解决与反斜杠无穷多解的线性系统（万博 尤文图斯\）和lsqminnorm。使用该解决方案的2-规范进行比较的结果。万博 尤文图斯

当无限的解决方案存在万博 尤文图斯 $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$，它们中的每最小化 $\Vert \mathrm{斧头}-\mathit{b}\Vert$。反斜杠命令（\）计算一个这样的解决方案，但是该解决方案通常不最小化 $\Vert \mathit{X}\Vert$。通过计算解决方案lsqminnorm最小化不仅范数（A * X-b）的， 但是也规范（X）。

考虑一个简单的线性系统具有一个方程和两个未知数， $2{\mathit{X}}_1+3{\mathit{X}}_2=8$。该系统是欠既然有公式比未知数少。同时使用反斜线解方程和lsqminnorm。

A = [2 3];B = 8;x_a = A \ B

x_a =2×10 2.6667

x_b = lsqminnorm（A，B）

x_b =2×11.2308 1.8462

这两种方法获得不同的解决方案，因为只有反斜杠旨在减少万博 尤文图斯范数（A * X-b）的，而lsqminnorm目的也是为了减少规范（X）。计算这些规范，并把结果以表格，便于比较。

S1 = {“反斜杠”;'lsqminnorm'};S2 = {'norm_Ax_minus_b'，'NORM_X'};T =表（[范数（A * x_a-b）的范数（A * x_b-b）中]，[范数（x_a）;范数（x_b）]'RowNames'，S1，'VariableNames'，S2）

T =2×2表norm_Ax_minus_b NORM_X _______________ ______反斜杠0 2.6667 lsqminnorm 1.7764e-15 2.2188

这个数字说明了情况，并显示每个方法返回的解决方案。万博 尤文图斯蓝线代表解方程的无穷多万博 尤文图斯 ${\mathit{X}}_2=-\frac{2}{3}{\mathit{X}}_1+\frac{8}{3}$。橙色圆圈表示从原点到溶液的线的最小距离，并将该溶液通过返回万博 尤文图斯lsqminnorm恰好位于该行与圆之间的切点，表明它是最接近原点的解决方案。

显示如何指定在排序计算的公差lsqminnorm可以帮助确定问题的规模，使随机噪声不会损坏的解决方案。

创建等级5的低秩矩阵和右手侧矢量b。

RNG默认％，持续重现U = randn（200,5）;V = randn（100,5）;A = U * V';B = U * randn（5,1）+ 1E-4 * randn（200,1）;

求解线性系统 $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$运用lsqminnorm。计算规范A * X-B和X检查解决方案的质量。

X = lsqminnorm（A，B）;范数（A * X-b）的

ANS = 0.0014

规范（X）

ANS = 0.1741

现在添加噪音少量的基体一个并再次求解线性系统。噪声影响解向量X的线性系统的不成比例。

Anoise = A + 1E-12 * randn（200100）;xnoise = lsqminnorm（Anoise，B）;规范（Anoise * xnoise  -  B）

ANS = 0.0010

规范（xnoise）

ANS = 1.1215e + 08

原因在解决方案的最大区别在于，噪声影响的低阶近似万博 尤文图斯一个。换一种说法，lsqminnorm在对角线上的治疗小值[R矩阵的QR分解一个作为更重要的不是他们。理想情况下，对角线这些小值[R应被视为零。

情节的对角线元素[R矩阵的QR分解噪声。大量的对角线元素都是1E-10的数量级上。

[Q，R，P] = QR（Anoise，0）;semilogy（ABS（DIAG（R）），'O'）

这个问题的解决方法是增加使用的公差lsqminnorm从而使低等级近似噪声误差小于1E-8在计算中被使用。这使得结果更容易受到噪音。用宽容的解决方案是非常接近原来的解决方案X。

xnoise = lsqminnorm（Anoise，B，1E-8）;规范（Anoise * xnoise  -  B）

ANS = 0.0014

规范（xnoise）

ANS = 0.1741

规范（X  -  xnoise）

ANS = 1.0811e-14

解决涉及与接通警告低秩系数矩阵的线性系统。

创建一个3乘3矩阵是秩2的在这个矩阵中，可以通过将前两列一起获得第三列。

A = [1 2 3;4 5 9;6 7 13]

A =3×31 2 3 4 5 9 6 7 13

找到最小范数最小二乘问题的解决 $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$，其中 $\mathit{b}$等于在第二列 $\mathit{一个}$。指定'警告'标志lsqminnorm如果检测显示警告一个是低级别的。

B = A（：，2）;X = lsqminnorm（A，B，'警告'）

警告：秩亏，秩= 2，TOL = 1.072041e-14。

X =3×1-0.3333 0.6667 0.3333