑森州，必须设置相应的选项。该HessianFcn用拉格朗日黑森州选项仅适用于内点算法是可用的。

选择= optimoptions (“fmincon”，“算法”，“内点”，...“SpecifyConstraintGradient”，真正，“SpecifyObjectiveGradient”，真正，...“HessianFcn”, @hessinterior);

最小化使用所有的导数信息

设置初始点X0 = [ - 1，-1，-1]。

x0 = (1 1 1);

这个问题没有线性约束或界限。将这些参数设置为[]。

一个= [];b = [];Aeq = [];说真的= [];磅= [];乌兰巴托= [];

解决这个问题。

[X，FVAL，EFLAG，输出] = fmincon（@ bigtoleft，X0，...A，B，AEQ，BEQ，LB，UB，@ twocone，选项）;

当地最低发现满足的约束。优化完成，因为目标函数非递减的可行方向，以最优的公差值的范围内，并且约束约束公差值内满意。

检查解决方案和解决过程

检查解决方案、目标函数值、退出标志以及函数评估和迭代的次数。

DISP（x）的

-6.5000 -0.0000 -3.5000

DISP（FVAL）

-2.8941 e + 03

disp (eflag)

DISP（[output.funcCount，output.iterations]）

7 6

如果你不使用黑森州功能，fmincon需要更多的迭代来收敛，需要更多的函数计算。

选项。HessianFcn = [];(x2, fval2 eflag2 output2] = fmincon (x0, @bigtoleft...A，B，AEQ，BEQ，LB，UB，@ twocone，选项）;

当地最低发现满足的约束。优化完成，因为目标函数非递减的可行方向，以最优的公差值的范围内，并且约束约束公差值内满意。

DISP（[output2.funcCount，output2.iterations]）

13日9

如果您还没有包括梯度信息，fmincon采取迭代次数相同，但需要更多的功能评估。

options.SpecifyConstraintGradient = FALSE;options.SpecifyObjectiveGradient = FALSE;[X3的，fval3，eflag3，输出3] = fmincon（@ bigtoleft，X0，...A，B，AEQ，BEQ，LB，UB，@ twocone，选项）;

当地最低发现满足的约束。优化完成，因为目标函数非递减的可行方向，以最优的公差值的范围内，并且约束约束公差值内满意。

DISP（[output3.funcCount，output3.iterations]）

43 9

辅助函数

此代码创建的bigtoleft助手功能。

函数[f gradf] = bigtoleft(x)这是一个快速负增长的简单函数当x(1)变为负数时％F = 10 * X（：，1）。^ 3 + X（：，1）* X（：，2）^ 2 + X（：，3）。*（X（：，1）^ 2+ X（：，2）。^ 2）;如果nargout> 1 gradf = [30 *×（1）^ 2 + X（2）^ 2 + 2 * X（3）* X（1）;2 * X（1）* X（2）+ 2 * X（3）* X（2）;（X（1）^ 2 + X（2）^ 2）];结束结束

此代码创建的twocone助手功能。

函数并[c CEQ gradc gradceq] = twocone（x）的％这种约束是两个锥体，Z> -10 + R％，且z <3  -  R的CEQ = [];R = SQRT（X（1）^ 2 + X（2）^ 2）;C = [-10 + R-X（3）;X（3）-3 + R];如果[];gradc = [(1) / r, x / r (1);(2) / r, x / r (2);1,1];结束结束

此代码创建的hessinterior助手功能。

函数h = hessinterior (x,λ)h = [60 * x (1) + 2 * x (3), 2 * x (2), 2 * x (1);2 * x (2), 2 * (x (1) + (3)), 2 * x (2);2 * x (1), 2 * x (2), 0);％F的黑森州r =√x (1) ^ 2 + (2) ^ 2);％半径rinv3 = 1 / r ^ 3;hessc = [(x (2)) ^ 2 * rinv3, x - x (1) * (2) * rinv3, 0;x - x (1) * (2) * rinv3, x (1) ^ 2 * rinv3, 0;0, 0, 0);两个％的C的Hessian（1）和c（2）H = H + lambda.ineqnonlin（1）* + hessc lambda.ineqnonlin（2）* hessc;结束