特征值分解

一个特征值和特征向量方形矩阵一种分别是一个标量λ.和一个非零矢量υ满足

在对角线矩阵λ的对角线上的特征值和形成矩阵列的相应特征向量V.， 你有

如果V.是非奇形的，这成为特征值分解

一个很好的例子是微分方程的系数矩阵DX./DT.=一种X：

A = 0 -6 -16 2 -16 -5 20 -10

该等式的解决方案以矩阵指数表示X（T.）=E.^T.一种X（0）.该声明

lambda = eig（a）

产生含有特征值的柱载体一种.对于该矩阵，特征值是复杂的：

Lambda = -3.0710 -2.4645 + 17.6008i -2.4645-17.6008i

每个特征值的真实部分是消极的，所以E.^λ.T.接近零T.增加。两个特征值的非零想象部分，±ω，有助于振荡组件，罪（ωT.），对微分方程的解决方案。

有两个输出参数，eig.计算特征向量并将特征值存储在对角线矩阵中：

[v，d] = eig（a）

D = -3.0710 00 00 -2.4645+17.6008i 00 0 -2.4645-17.6008i

第一个特征向量是实数，其他两个向量是彼此的复共轭。这三个向量都被归一化为欧几里得长度，规范(v, 2)，等于一个。

矩阵v * d * inv（v），它可以更简洁地写成v * d / v，在舍入误差范围内一种.和，inv（v）* a * v， 或者v \ a * v，在舍入误差范围内D..

多个特征值

有些矩阵没有特征向量分解。这些矩阵不能对角化。例如:

a = [1 -2 1 0 1 4 0 0 3]

对于这个矩阵

[v，d] = eig（a）

生产

v = 1.0000 1.0000 -0.5571 0 0.0000 0.7428 0 0 0.3714 D = 1 0 0 0 1 0 0 0 3

有一个双特征值在λ.= 1.第一列和第二列V.是相同的。对于该矩阵，不存在一整套线性独立的特征向量。

施尔分解

许多高级矩阵计算不需要特征值分解。相反，它们是基于SCUR分解的

哪里你是一个正交的矩阵和S.是块上三角矩阵，在对角线上具有1×1和2×2块。特征值由对角线元素和块透露S.，虽然列你提供正交的基础，其具有比一组特征向量更好的数值特性。

例如，比较该缺陷矩阵的特征值和Schur分解:

a = [6 12 19 -9 -20 -33 4 9 15];[v，d] = eig（a）

v = -0.4741 + 0.0000i -0.4082  -  0.0000i -0.4082 + 0.0000i 0.8127 + 0.0000i 0.8165 + 0.0000i 0.8165 + 0.0000i -0.3386 + 0.0000i -0.3386 + 0.0000i -0.4082 + 0.0000i -0.4082  -  0.0000i D = -1.0000 + 0.0000I 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 1.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 1.0000  -  0.0000i

[u，s] = schur（a）

u = -0.4741 0.6648 0.5774 0.8127 0.0782 0.5774 -0.3386 -0.7430 0.5774 S = -1.0000 20.7846 -44.6948 0 1.0000 -0.6096 0 0.0000 1.0000

矩阵一种有缺陷，因为它没有完整的线性独立的特征向量（第二个和第三列）V.是相同的）。因为不是所有列V.是线性无关的，它的条件数很大，约为~1E8..然而,Schur.能计算出三个不同的基向量吗你.以来你正交，Cond（U）= 1.

矩阵S.具有真正的特征值作为对角线上的第一个条目和由右下方2×2块表示的重复特征值。2-by-2块的特征值也是特征值一种：

EIG（2：3,2：3）））

ANS = 1.0000 + 0.0000i 1.0000  -  0.0000i