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二阶锥规划算法

二阶锥规划的定义

二阶锥规划问题有这样的形式

$\underset{x}{最小值} f^{T} x$

受约束

$\begin{matrix} ‖ A_{sc} (我) \cdot x - b_{sc} (我) ‖ \leq d_{sc}^{T} (我) \cdot x - γ (我) \\ A \cdot x \leq b \\ Aeq \cdot x = 贝基 \\ 磅 \leq x \leq 乌兰巴托． \end{matrix}$

f,x,b,贝基,磅，及乌兰巴托向量,A和Aeq矩阵。为每一个我,矩阵A_sc(我),向量b_sc(我),d_sc(我)和标量γ(我)是在一个二阶锥约束中创建的二阶锥．

换言之，该问题具有线性目标函数和线性约束，以及一组二阶锥约束的形式 $‖ A_{sc} (我) \cdot x - b_{sc} (我) ‖ \leq d_{sc}^{T} (我) \cdot x - γ (我)$ ．

`coneprog`算法

这个coneprog求解器使用Andersen、Roos和Terlaky中描述的算法［１］．该方法是一种类似于内点linprog算法．

标准格式

该算法首先将问题放入标准形式.该算法添加非负松弛变量，使问题具有以下形式

$\underset{x}{最小值} f^{T} x$

受约束

$\begin{array}{l} A \cdot x = b \\ x \in K ． \end{array}$

求解器扩展了线性系数向量的大小f线性约束矩阵A来解释松弛变量。

地区K叉乘是洛伦兹锥方程1和非负正交。转换每个凸锥

$‖ A_{sc} (我) \cdot x - b_{sc} (我) ‖ \leq d_{sc}^{T} (我) \cdot x - γ (我)$

到洛伦兹锥方程1，创建变量的列向量t₁,t₂, …,t_n+1:

$\begin{matrix} t_{1} = d^{T} x - γ \\ t_{2 : (n + 1)} = A_{sc} x - b_{sc} ． \end{matrix}$

这里是变量的数量n为每个锥我行数是多少A_sc(我)。根据它的定义，变量向量t满足不等式

‖ t_{2 : (n + 1)} ‖ \leq t_{1} ．

(1)

方程1的洛伦兹锥的定义n+ 1)变量。的变量t出现在问题中的变量x在凸区域K．

在内部，该算法还使用洛伦兹旋转锥在圆锥约束的重新表述中，但本主题不涉及这种情况。详情请参见Andersen、Roos和Terlaky［１］．

当添加松弛变量时，算法会根据需要对变量求反，并添加适当的常量，这样:

只有一个界的变量的下界为零。
有两个边界的变量的下界为零，如果使用松弛变量，则没有上界。
将无边界变量置于洛伦兹锥中，松弛变量作为约束变量。这个松弛变量不属于任何其他表达式、目标或约束的一部分。

对偶问题

对偶锥是

$K_{*} = {:^{T} x \geq 0 \forall x \in K} ．$

对偶问题是

$\underset{y}{最大值} b^{T} y$

这样

$A^{T} y + = f$

对于一些

$\in K_{*} ．$

一个双最优解是一个点(y,)，以满足双重约束并使双重目标最大化。

齐次自对偶公式

为了处理潜在的不可行或无界问题，该算法又增加了两个变量τ和κ并将问题表述为齐次(等于零)和自对偶的。

\begin{matrix} A x - b τ = 0 \\ A^{T} y + - f τ = 0 \\ - f^{T} x + b^{T} y - κ = 0 \end{matrix}

(2)

以及约束条件

(x; τ) \in \bar{K}, (; κ) \in {\bar{K}}_{*} ．

(3)

在这里, $\bar{K}$ 是锥形的K与非负实线相连的，为(x;τ)。类似的 ${\bar{K}}_{*}$ 是锥形的 $K_{*}$ 与非负实线相连的，为(;κ)。在这个公式中，下面的引理表明τ是可行解决方案的比例，以及万博尤文图斯κ是一个不可行问题的指示器。

引理(［１］引理2.1)

让(x,τ,y,,κ)这是一个可行的解决方案方程2加上约束条件方程3．

x^T+τκ= 0.
如果τ>0，那么(x,y,)/τ是标准形式二阶锥问题的原对偶最优解。
如果κ> 0，那么至少有一个严格的不等式成立:

b^Ty> 0

f^Tx< 0.

如果第一不等式成立，则标准形式的原始二阶锥问题是不可行的。如果第二个不等式成立，则标准形式的对偶二阶锥问题是不可行的。

总之，对于可行问题，变量τ在原始标准形式问题和齐次自对偶问题之间缩放解。对于不可行问题，最终迭代(x,y,,τ,κ)提供证明，证明原始标准表格的问题不可行。

起点

迭代的起点是可行点：

x=1表示每个非负变量，1表示每个洛伦兹锥中的第一个变量，否则为0。
y= 0.
=（1,0，…，0）对于每个圆锥体，1对于每个非负变量。
τ= 1.
κ= 1.

