polyfit

多项式曲线拟合

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句法

P = polyfit（X，Y，n）的
[p, S] = polyfit (x, y, n)
(p, S,μ)= polyfit (x, y, n)

描述

例

p= polyfit (X，ÿ，ñ）返回多项式的系数p (x)度ñ这是对数据的最佳拟合(在最小二乘意义上)ÿ。在系数p是降序功率，以及长度p是n + 1

p （ X ） = p 1 X ñ + p 2 X ñ − 1 + … + p ñ X + p ñ + 1 。

[p，小号] = polyfit（X，ÿ，ñ）也返回结构小号可以使用作为输入到polyval获取错误估计。

例

[p，小号，μ] = polyfit（X，ÿ，ñ）同样的回报μ，这与定心和缩放值的两个元素的矢量。亩（1）是均值（X）,亩（2）是STD（x）的。使用这些值,polyfit中心X在0处标度为单位标准差，

X ^ = X − X ¯ σ X 。

这种定心和定标变换改进了多项式和拟合算法的数值性质。

例子

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在一个正弦曲线上生成10个等距的点[0,4 * PI]。

x = linspace(0, 4 *π,10);y = sin (x);

采用polyfit以适应第七次多项式的点。

P = polyfit（X，Y，7）;

在更细的网格上计算多项式并绘制结果。

X1 = linspace（0,4 * PI）;Y1 = polyval（P，X1）;图图（X，Y，'O')举行在图（X1，Y1）保持离

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在区间创建的5个间隔的点的矢量[0,1],并评估 ÿ （ X ） = （ 1 + X ） - 1 在这些点。

X = linspace（0,1,5）;Y = 1./(1+x）;

拟合一个4次多项式到5个点。一般来说,对ñ点，你可以拟合一个多项式的次数n - 1准确地通过这些点。

p = polyfit (x, y, 4);

评估原函数和点上的0和2之间的更精细网格上的多项式拟合。

X1 = linspace（0,2）;Y1 = 1./(1+x1）;F1 = polyval（P，X1）;

绘制函数值和多项式在较宽区间内的拟合[0,2]，用来获得多项式拟合的点被突出显示为圆。原多项式拟合良好[0,1]间隔，但很快就从该区间的拟合函数外发散。

图图（X，Y，'O')举行在情节(x1, y1)情节(x1, f1,“r——”)传说('Y'，“日元”，'F1'）

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第一生成的矢量X分，在间隔等间隔[0,2.5]，然后评估小块土地(x)在这些点。

x = (0:0.1:2.5)”;y =小块土地(x);

确定6次近似多项式的系数。

p = polyfit (x, y, 6)
p =1×70.0084 -0.0983 0.4217 -0.7435 0.1471 1.1064 0.0004

要查看拟合有多好，请对数据点处的多项式求值，并生成一个表来显示数据、拟合和误差。

f = polyval (p (x);T =表（X，Y，F，Y-F，“VariableNames”,{'X'，'Y'，'适合'，'FitError'}）
T =26×4表XÿFit FitError ___ _______ __________ ___________ 0 0 0.00044117 -0.00044117 0.1 0.11246 0.11185 0.00060836 0.2 0.2227 0.22231 0.00039189 0.3 0.32863 0.32872 -9.7429e-05 0.4 0.42839 0.4288 -0.00040661 0.5 0.5205 0.52093 -0.00042568 0.6 0.60386 0.60408 -0.00022824 0.7 0.6778 0.67775 4.6383e-05 0.8 0.7421 0.74183 0.00026992 0.9 0.79691 0.79654 0.00036515 1 0.8427 0.84238 0.0003164 1.1 0.88021 0.88005 0.00015948 1.2 0.91031 0.91035 -3.9919e-05 1.3 0.93401 0.93422 -0.000211 1.4 0.95229 0.95258 -0.00029933 1.5 0.96611 0.96639 -0.00028097 ⋮

在此期间，插补值和实际值相当接近达成一致。创建一个阴谋表明此区间之外如何，外推的值，可以快速从实际数据发散。

X1 =（0：0.1：5）';Y1 = ERF（X1）;F1 = polyval（P，X1）;图图（X，Y，'O')举行在图（X1，Y1，' - '）图（X1，F1，“r——”轴([0 5 0 2])保持离

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创建一个1750 - 2000年人口数据表，并绘制数据点。

年=（1750：25：2000）“;弹出= 1E6 * [791 856 978 1050 1262 1544 1650 2532 6122 8170 11560]';T =表（年，POP）
T =11×2表今年流行____ _________ 1750 7.91e + 08 1775 8.56e + 08 1800 9.78e + 08 1825 1.05E + 09 1850 1.262e + 09 1875年1.544e + 09 1900 1.65e + 09 1925年2.532e + 09 1950年6.122e + 09 1975年8.17e + 09 2000 1.156e + 10
情节(年,流行,'O'）

