到目前为止,我们研究了一阶结构的渐近行为,如纯集成商或单极和零。一旦您开始使用典型的动态系统,您可能需要处理更高阶多项式表达式。处理那些的诀窍是记住任何多项式,无论订单如何,都可以始终被考虑到一堆第一订单结构,该构造将对应于真实根源,以及许多将与复杂共轭对对应的二阶结构根。
二阶系统的典型例子是质量弹簧阻尼器和RLC电路。这两个,取决于阻尼与质量的比值或者电阻与电感的比值,都有一对复共轭根。一般来说,任何复共轭极对都可以写成这样的标准二阶传递函数形式,其中w_n称为固有频率,zeta称为阻尼比。
请注意,对于我们对象,自然频率等于K / M的平方根,对于我们的基本电气系统的基本机械系统和1 / LC的平方根。无论如何,如果我们使用标准公式计算那种二次多项式的根部 - 无论如何,我们发现复杂的缀合物的根部都会有这种形式。注意,这些根部只有一个复杂的缀合物对,只要阻尼比ζ小于1.任何大于1,并且两个根部都将成为实数,这意味着系统将表现为两个第一阶的乘积杆。
正如我们以前计算频率响应时所做的那样,我们在传递函数中用jw代替s。为了做渐近逼近,我们要看看w_n前后的趋势。当频率w远小于固有频率时,+1将占主导地位。所以大小和相位都近似为0。当w频率与固有频率匹配,二阶项变成1和+ 1,取消和中词变成了纯虚构的常数级的1 /(2 *ζ)和-90度的阶段,因为j是分母,G落在负虚轴。
最后,当频率w大于自然频率时,二次术语将占主导地位。在拍摄日志时,方块会出现并将20乘以20,因此幅度将渐近地接近直线,每十年斜率为-40 dbs。阶段将转到-180度,因为G现在将落在负实轴上。
注意,实际的共振峰在w_n的左边下降了一点,因为,如果你看极点的虚部,频率分量是w_n乘以根号(1-)^2。这个调整值就是所谓的阻尼固有频率。只有当阻尼比趋于0时,阻尼固有频率才趋于w_n。注意,在这种情况下,共振峰的大小将趋于无穷大。
阻尼比的少量值是指更高且较高的共振峰以及相位中的更尖锐的偏移。您可以看到,随着我们增加Zeta,谐振峰的大小落后,相变变得更加光滑。这里我想突出显示0.707,((2)^ 1/2)/ 2的阻尼比,这通常称为临界阻尼。该阻尼使幅度-3 dbs处于自然频率。另请注意,对于Zeta等于1,POL的虚部变为0,我们的二阶系统成为位于W_N的两个单个真正杆的产品。
在这一点上,让我回到我们的交互设计工具,因为有一些额外的东西,我想强调。首先,我引入一对复共轭极点,我要把它们放在接近10弧度/秒的地方。我来确定一下我把固有频率设为10。
我注意到,因为我从阻尼比1开始,多项式是两个实根的乘积。只要我把阻尼改变为小于1的任意值,比如说0.5,根就变成了一对复共轭值。注意,对于这种特殊情况,固有频率等于1/(2*)的幅度值变成了1/1,在db中是0,所以交叉将发生在固有频率上。
如果我选择一个较小的阻尼比,你将会看到一个更尖锐,更高的幅值峰值。在这个例子中,我选了0.05,这意味着1/(2*)等于10。log10等于1,乘以20等于20db。如果我改变固有频率,我所做的就是移动峰值的位置。
现在,如果我想由于对数的属性而增加或减少增益,我们只需叠加这两个构造在一个图表上的效果。在这种情况下,10的增益为1,倍20是20dbs。因此,所有发生的所有幅度迹线都已向上转移20.请注意,该阶段根本不会受到影响。
让我现在加零,大约10个弧度每秒。让我确保我的0完全在10个弧度。现在发生了什么是-40 DB斜率,即我最初已被每十年的+20 dbs转移到0.和-180的阶段爬到-90。同样地,如果我添加一个杆,让我们每秒100个弧度 - 再次说,让我确保它实际上是100 - 现在每十年的-40 dbs变为-20,然后回到 -新杆后再次。因此,使用这种叠加的概念,我可以轻松构建我对学习感兴趣的任何传输功能。所有我需要做的就是将传递函数分解为较小的构造,然后将所有这些迹线添加在一起。
理解这个简单的概念是非常有用的,因为它让我们通过观察波德图中的幅度和相位轨迹就能很好地了解系统的基本动力学。
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