奇异值

一个奇异值和相应的奇异向量矩形矩阵的一个分别是标量吗σ和一对向量u和v满足

一个 v ＝ σ u 一个 H u ＝ σ v ，

在哪里 一个 H 厄米转置是什么一个．奇异向量u和v通常缩放为1。同样,如果u和v的奇异向量一个,然后- u和- v的奇异向量一个也

奇异值σ总是实数和非负的，即使一个是复杂的。用对角矩阵对角线上的奇异值Σ以及构成两个正交矩阵列的相应奇异向量U和V，你得到方程

一个 V ＝ U Σ 一个 H U ＝ V Σ ．

自U和V第一个方程乘以的是酉矩阵吗 V H 右边是奇异值分解方程

一个 ＝ U Σ V H ．

an的完全奇异值分解米——- - - - - -n矩阵是一个米——- - - - - -米U,一个米——- - - - - -nΣ和一个n——- - - - - -nV．换句话说,U和V都是正方形的吗Σ大小是一样的吗一个．如果一个行比列多(m > n)，然后是结果米——- - - - - -米矩阵U很大。然而，大多数列U乘以0在哪里Σ．在这种情况下经济分解通过生成一个米——- - - - - -nU,一个n——- - - - - -nΣ和相同的V：

当矩阵表示从一个向量空间到它自身的映射时，特征值分解是分析矩阵的合适工具，就像它对一个常微分方程所做的那样。然而，奇异值分解是分析从一个向量空间到另一个向量空间(可能具有不同的维度)的映射的合适工具。大多数联立线性方程组都属于这第二类。

如果一个是方的，对称的，正定的，那么它的特征值和奇异值分解是相同的。但是,正如一个偏离对称性和正定性，两种分解之间的差异增大。特别地，实矩阵的奇异值分解总是实的，但实非对称矩阵的特征值分解可能是复的。

对于示例矩阵

A = 9 4 6 8 2 7

完全奇异值分解为

[U,S,V] = svd(A) U = 0.6105 -0.7174 0.3355 0.6646 0.2336 0.7098 0.4308 0.6563 0.6194 S = 14.9359 0 0 5.1883 0 0 V = 0.6925 -0.7214 0.7214 0.6925

你可以验证一下U * * V”等于一个到舍入误差范围内。对于这个小问题，经济规模分解仅略小。

[U,S,V] = svd(A,0) U = 0.6105 -0.7174 0.6646 0.2336 0.4308 0.6563 S = 14.9359 0 0 5.1883 V = 0.6925 -0.7214 0.7214 0.6925

再一次,U * * V”等于一个到舍入误差范围内。

如果矩阵一个是大而疏，然后用圣言会计算所有奇异值和向量并不总是实用的。例如，如果您只需要知道几个最大的奇异值，那么计算一个5000 × 5000稀疏矩阵的所有奇异值将是大量的额外工作。如果只需要奇异值和向量的子集，则圣言会函数优先于圣言会．

对于一个密度约为30%的1000 × 1000随机稀疏矩阵，

n = 1000;一个= sprand (n, n, 0.3);

最大的六个奇异值是

S = svds(A) S = 130.2184 16.4358 16.4119 16.3688 16.3242 16.2838

另外，六个最小的奇异值是

S = svds(A,6，'最小'

对于能够以完整矩阵的形式放入内存的较小矩阵，完整的(一个),使用圣言(全(A))可能还是比圣言会．然而，对于真正的大型稀疏矩阵，使用圣言会成为必要。

另请参阅

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