许多数学模型涉及高阶衍生物。但MATLAB ode求解器仅使用一阶常微分方程的系统。所以我们必须重写模型，只是涉及一阶衍生品。让我们看看如何用一个非常简单的模型，谐波振荡器做到这一点。

x双重Prime Plus X等于0.这涉及二阶衍生物。所以要将其作为一阶系统写入，我们介绍了矢量y。这是一个带有两个组件，x和x的衍生的向量。

我们只是改变了符号让y有两个分量，x和x '那么y的导数就是向量x和x '微分方程变成y2 ' + y1 = 0。看到我们是如何重写这个微分方程的了吗。所以y2 '是x ' '的函数?

一旦你这样做了，其他的事情就很容易了。向量系统现在是y1, y2 '是y2 - y1。第一个分量是y1 ' = y2。也就是说第一分量的导数等于第二分量。这是微分方程本身。Y2 '是- y1是谐振子微分方程。

当我们把它写成MATLAB中的自治函数时，这是自治函数。f是t和y的自治函数，它不依赖于t，首先它是一个向量，一个列向量。f的第一个分量是y2。第二个分量是-y1。

这里的第一个组件只是一个符号的问题。所有内容都在第二组件中，其表示微分方程。

对于某些初始条件，假设初始条件是x (0) = 0, x '(0) = 1。用向量y表示，就是y1 (0) y的第一个分量是0。第二个分量是1。

或者在向量术语中，初始向量为0,1。这意味着它们的溶液是正弦T和余弦t。当我们在MATLAB中编写初始条件时，它是列向量0,1。

让我们提出matlab命令窗口。这是微分方程。y1 prime是y2。和y2 prime是-y1。这是谐波振荡器。

我们要从0到2积分，因为它们是三角函数。我将要求以2 / 36为步数的输出，相当于每10度，就像机场的跑道。

我需要一个初始条件。Y0≠0。我需要一个列向量，对于这两个分量。我将使用ODE45，如果我不带输出参数调用它，微分方程f t跨越时间区间的ODE45，而y0是初始条件。

如果我不带输出参数调用ODE45，它就会自动绘制解决方案。这里我们得到了cos t从1开始，sin t从0开始的图像。

现在如果我回到命令窗口，要求捕获t和y的输出，然后我得到输出的向量。37步，向量t，和两个分量y，包含正弦和余弦的两列。现在我可以把它们画在相平面上。

绘制ya反对y2。如果我正规化轴，我会得到一个圆圈的圆圈，每10度每10度，就像我在机场的跑道一样。

Van der POL振荡器于1927年由荷兰电气工程师推出，以在涉及真空管的电路中模拟振荡。它具有非线性阻尼项。它是因为已被用于在各种领域模拟现象，包括地质和神经内科。

它表现出混乱的行为。我们对它感兴趣是为了进行数值分析，因为随着参数mu的增加，问题变得越来越棘手。为了将它写成一阶系统用于MATLAB ODE求解器，我们引入向量y，包含x和x '。

y '等于x '和x ' '然后微分方程写成y '的第一个分量是y2。然后微分方程写在y的第二分量中。

这是非线性阻尼项减去y1。当= 0时，这是谐振子。这里是匿名函数。

让我们用范德堡尔振荡器做些实验。首先，我要定义的值。取一个适中的值。μ等于100。现在有了集合，我可以定义匿名函数。

它涉及mu的价值。这里是F的第二个组件中的范德波极方程。我将收集关于颂歌求解器的努力工作的统计数据。为此，我将使用颂歌，并告诉它我想打开统计数据。

我需要一个初始条件。现在我将在这个问题上运行ode45。而且我只是指定t的起始值，以及t的最终值。Ode45将选择自己的时间步骤。而且我知道T终止等于460，它将整合到解决方案的两个时期。

现在我们可以看一下。它正在采取很多步骤。它开始放慢减速，因为它需要越来越多的步骤。现在这开始变得痛苦，因为它陷入僵处。

我把摄像机关了一会儿，这样你就不用看这些步骤了。我们正努力提高到460度。快结束的时候我会把它打开。

好的，嗯，相机已经过了三分钟。你可以看到我们已经走了多远。我们无处可去。所以我将在这里按停止按钮。我们将返回命令窗口。

哦，我们还没讲到最后。让我回到时间间隔，试一下这个值。看看这是怎么回事。所以这仍然需要很多步骤。

但是我们将能够。这将经过一个周期。我们会讲到最后的。

我会留下相机直到我们完成。好的，所以花了一分钟。它需要近15,000步。所以让我们用僵硬的求解器运行它。

那里。所以花了一半，只有500步。所以这里有一个适度的刚度的例子。因此，让我们使用僵硬的求解器来检查van der Pol等式。让我们捕获输出并绘制它。

因为这个情节不是很有趣。我想把它绘制几个不同的方式。并再次，我想回到 - 捕获几个时期。

让我们作为时间的函数绘制当前组件之一。在这里它是。这是van der Pol等式。

你可以看到它有一个初始的瞬态，然后它进入这个周期振荡这里有一些非常陡峭的峰值。甚至这个僵硬的解算者也在这些快速变化中努力工作。这里有相当多的点，因为它选择了步长。

现在，让我们回到命令行，做一个相平面图。这是带有阻尼的振荡器的相平面图。它不在圆附近，如果是0就会在圆附近。

这就是范德堡尔振荡器的特性。