找到5×5帕斯卡矩阵的QR分解。指定一个输出参数只返回上三角因素。

A =帕斯卡（5）;X = QR（A）

X =5×5-2.2361 -6.7082 -15.6525 -31.3050 -56.3489 0.3090 3.1623 11.0680 26.5631 53.1263 0.3090 -0.1744 1.8708 7.4833 19.2428 0.3090 -0.4565 0.3548 0.6325 2.8460 0.3090 -0.7387 -0.0281 -0.7490 -0.1195

提取上三角因子[R从X。

R = triu（X）

R =5×5-2.2361 -6.7082 -15.6525 -31.3050 -56.3489 3.1623 0 11.0680 26.5631 53.1263 0 0 1.8708 7.4833 19.2428 0 0 0 0.6325 2.8460 0 0 0 0 -0.1195

比较[R在Q-少QR分解到[R因素在一个完整的QR分解。

[Q1，R1] = QR（A）

Q1 =5×5-0.4472 -0.6325 0.5345 -0.3162 -0.1195 -0.4472 -0.3162 -0.2673 0.6325 0.4781 -0.4472 0.0000 -0.5345 -0.0000 -0.7171 -0.4472 0.3162 -0.2673 -0.6325 0.4781 -0.4472 0.6325 0.5345 0.3162 -0.1195

R1 =5×5-2.2361 -6.7082 -15.6525 -31.3050 -56.3489 3.1623 0 11.0680 26.5631 53.1263 0 0 1.8708 7.4833 19.2428 0 0 0 0.6325 2.8460 0 0 0 0 -0.1195

通过指定两个输出参数计算幻方测试矩阵的全部QR分解。

A =魔法（5）;[Q，R] = QR（A）

Q =5×5-0.5234 0.5058 0.6735 -0.1215 -0.0441 -0.7081 -0.6966 -0.0177 0.0815 -0.0800 -0.1231 0.1367 -0.3558 -0.6307 -0.6646 -0.3079 0.1911 -0.4122 -0.4247 0.7200 -0.3387 0.4514 -0.4996 0.6328 -0.1774

R =5×5-32.4808 -26.6311 -21.3973 -23.7063 -25.8615 0 19.8943 12.3234 1.9439 4.0856 0 0 -24.3985 -11.6316 -3.7415 0 0 0 -20.0982 -9.9739 0 0 0 0 -16.0005

验证 $\mathit{一个}=\mathrm{QR}$，机器精度内。

范数（A-Q * R）

ANS = 9.5562e-15

指定三个输出参数，以返回置换矩阵或向量，在减少了填充[RQR分解的因素。

计算的QR分解west0479稀疏矩阵。指定三个输出返回置换矩阵满足 $\mathrm{美联社}=\mathrm{QR}$。

加载west0479A = west0479;[Q，R，P] = QR（A）;

验证A * P = Q * R对于置换矩阵P，机器精度内。

范数（A * P-Q * R，“回回”）

ANS = 3.5451e-10

现在指定'向量'选择返回p作为置换矢量。

[Q，R，P] = QR（A，'向量'）;

验证A（：，P）= Q * R对于排列矢量p，机器精度内。

范数（A（：，P） -  Q * R，“回回”）

ANS = 3.5451e-10

验证在在分解结果使用的置换矩阵或置换矢量的[R因子与相比于nonpermuted分解稀疏输入更少的非零元素。

[Q1，R1] = QR（A）;间谍（R1）

间谍（R）

结果表明，在经置换的分解产生的[R因子具有基本上较少的非零元素。

使用系数矩阵的经济尺寸QR分解来求解线性系统 $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$。

通过使用的前五列创建一个10×5系数矩阵魔术（10）。对于线性方程的右手侧 $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$，使用矩阵的行总和。有了这个设置，该方程的解 $\mathit{X}$应该是那些向量。

A =魔法（10）;A = A（：，1：5）

A =10×592 99 1 8 15 98 80 7 14 16 4 81 88 20 22 85 87 19 21 3 86 93 25 2 9 17 24 76 83 90 23 5 82 89 91 79 6 13 95 97 10 12 94 96 78 11 18 100 77 84

