计算矩阵的LU因子分解并检查结果因子。LU分解是一种分解矩阵的方法 $\mathit{一个}$成上三角矩阵 $\mathit{ü}$，下三角矩阵 $\mathit{大号}$和置换矩阵 $\mathit{P}$这样 $\mathrm{PA}=\mathrm{鲁}$。这些矩阵描述了在矩阵上执行高斯消去直到它变成行简化阶梯形的步骤。该 $\mathit{大号}$矩阵包含了所有的乘法器，以及置换矩阵 $\mathit{P}$占行交换。

创建一个3×3矩阵并计算LU因子。

A = [10 -7 0 -3 2 6 5 -1 5];

陆[L U] = (A)

L =3×31.0000 00 -0.3000 -0.0400 1.0000 0.5000 1.0000 0

U =3×310.0000 -7.0000 0 0 2.5000 5.0000 0 0 6.2000

乘以系数来重建一个。随着双输入语法，鲁采用了置换矩阵P直接进入大号因子，使大号返回真的P'* L因此一个= L * U。

L * U

ANS =3×310.0000 -7.0000 0 -3.0000 2.0000 6.0000 5.0000 -1.0000 5.0000

您可以指定三个输出来分离置换矩阵和乘子大号。

[L，U，P] = LU（A）

L =3×31.0000 0 0 0.5000 1.0000 0 -0.3000 -0.0400 1.0000

U =3×310.0000 -7.0000 0 0 2.5000 5.0000 0 0 6.2000

P =3×31 0 0 0 0 1 0 1 0

P'* L * U

ANS =3×310.0000 -7.0000 0 -3.0000 2.0000 6.0000 5.0000 -1.0000 5.0000

通过执行LU分解，并使用因素简化问题求解线性系统。使用反斜杠操作比较与其他方法的结果，并分解目的。

创建一个5×5幻方矩阵，并且求解线性系统 $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$所有的元素b等于65，神奇的总和。因为65是一个神奇的总和此矩阵（所有的行和列添加至65岁），为预期的解决方案X为1s的向量。

一个=魔法(5);b = 65 * 1 (5、1);x = A \ b

x =5×11.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

对于一般的方阵，反斜杠运算符使用LU分解计算线性系统的解。LU分解表达一个如三角矩阵，以及涉及三角矩阵的线性系统的产品很容易使用替换公式求解。

要重新创建由反斜杠计算的答案，请计算的LU分解一个。然后，利用因子求解两个三角线性系统:

y = L \ (P * b);x = U \ y;

之前求解线性系统可以提高性能当许多线性系统将得到解决，因为分解只发生一次，并不需要重复预先计算的矩阵因素的这种方法。

[L，U，P] = LU（A）

L =5×51.0000 0 0 0 0 0.7391 1.0000 0 0 0 0.4783 0.7687 1.0000 0 0 0.1739 0.2527 0.5164 1.0000 0 0.4348 0.4839 0.7231 0.9231 1.0000

U =5×523.0000 5.0000 7.0000 14.0000 16.0000 0 20.3043 -4.1739 -2.3478 3.1739 0 0 24.8608 -2.8908 -1.0921 0 0 0 19.6512 18.9793 0 0 0 0 -22.2222

P =5×50 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0

y = L \ (P * b);x = U \ y

x =5×11.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

该分解对象也是求解线性使用专门的因式分解系统是有用的，因为你会得到很多的预先计算的矩阵因素的性能优势，但你不需要知道如何使用的因素。使用与分解对象'鲁'键入来重新创建相同的结果。

DA =分解（A，'鲁'）;X = DA \ b

x =5×11.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

计算稀疏矩阵的LU分解并验证其恒等式L *Ù= P * S * Q。

创建巴克明斯特-富勒网格球顶的连通图的60逐60稀疏邻接矩阵。

S =巴基;

计算的LU分解小号使用稀疏矩阵的语法与四个输出返回的行和列置换矩阵。

[L，U，P，Q] = LU（S）;

的行和列排列小号同P * S * Q并将结果与​​三角因素比较乘以L * U。它们的差的1范数是舍入误差内，这表明L *Ù= P * S * Q。

Ë= P * S * Q  -  L * U;范数（即，1）

ANS = 5.7732e-15

计算矩阵的LU分解。通过返回行排列作为载体代替基体节省内存。

创建一个1000乘1000的随机矩阵。

A =兰特（1000）;

计算与存储为矩阵的置换信息的LU分解P。将结果与存储为矢量置换信息比较p。矩阵越大，使用置换向量的内存效率就越高。

[L1，U1，P] = LU（A）;[L2，U2，P] = LU（A，'向量'）;谁是Pp

名称大小字节类属性P 1000x1000 8000000双P 1x1000 8000双

使用置换矢量也节约了后续操作的执行时间。例如，你可以使用以前的LU因式分解求解线性系统 $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$。虽然从置换向量和置换矩阵得万博 尤文图斯到的解是等价的(直到舍入)，但使用置换向量的解通常需要较少的时间。

比较具有和没有列置换计算的稀疏矩阵的LU分解的结果。

加载west0479矩阵，这是一个实数值479通过-479稀疏矩阵。

加载west0479一个= west0479;

计算的LU因子分解一个通过调用鲁有三个输出。产生L型和U因素的间谍阴谋。

[L，U，P] = LU（A）;副区（1,2,1）间谍（L）标题（“L因素”）副区（1,2,2）间谍（U）标题（“U因子”）

现在，计算的LU分解一个运用鲁具有四个输出，其中的置换的列一个减少因子中非零的数量。产生的因素要比不使用列排列时少得多。

[L，U，P，Q] = LU（A）;副区（1,2,1）间谍（L）标题（“L因素”）副区（1,2,2）间谍（U）标题（“U因子”）