勒让德

有关勒让德函数

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语法

P =勒让德(n, X)

P =勒让德(n, X,归一化)

描述

例子

P=勒让德(n,X)计算有关勒让德函数的程度n和秩序m = 0,1,……n评估每个元素X。

例子

P=勒让德(n,X,归一化)计算相关的勒让德函数的归一化版本。归一化可以“unnorm”(默认),的原理图,或“规范”。

例子

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勒让德函数向量的值有关

打开生活的脚本

使用勒让德函数来操作一个矢量,然后检查输出的格式。

计算一个向量的二级勒让德函数值。

度= 2;x = 0:0.1:0.2;P =勒让德(度,x)

P =3×3-0.2985 -0.5879 3.0000 2.9700 2.8800 -0.5000 -0.4850 -0.4400 0

输出的格式是这样的:

每一行包含不同的值的函数值米(相关的勒让德函数的顺序)
每一列包含一个不同的值的函数值x

$\begin{array}{cccc} x = 0 & x = 0.1 & x = 0.2 \\ 米 = 0 & P_{2}^{0} (0) & P_{2}^{0} (0 。 1) & P_{2}^{0} (0 。 2) \\ 米 = 1 & P_{2}^{1} (0) & P_{2}^{1} (0 。 1) & P_{2}^{1} (0 。 2) \\ 米 = 2 & P_{2}^{2} (0) & P_{2}^{2} (0 。 1) & P_{2}^{2} (0 。 2) \end{array}$

勒让德函数相关的方程为二级 $P_{2}^{米}$ 是

$P_{2}^{米} (x) = {(- - - - - - 1)}^{米} {(1 - - - - - - x^{2})}^{米 / 2} \frac{d^{米}}{d x^{米}} (\frac{1}{2} (3 x^{2} - - - - - - 1)] 。$

因此,的价值 $P_{2}^{0} (0)$ 是

$P_{2}^{0} (0) = (\frac{1}{2} (3 x^{2} - - - - - - 1)] |_{x = 0} = - - - - - - \frac{1}{2} 。$

这个结果同意P (1,1) = -0.5000。

比较勒让德的标准化

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计算相关的勒让德函数值的标准化。

计算一级,非规范勒让德函数值 $P_{1}^{米}$ 。第一行的值对应 $米 = 0$ ,第二行 $米 = 1$ 。

x = 0:0.2:1;n = 1;P_unnorm =勒让德(n, x)

P_unnorm =2×60 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000 -1.0000 -0.9798 -0.9165 -0.8000 -0.6000 0

接下来,施密特seminormalized函数计算值。非规范价值观相比,施密特形成时不同 $米 > 0$ 的比例

${(- - - - - - 1)}^{米} \sqrt{\frac{2 (n - - - - - - 米)!}{(n + 米)!}} 。$

第一行,这两种形式都是一样的, $米 = 0$ 。第二行,比例常数乘以每个值是1。

P_sch =勒让德(n, x,的原理图)

P_sch =2×60 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000 1.0000 0.9798 0.9165 0.8000 0.6000 0

C1 = (1) * 12 + (2 * factorial(0) /阶乘(2))

C1 = 1

最后,计算完全归一化函数值。非规范价值观相比,完全标准化形式不同的比例因子

${(- - - - - - 1)}^{米} \sqrt{\frac{(n + \frac{1}{2}) (n - - - - - - 米)!}{(n + 米)!}} 。$

这个比例因子申请的所有值 $米$ ,所以第一和第二行有不同的缩放因子。

P_norm =勒让德(n, x,“规范”)

P_norm =2×60 0.2449 0.4899 0.7348 0.9798 1.2247 0.8660 0.8485 0.7937 0.6928 0.5196 0

Cm0 =√(3/2))

Cm0 = 1.2247

Cm1 = (1) *√(3/2) / 2)

Cm1 = -0.8660

计算球面谐波

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球面谐波出现在拉普拉斯方程的解和用于表示函数定义在一个球体的表面。使用勒让德计算和可视化的球面谐波 $Y_{3}^{2}$ 。

球函数的方程包括勒让德函数的一个术语,以及复指数:

$Y_{l}^{米} (θ, ϕ) = \sqrt{\frac{(2 l + 1) (l - - - - - - 米)!}{4 π (l + 米)!}} P_{l}^{米} (因为 θ) e^{我米 ϕ}, - - - - - - l \leq 米 \leq l 。$

首先,创建一个网格的值来表示所有的组合 $0 \leq θ \leq π$ (余纬度角) $0 \leq ϕ \leq 2 π$ (方位角度)。在这里,余纬度 $θ$ 在北极,范围从0 $π / 2$ 在赤道, $π$ 在南极。

dx =π/ 60;坳= 0:dx:π;阿兹= 0:dx: 2 *π;(φ,θ)= meshgrid (az,坳);

计算 $P_{l}^{米} (因为 θ)$ 在网格上 $l = 3$ 。

l = 3;Plm =勒让德(l, cos(θ));

自勒让德计算答案的所有值 $米$ ,Plm包含一些额外的函数值。提取的值 $米 = 2$ 和抛弃。使用重塑功能定位结果作为一个矩阵具有相同的大小φ和θ。

m = 2;如果l ~ = 0 Plm =重塑(Plm (m + 1::),大小(φ));结束

计算球面谐波值 $Y_{3}^{2}$ 。

一个= (2 * l + 1) * ! (l m);b = 4 *π* ! (l + m);C =√6 (a / b);Plm Ylm = C。* . * exp(φ1我* *);