B =总和（A，2）

b =10×1215 215 215 215 215 290 290 290 290 290

计算的经济规模QR分解一个。然后求解线性系统 $\mathrm{QRX}=\mathit{b}$同X（P，:) = R \（Q \ b）中。因为Q是正交的，该方程是一样X（P，:) = R \（Q'* B）。

[Q，R，P] = QR（A，0）

Q =10×5-0.0050 -0.4775 -0.0504 0.5193 0.0399 -0.0349 -0.5001 -0.0990 -0.1954 -0.2006 -0.4384 0.1059 -0.4660 0.4464 0.0628 -0.0947 -0.4151 -0.2923 -0.2542 0.5274 -0.1246 -0.4117 -0.2812 -0.1326 -0.4130 -0.3787 0.0209 0.2702 0.4697 0.0390-0.4085 -0.0017 0.2217 -0.2450 -0.2015 -0.0648 -0.3925 0.6939 0.0669 0.1225 -0.4683 0.0833 0.0283 -0.3038 0.5265 -0.4982 0.0867 0.0394 -0.1822 -0.4138

R =5×5-200.7112 -55.5026 -167.6040 -84.7237 -168.7997 0 -192.1053 -40.3557 -152.4040 -39.2814 0 0 101.3180 -89.4254 96.0172 0 0 0 41.0248 -14.9083 0 0 0 0 24.6386

p =1×53 1 5 2 4

X（P，:) = R \（Q \ b）中

X =5×11.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

使对角的半对数图[R以确认该置换分解产生与R因子ABS（DIAG（R））降低。情节奇异值一个在比较了同样的情节。在实践中，对角线值[R以类似的方式来表现的奇异值一个。因此，你可以使用的对角线值[R至于如何接近奇异的矩阵措施一个是。

semilogy（ABS（DIAG（R）），'-o'）保持上semilogy（SVD（A），'R-O'）图例（“R的对角”，“A的奇异值”）

解决稀疏线性系统，并使用结果，看看有多少矢量b在谎言的列空间小号。

创建随机500×20稀疏矩阵具有10％密度和1的矢量。用QR因式分解矩阵入因素[R和C = Q'* B。

S = sprand（500,20,0.1）;B =酮（500,1）;[C，R] = QR（S，B，0）;

使用结果来解决 $\mathrm{SX}=\mathit{b}$同X = R \ C。

X = R \ C;

考虑身份 ${\Vert \mathit{b}\Vert }^2={\Vert \mathrm{SX}-\mathit{b}\Vert }^2+{\Vert \mathit{C}\Vert }^2$。

通过规范通过划分b，你会得到一个新的身份昭示着多少b在谎言的列空间小号：

$\frac{{\Vert \mathrm{SX}-\mathit{b}\Vert }^2}{{\Vert \mathit{b}\Vert }^2}+\frac{{\Vert \mathit{C}\Vert }^2}{{\Vert \mathit{b}\Vert }^2}=1$。

第一项告诉多少b才不是位于的列空间小号，而第二项告诉多少b不位于的列空间小号。

T1 =规范（S * X-B）^ 2 /规范（B）^ 2

T1 = 0.4000

T2 =范数（C）^ 2 /规范（B）^ 2

T2 = 0.6000

用QR解决矩阵方程 $\mathrm{SX}=\mathit{乙}$具有矩形稀疏系数矩阵 $\mathit{小号}$。

加载west0479稀疏矩阵，并使用所述第一列200作为矩形系数矩阵中的线性系统。对于等式的右边，使用的行总和 $\mathit{小号}$。有了这个设置，解决 $\mathrm{SX}=\mathit{乙}$是那些的向量。

加载west0479S = west0479（：，1：200）;B =总和（S，2）;

解决 $\mathrm{SX}=\mathit{乙}$运用QR具有两个输入和三个输出。到线性系统的解决方案是X = P *（R \ C）。

[C，R，P] = QR（S，B）;X = P *（R \ C）;

验证 $\mathrm{SX}-\mathit{乙}=0$，机器精度内。

范数（S * X-B）

ANS = 9.1703e-11

注意：为了计算上三角因子[R和置换矩阵P，但要避免计算的正交矩阵Q（这通常是一个呼叫的计算上最昂贵的部分QR），你可以指定乙作为空矩阵：

emptyB =零（大小（S，1），0）;[〜，R，P] = QR（S，emptyB）;