GSVD.

广义奇异值分解

句法

[u，v，x，c，s] = gsvd（a，b）

[u，v，x，c，s] = gsvd（a，b，0）

Sigma = GSVD（A，B）

描述

[u，v，x，c，s] = gsvd（a，b）返回酉矩阵你和V.，（通常）方矩阵X，和非负对角线矩阵C和S.以便

a = u * c * x'b = v * s * x'c'* c + s'* s = i

一种和B.必须具有相同数量的列，但可能有不同数量的行。如果一种是m-通过-P.和B.是N-通过-P.，然后你是m-通过-m那V.是N-通过-N那X是P.-通过-问：那C是m-通过-问：和S.是N-通过-问：，在哪里q = min（m + n，p）。

非零元素S.总是在主要的对角线上。非零元素C在对角线上诊断（c，max（0，q-m））。如果m> = q，这是主要的对角线C。

[u，v，x，c，s] = gsvd（a，b，0），在哪里一种是m-通过-P.和B.是N-通过-P.，产生“经济大小”分解，从而产生你和V.最多P.列，和C和S.最多P.行。广义奇异值是诊断（c）./ diag（s）只要m> = p和n> = p。

如果一种是m-通过-P.和B.是N-通过-P.，然后你是m-通过-min（q，m）那V.是N-通过-min（q，n）那X是P.-通过-问：那C是min（q，m）-通过-问：和S.是min（q，n）-通过-问：，在哪里q = min（m + n，p）。

Sigma = GSVD（A，B）返回广义奇异值的向量，sqrt（diag（c'* c）./ diag（s'* s））。什么时候B.是方形和非奇异，广义奇异值，GSVD（A，B），对应于普通的奇异值，SVD（A / B），但它们以相反的顺序排序。他们的互惠是GSVD（B，A）。

矢量Sigma.有长度问：并且处于非减少秩序。

例子

例1

矩阵至少与列一样多行。

A = REPAPE（1：15,5,3）B =魔术（3）A = 1 6 11 11 11 12 3 8 13 4 9 14 5 10 15 B = 8 1 6 3 5 7 4 9 2

该声明

[u，v，x，c，s] = gsvd（a，b）

产生5×5正交你，一个3×3正交V.，一个3×3的非奇妙X那

X = 2.8284 -9.3761 -6.9346 -5.6569 -8.3071 -18.3301 2.8284 -7.2381 -29.7256

和

C = 0.0000 0 0 0 0.3155 0 0 0 0.9807 0 0 0 0 0 0 S = 1.0000 0 0 0 0.9489 0 0 0 0.1957

以来一种排名缺陷，第一对角线元素C是零。

经济大小的分解，

[u，v，x，c，s] = gsvd（a，b，0）

产生5×3矩阵你和3×3矩阵C。

u = 0.5700 -0.6457 -0.4279 -0.7455 -0.3296 -0.4375 -0.1702 -0.0135 -0.4470 0.2966 0.3026 -0.4566 0.0490 0.6187 -0.4661 C = 0.0000 0 0 0 0.3155 0 0 0 0.9807

另外三个矩阵，V.那X，和S.与用完全分解获得的那些相同。

广义奇异值是对角线元件的比率C和S.。

Sigma = GSVD（A，B）Sigma = 0.0000 0.3325 5.0123

这些值是对普通奇异值的重新排序

SVD（A / B）ANS = 5.0123 0.3325 0.0000

例2.

矩阵至少与行一样多列。

a =重塑（1：15,3,5）b =魔术（5）a = 1 4 7 10 13 2 5 8 11 14 3 6 9 12 15b = 17 24 11 8 15 23 5 7 14 16 4 6 1320 22 10 12 19 21 3 11 11 18 25 2 9

该声明

[u，v，x，c，s] = gsvd（a，b）

产生3×3正交你，一个5×5正交V.，一个毫无张X和

C = 0 0 0.0000 0 0 0 0 0 0.0 0.0 0.0 0.7432 S = 1.0000 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0.9990 0 0 0 0 0 0.6690

在这种情况下，非零对角线C是诊断（C，2）。广义奇异值包括三个零。

Sigma = GSVD（A，B）Sigma = 0 0 0.0000 0.0439 1.1109

扭转的角色一种和B.往复运动，产生两个无限性。

GSVD（B，A）ANS = 1.0E + 16 * 0.0000 0.0000 8.8252 INF INF

提示

在这种制定中GSVD.，没有假设是关于个别级别的一种要么B.。矩阵X如果矩阵才有完整等级[a; b]有全级别。事实上，svd（x）和Cond（x）等于SVD（[A; B]）和Cond（[a; b]）。其他配方，例如。G. Golub和C.范贷款[1]，要求null（a）和null（b）不要重叠和替换X通过inv（x）要么inv（x'）。
但请注意，何时null（a）和null（b）do重叠，非零元素C和S.没有唯一确定。