主要内容

带有ARIMA误差的MMSE预测回归模型

什么是MMSE预测?

时间序列分析的一个目标是对未来时间范围内的响应进行预测。也就是说，您可以生成预测yT+ 1,yT+ 2、……yT+ h考虑到以下情况:

  • 观测序列y1,y2、……yT

  • 预测范围h

  • Nonstochastic预测x1,x2、……xT、……xT+h,在那里xk是一个r-包含测量值的向量r当时观察到的预测因子k

  • 一个带有ARIMA误差的回归模型

    y t ＝ c + X t β + u t Η （ l ） u t ＝ Ν （ l ） ε t ,

    在H (l)及N(l)分别为复合自回归和移动平均滞后算子多项式(可能包含积分)。

让 y ＾ t + 1 表示对该过程的预测t+ 1，条件是到目前为止的进程历史t（Ht)，并假设预测因子是固定的。最小均方误差(MMSE)预测是预测结果 y ＾ t + 1 使期望平方损失最小化，

E （ y t + 1 − y ＾ t + 1 | H t ） 2 ．

最小化这个损失函数得到MMSE预测，

y ＾ t + 1 ＝ E （ y t + 1 | H t ） ．

预测如何生成MMSE预测

预测递归生成MMSE预测。当你打电话时预测，则必须指定aregARIMA模型(Mdl)和预测的水平线。您还可以指定预样本观察值(Y0)，预测因子(X0)、创新(E0)，以及条件干扰(情况)使用名称-值对参数。

开始预测yt从时间开始T+ 1，用最后几个观察值yt而且Xt作为预示例响应和预测器来初始化预测。或者，您可以指定预采样的无条件干扰或创新。

然而，当你指定预采样数据时:

  • 如果你提供预样本预测数据(X0)，然后你还必须提供预测器预测(XF)．最好的做法是设置X0用相同的预测矩阵来估计参数。如果你不提供预样本和未来预测，那么预测忽略模型中的回归组件。

  • 如果错误处理Mdl包含季节或非季节自回归分量，或季节或非季节积分，则预测至少需要P预采样无条件扰动来初始化预测。房地产P的Mdl商店P．

  • 如果错误处理Mdl包含季节性或非季节性移动平均分量，则预测至少需要问预采样创新来初始化预测。房地产问的Mdl商店问．

  • 如果你提供足够量的预采样无条件扰动，那么预测忽略了Y0而且X0．如果你也不提供E0，但提供足够的前置无条件扰动，则预测从ARIMA误差模型和中推断出所需的预样创新量情况．

  • 如果您提供了足够数量的预示例响应和预测器(并且不提供情况),然后预测利用回归模型来推断预采样的无条件扰动。

  • 如果你不提供预先的观察，那么预测将预采样无条件扰动和创新所需的数量设置为0。

  • 如果你提供的预样本观测量不足，那么预测返回一个错误。

考虑从ARMA(3,2)误差的回归模型生成预测:

y t ＝ c + X t β + u t （ 1 − 一个 1 l − 一个 2 l 2 − 一个 3. l 3. ） u t ＝ （ 1 + b 1 l + b 2 l 2 ） ε t 或 一个 （ l ） u t ＝ b （ l ） ε t ,

在哪里一个（l),B（l)为滞后算子多项式。最大AR滞后为3，最大MA滞后为2。该模型不包含任何季节性滞后或集成。因此,P= 3和问= 2。要预测这个模型，你需要三个预样本响应和预测器，或者三个预样本无条件扰动，和两个预样本创新。

假定有无条件扰动 （ u T − 2 , u T − 1 , u T ） , presample创新 （ ε T − 1 , ε T ） , 未来预测者 （ X T + 1 , X T + 2 , .．. ） , 可以对模型进行如下预测:

  • u ＾ T + 1 ＝ 一个 1 u T + 一个 2 u T − 1 + 一个 3. u T − 2 + b 1 ε T + b 2 ε T − 1 y ＾ T + 1 ＝ c + X T + 1 β + u ＾ T + 1 ．

  • u ＾ T + 2 ＝ 一个 1 u ＾ T + 1 + 一个 2 u T + 一个 3. u T − 1 + b 2 ε T y ＾ T + 2 ＝ c + X T + 2 β + u ＾ T + 2 ．

  • u ＾ T + 3. ＝ 一个 1 u ＾ T + 2 + 一个 2 u ＾ T + 1 + 一个 3. u T y ＾ T + 3. ＝ c + X T + 3. β + u ＾ T + 3. ．

.．.

注意:

  • 未来的创新具有无条件的平均值，0。

  • 对于平稳误差过程，比如下面这个:

    • 预测的无条件扰动收敛到它们的无条件均值，

      E （ u t ） ＝ b （ l ） 一个 （ l ） E （ ε t ） ＝ 0.

    • c+Xtβ控制预测响应的长期行为。

预测误差

预测误差年代有ARIMA误差的回归模型的-步前预测为

均方误差 ＝ E （ y T + 年代 − y ＾ T + 年代 | H T + 年代 − 1 ） 2 ＝ E （ c + X T + 年代 β + u T + 年代 − c − X t + 年代 β − u ＾ T + 年代 | H T + 年代 − 1 ） 2 ＝ E （ u T + 年代 − u ＾ T + 年代 | H T + 年代 − 1 ） 2 ＝ Ν （ l ） Η （ l ） E （ ε t 2 | H T + 年代 − 1 ） ＝ ψ （ l ） σ 2 ,

红利在哪里ψ（l)为无限滞后算子多项式，且σ2就是创新方差。

如果误差过程是平稳的，则ψ（l)是完全可以总结的。因此，均方误差(MSE)收敛于过程的无条件方差[1]．

如果误差过程不是平稳的，则MSE随增加而增大年代．

参考文献

[1]博克斯，g.e.p, g.m.詹金斯，g.c.赖塞尔。时间序列分析:预测与控制．恩格尔伍德悬崖，新泽西州:普伦蒂斯大厅，1994年。

另请参阅

|

相关的例子

更多关于