RREF

简化行阶梯形式（高斯 - 乔丹消除）

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句法

R = RREF（A）
R = RREF（A，TOL）
[R，P] = RREF（A）

描述

例

[R= RREF（一个）返回简化行阶梯形式的一个采用高斯 - 乔丹与消除部分枢转。

[R= RREF（一个，TOL）指定一个支点公差，该算法用来确定可以忽略不计列。

例

[[R，p] = RREF（一个）也返回非零枢轴p。

例子

全部收缩

开立真实脚本

创建一个矩阵，并计算简化列梯形形式。在该形式中，基质具有在每列中的枢转位置领先1秒。

A =魔法（3）
A =3×38 1 6 3 5 7 4 9 2
RA = RREF（A）
RA =3×31 0 0 0 1 0 0 0 1

的3×3幻方矩阵是满秩的，所以简化列梯形形式是单位矩阵。

现在，计算的4乘4幻方矩阵的简化列梯形形式。指定两个输出返回非零枢轴列。由于这种矩阵是秩亏，结果不是单位矩阵。

B =魔法（4）
B =4×416 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1
[RB，P] = RREF（B）
RB =4×41 0 0 1 0 1 0 3 0 0 1 -3 0 0 0 0
p =1×31 2 3
开立真实脚本

使用高斯 - 约旦消去上增广矩阵求解线性系统和计算矩阵逆。这些技术主要是学术兴趣，因为有更高效，更稳定的数值方法来计算这些值。

创建一个3×3魔方阵。额外的列添加到矩阵的端部。此增广矩阵表示的线性系统 斧头 = b ，与对应于额外的列 b 。

A =魔法（3）;A（：，4）= [1;1;1]
A =3×48 1 6 1 3 5 7 1 4 9 2 1

计算的简化行阶梯形式一个。索引[R以提取额外的（增强）柱，它包含将溶液的线性系统中的条目。

R = RREF（A）
R =3×41.0000 0 0 0.0667 0 1.0000 0.0667 0 0 0 1.0000 0.0667
X = R（：，端）
X =3×10.0667 0.0667 0.0667

解决该线性系统更有效的方式是与操作者反斜杠，X = A \ B。

创建一个类似的魔术方阵，但这次追加相同大小的单位矩阵到最后列。

A = [魔法（3）眼（3）]
A =3×68 1 6 1 0 0 3 5 7 0 1 0 4 9 2 0 0 1

计算的简化行阶梯形式一个。在这种形式的额外的列包含用于3×3幻方矩阵的逆矩阵。

R = RREF（A）
R =3×61.0000 0 0 0.1472 -0.1444 0.0639 1.0000 0 0 -0.0611 0.0222 0.1056 0 0 1.0000 -0.0194 0.1889 -0.1028
inv_A = R（：，4：结束）
inv_A =3×30.1472 -0.1444 0.0639 -0.0611 0.0222 0.1056 -0.0194 0.1889 -0.1028

计算逆矩阵的更有效的方法是用INV（A）。

开立真实脚本

考虑线性方程系统具有四个方程和3个未知数。

X 1 + X 2 + 五 X 3 = 6 2 X 1 + X 2 + 8 X 3 = 8 X 1 + 2 X 2 + 7 X 3 = 10 - X 1 + X 2 - X 3 = 2 。

创建表示方程系统的增广矩阵。

A = [1 1 5;2 1 8;1 2 7;-1 1 -1];B = [6 8 10 2]';M = [A B];

用RREF发表在简化行阶梯形式的系统。

R = RREF（M）
R =4×41 0 3 2 0 1 2 4 0 0 0 0 0 0 0 0

的前两行[R包含表达公式 X 1 和 X 2 就......而言 X 3 。第二两行意味着存在至少一个的解决方案，适合的右手侧向量（方程否则一个将读 1 = 0 ）。第三列不包含支点，所以 X 3 是一个独立的变量。因此，也有无穷多解万博 尤文图斯 X 1 和 X 2 和 X 3 可以自由选择。

X 1 = 2 - 3 X 3 X 2 = 4 - 2 X 3 。

例如，如果 X 3 = 1 ， 然后 X 1 = - 1 和 X 2 = 2 。

从数字的观点来看，更有效的方式来解决这个方程组是与X0 = A \ B，这（对于矩形矩阵一个）计算的最小二乘解。在这种情况下，你可以检查与解决方案的精度范数（A * X0-B）/常态（b）中并且通过检查溶液的独特性等级（A）等于未知量的数目。如果有多个解决方案存在，那么它们都具有形式 X = X 0 + NT ，其中 ñ 是零空间空（A）和 Ť 可以自由选择。

输入参数

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输入矩阵。

数据类型：单|双
复数支持：万博1manbetx是

透视容忍，指定为标量。如果在一个枢轴柱中的最大元素（由绝对值）在公差以下，则该列被归零。这防止除法和乘法具有非零枢轴元件比公差小。

数据类型：单|双

输出参数

全部收缩

简化行阶梯形式的一个时，返回作为基质。

非零枢轴柱，返回作为载体。中的每个元素p是一个列索引一个。您可以使用p估计几个数量：

  • 长度（p）的是的等级的估计一个。

  • X（p）的包含一个线性系统的枢轴变量Ax = b的。

  • A（：，p）的为的范围内的基一个。

  • R（1：R，P）是个[R-通过-[R单位矩阵，其中R =长度（p）的。

限制

  • 秩，奥尔特和空值通常用于计算矩阵的秩和基向量更快，更准确。

  • mldivide建议求解线性系统。

更多关于

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部分回转法

部分回转法是在枢轴柱选择具有最大绝对值的列元素，然后互换矩阵的行，使得该元素是在枢转位置（在该行中最左边的非零元素）的做法。

例如，在算法低于基质开始通过在（2,1）位置在第一列中标识最大值（该值等于1.1），然后互换整个第一和第二行，使得该值显示在（1,1）位置。

在高斯消去使用部分枢转的降低（但不消除）舍入在计算中的错误。

简化行阶梯形式

矩阵是在行阶梯形式当这些条件都满足：

  • 所有非零行高于全零的行。

  • 每行的首项系数是严格以一个在其上方的行中的右侧。

在列梯形形式的矩阵的一个例子是

一个 = （ 1 2 3 0 4 1 0 0 2 ） 。

额外的要求简化行阶梯形式是：

  • 每首项系数必须是1，并且必须在其列中的唯一的非零值。

虽然单位矩阵是最常见的具有降低的列梯形形式相关联，其它形式也是可能的。在简化行阶梯形式的矩阵的另一个例子是

一个 = （ 1 0 0 1 0 1 0 3 0 0 1 - 3 0 0 0 0 ） 。

算法

RREF工具高斯 - 乔丹消除与部分回转法。的默认宽容MAX（尺寸（A））* EPS *规范（A，INF）被归零出了可以忽略不计列元素测试，以降低舍入误差。

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