采用polyfit与三个输出，以适应使用定心和缩放一个第五次多项式，这改善了问题的数值性质。polyfit把数据集中在年在0处，标度为1，标准偏差为1，这样就避免了拟合计算中的病态Vandermonde矩阵。

(p ~μ)= polyfit (T。年,T。流行,5);

采用polyval有四个输入评估p与缩放年，（年亩（1））/亩（2）。将结果与最初的年份进行对比。

F = polyval（P，年，[]，亩）;保持在图（一年，F）保持离

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适合一个简单的线性回归模型的一组离散的2-d的数据点。

创建一些样本数据点向量(x, y)。将一阶多项式与数据拟合。

x = 1:50;y = -0.3*x + 2*randn(1,50);p = polyfit (x, y, 1);

评估拟合的多项式p在点X。用数据绘制得到的线性回归模型。

f = polyval (p (x);积（X，Y，'O'f, x,,' - ')传说(“数据”，“线性拟合”）

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将线性模型拟合到一组数据点并绘制结果，包括95%预测区间的估计值。

创建一些样本数据点向量(x, y)。采用polyfit将一阶多项式与数据拟合。指定两个输出来返回线性拟合的系数和误差估计结构。

X = 1：100;Y = -0.3 * X + 2 * randn（1100）;[P，S] = polyfit（X，Y，1）;

评估一次多项式拟合在p在点X。指定误差估计结构作为第三输入，以便polyval计算标准误差的估计值。返回标准误差估计δ。

[y_fit，δ= polyval（P，X，S）;

绘制的原始数据，线性拟合，和95％预测区间 ÿ ± 2 Δ 。

积（X，Y，“博”)举行在情节(x, y_fit,'R-')情节(x, y_fit + 2 *δ,“m——”中，x，y_fit-2 *增量，“m——”）标题（“数据与95%预测区间的线性拟合”)传说('数据'，“线性拟合”，'95％预测区间”）

输入参数

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查询点，指定为向量。的点X对应于拟合函数值包含在ÿ。如果X不是一个矢量，然后polyfit将其转换成一个列向量x (:)。

警告消息在X是否重复(或几乎重复)了要点X可能需要定心和缩放。

数据类型:单|双
复数支持：万博1manbetx是的

在查询点拟合值，指定为矢量。中的数值ÿ对应于其中包含的查询点X。如果ÿ不是一个矢量，然后polyfit将其转换成一个列向量y (:)。

数据类型:单|双
复数支持：万博1manbetx是的

多项式拟合度，指定为正整数标量。ñ指定最左边系数的多项式幂p。

输出参数

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最小二乘法拟合多项式系数，返回作为载体。p有长度n + 1并包含在降权力多项式系数，最高功率为ñ。如果任何一X或ÿ包含为NaN价值观和Ñ<长度（x）的，则在所有元素p是为NaN。

采用polyval评估p在查询点。

误差估计结构。这个可选的输出结构，主要是用来作为输入到polyval函数来获取错误估计。小号包含以下字段:

领域 描述
[R 从的Vandermonde矩阵的QR分解三角形因子X
DF 自由度
normr 残差的范数

如果数据在ÿ是随机的，那么一个的协方差矩阵的估计p是(Rinv * Rinv”) * normr ^ 2 / df,在那里Rinv是的逆[R。

如果数据中的错误ÿ是独立的，与正常常数方差，然后[Y，δ= polyval（...）产生包含至少50%预测的误差范围。也就是说,ÿ±δ包含至少50%的未来观测的预测X。

定心和缩放值，返回作为一个两元素矢量。亩（1）是均值（X）,亩（2）是STD（x）的。这些数值中心查询点X在单位标准差为0时。

采用μ作为第四输入到polyval评估p在缩放点处，（X - 亩（1））/亩（2）。

限制

  • 在多点问题中，采用多项式拟合度递增的方法polyfit并不总是导致一个更适合。高次多项式可以是振荡的数据点之间，导致穷符合数据。在这些情况下，根据问题的不同，可以使用低阶多项式拟合(在点之间会更平滑)或其他不同的技术。

  • 多项式自然无界，振动功能。因此，它们不很适合于外推的数据界定或单调（增加或减少）的数据。

算法

polyfit使用X形成范德蒙德矩阵V同n + 1列和M =长度（x）的行，从而导致线性系统

（ X 1 ñ X 1 ñ − 1 ⋯ 1 X 2 ñ X 2 ñ − 1 ⋯ 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ X 米 ñ X 米 ñ − 1 ⋯ 1 ） （ p 1 p 2 ⋮ p ñ + 1 ） = （ ÿ 1 ÿ 2 ⋮ ÿ 米 ） ，

哪一个polyfit解决与p = V \ y。由于在Vandermonde矩阵的列是向量的功率X，的条件数V通常为大高阶拟合，从而产生单数系数矩阵。在这些情况下中心和缩放可以提高系统的数值性质，以产生一个更可靠的配合。

扩展功能

也可以看看

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主题

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