球坐标转换成笛卡尔坐标系。在这里, $π / 2 - - - - - - θ$ 成为纬度角范围 $π / 2$ 在北极,在赤道为0, $- - - - - - π / 2$ 在南极。情节的球面谐波 $Y_{3}^{2}$ 使用积极的和消极的价值观。

[Xm, Ym, Zm评选]= sph2cart(π/ 2 -θ,φabs(真实(Ylm)));冲浪(Xm, Ym, Zm评选)标题(“美元Y_3 ^ 2美元的球面谐波的,“翻译”,“乳胶”)

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象与标题YSubScript 3上标2基线球面谐波表面包含一个类型的对象。

输入参数

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`n`- - - - - -程度的勒让德函数
正整数

程度的勒让德函数,指定为一个正整数。指定的程度,勒让德计算 $P_{n}^{米} (x)$ 对所有的订单米从米= 0来米=n。

例子:勒让德(X)

`X`- - - - - -输入值
标量|向量|矩阵|多维数组

输入值,指定为一个标量、向量,矩阵,或多维数组的值范围内[1]。例如,使用球函数是很常见的X = cos(θ)作为输入值来计算 $P_{n}^{米} (因为 θ)$ 。

例子:勒让德(2,cos(θ))

数据类型:单|双

`归一化`- - - - - -归一化类型
`“unnorm”`(默认)|`的原理图`|`“规范”`

归一化类型,指定为其中一个值。

价值	结果
`“unnorm”`	有关勒让德函数
`的原理图`	施密特Seminormalized勒让德函数相关联
`“规范”`	完全标准化的勒让德函数相关联

例子:勒让德(n X,原理图)

输出参数

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`P`——勒让德函数值有关
标量向量矩阵| | |多维数组

勒让德函数值有关,作为一个标量,返回向量,矩阵,或多维数组。正常化P取决于的价值归一化。

的大小P取决于大小的X:

如果X是一个矢量,然后呢P是一个矩阵的大小(n + 1)——- - - - - -长度(X)。的P (m + 1,我)条目相关联的勒让德函数的学位n和秩序米评估在X(我)。
一般来说,P有一个尺寸比吗X和每个元素P (m + 1, i, j, k,…)包含相关的勒让德函数的学位n和秩序米评估在X (i, j, k,…)。

限制

勒让德函数相关的非规范的价值溢出双精度数字的范围n > 150和单精确数字的范围n > 28。这溢出的结果正和南值。订单大于这些阈值,考虑使用的原理图或“规范”的标准化。

的价值`n`	$P_{n} (x)$
`0`	$P_{0} (x) = 1$
`1`	$P_{1} (x) = x$
`2`	$P_{2} (x) = \frac{1}{2} (3 x^{2} - 1)$

算法

勒让德使用三任向后递归关系米。这个递归在一个版本的施密特seminormalized勒让德函数相关联 $问_{n}^{米} (x)$ ,这是复杂的球面谐波。这些函数与标准阿布拉莫维茨和Stegun有关[1]功能 $P_{n}^{米} (x)$ 通过

$P_{n}^{米} (x) = \sqrt{\frac{(n + 米)!}{(n - 米)!}} 问_{n}^{米} (x) 。$

他们是相关的施密特形式通过

$\begin{array}{l} 米 = 0 : {年代}_{n}^{米} (x) = 问_{n}^{0} (x) \\ 米 > 0 : {年代}_{n}^{米} (x) = {(- 1)}^{米} \sqrt{2} 问_{n}^{米} (x) 。 \end{array}$

引用

[1]阿布拉莫维茨、m和中情局Stegun,手册的数学函数,1965岁的多佛出版物Ch.8。

[2]雅各布斯,j . A。地磁学,学术出版社,1987年,Ch.4。

扩展功能

线程环境
在后台运行代码使用MATLAB®`backgroundPool`与并行计算工具箱™或加速代码`ThreadPool`。

这个函数完全支持线程的环境。万博1manbetx有关更多信息,请参见MATLAB函数线程环境中运行。

GPU数组
加速代码运行在一个图形处理单元(GPU)使用并行计算工具箱™。

这个函数完全支持GPU数组。万博1manbetx有关更多信息,请参见运行在GPU MATLAB函数(并行计算工具箱)。

版本历史

之前介绍过的R2006a

另请参阅

β|γ|besselj|贝斯|的阶乘

勒让德

语法

描述

例子

勒让德函数向量的值有关

比较勒让德的标准化

计算球面谐波

输入参数

n- - - - - -程度的勒让德函数正整数

X- - - - - -输入值标量|向量|矩阵|多维数组

归一化- - - - - -归一化类型“unnorm”(默认)|的原理图|“规范”

输出参数

P——勒让德函数值有关标量向量矩阵| | |多维数组

限制

更多关于

有关勒让德函数

施密特Seminormalized勒让德函数相关联

完全标准化的勒让德函数相关联

算法

引用

扩展功能

线程环境在后台运行代码使用MATLAB®backgroundPool与并行计算工具箱™或加速代码ThreadPool。

GPU数组加速代码运行在一个图形处理单元(GPU)使用并行计算工具箱™。

版本历史

另请参阅

`n`- - - - - -程度的勒让德函数
正整数

`X`- - - - - -输入值
标量|向量|矩阵|多维数组

`归一化`- - - - - -归一化类型
`“unnorm”`(默认)|`的原理图`|`“规范”`

`P`——勒让德函数值有关
标量向量矩阵| | |多维数组

线程环境
在后台运行代码使用MATLAB®`backgroundPool`与并行计算工具箱™或加速代码`ThreadPool`。

GPU数组
加速代码运行在一个图形处理单元(GPU)使用并行计算工具箱™。