中央小路

算法试图遵循中央路径，这是以下方程式的参数化解决方案：γ从1到0递减。

\begin{matrix} A x - b τ = γ (A x_{0} - b τ_{0}) \\ A^{T} y + - c τ = γ (A^{T} y_{0} +_{0} - f τ_{0}) \\ - f^{T} x + b^{T} y - κ = γ (- f^{T} x_{0} + b^{T} y_{0} - κ_{0}) \\ X e = γ μ_{0} e \\ τ κ = γ μ_{0} ． \end{matrix}

(4)

每个下标为0的变量表示变量的起点。
的变量X和是箭头由x和向量,分别。为一个向量x= [x₁,x₂、……x_n，箭头矩阵X有定义吗

$X = 垫子 (x) = [\begin{matrix} x_{1} & x_{2 : n}^{T} \\ x_{2 : n} & x_{1} 我 \end{matrix}] ．$

根据其定义，X是对称的。
的变量e每个圆锥坐标上有1的向量是否对应于x₁洛伦兹锥坐标。
的变量μ₀有定义吗

$μ_{0} = \frac{x_{0}^{T}_{0} + τ_{0} κ_{0}}{k + 1},$

在哪里k非零元素的个数在里面吗x₀．

中心路径从齐次自对偶问题的起点开始，到最优解结束。

安徒生，鲁斯和特拉基［１］在引理3.1中证明了互补条件x^T= 0,x和是洛伦兹锥的乘积吗L，相当于条件

$X_{我}_{我} e_{我} =_{我} X_{我} e_{我} = 0$

对于每一个圆锥我.这里X_我=垫(x_我),x_我这个变量与洛伦兹锥有关吗我,_我=垫(_我)，及e_我是适当维数的单位向量[1,0,0，…，0]。这一讨论表明，中心路径在其端点满足互补条件。

搜索方向

以获取中心路径附近的点作为参数γ由1向0递减，算法采用牛顿法。要查找的变量被标记为(x,τ,y,,κ).让d_x的搜索方向x然后牛顿步求解下列线性系统，由方程4．

$\begin{matrix} A d_{x} - b d_{τ} = (γ - 1) (A x_{0} - b τ_{0}) \\ A^{T} d_{y} + d_{} - f d_{τ} = (γ - 1) (A^{T} y_{0} +_{0} - f τ_{0}) \\ - f^{T} d_{x} + b^{T} d_{y} - d_{κ} = (γ - 1) (- f^{T} x_{0} + b^{T} y_{0} - κ) \\ X_{0} d_{} +_{0} d_{x} = - X_{0}_{0} e + γ μ_{0} e \\ τ_{0} d_{κ} + κ_{0} d_{t} 一 u = - τ_{0} κ_{0} + γ μ_{0} ． \end{matrix}$

该算法通过在d方向。

$[\begin{matrix} x_{1} \\ τ_{1} \\ y_{1} \\ \begin{array}{l} _{1} \\ κ_{1} \end{array} \end{matrix}] = [\begin{matrix} x_{0} \\ τ_{0} \\ y_{0} \\ \begin{array}{l} _{0} \\ κ_{0} \end{array} \end{matrix}] + α [\begin{matrix} d_{x} \\ d_{τ} \\ d_{y} \\ \begin{array}{l} d_{} \\ d_{κ} \end{array} \end{matrix}]$

一步 $α \in [0, 1]$ ．

为了数值稳定性和加速收敛，该算法根据Nesterov和Todd的建议缩放步长[8]．此外，该算法还根据Mehrotra的预测校正器的一个变体来校正步长[7]（有关更多详细信息，请参见安徒生、罗斯和特莱基。）［１］.）

阶跃解算器变化

前面的讨论涉及线人选项的值“增强”指定。求解器有其他值，可以改变步长计算，以适应不同类型的问题。

“自动”(默认)coneprog选择步骤解算器：
- 如果问题是稀疏的，则步骤解算器为“普罗乔尔”．
- 否则，步骤解算器将被禁用“增强”．
“正常”-求解器使用的是“增强”当问题稀疏时，这是合适的步骤。看看安徒生、鲁斯和特拉基［１］．
“舒尔”-该求解器使用改进的Schur补码方法来处理具有几个密集列的稀疏问题。这种方法也适用于大锥。看到安徒生[2]．
“普罗乔尔”-求解器使用Goldfarb和Scheinberg描述的方法([4]和[5])用于处理具有几个密集列的稀疏问题。该方法也适用于大型锥体。

迭代显示和停止条件

在每一次迭代k，该算法计算三个相对收敛度量：

原始不可行性

${感染}_{原始的}^{k} = \frac{‖ A x_{k} - b τ_{k} ‖}{最大值 (1, ‖ A x_{0} - b τ_{0} ‖)} ．$
对偶不可行

${感染}_{二重的}^{k} = \frac{‖ A^{T} y_{k} +_{k} - f τ_{k} ‖}{最大值 (1, ‖ A^{T} y_{0} +_{0} - f τ_{0} ‖)} ．$
差距不可能实行

${感染}_{差距}^{k} = \frac{| - f^{T} x_{k} + b^{T} y_{k} - κ_{k} |}{最大值 (1, | - f^{T} x_{0} + b^{T} y_{0} - κ_{0} |)} ．$

通过指定迭代显示，可以在命令行中查看这三个统计信息。

选择= optimoptions (“coneprog”,“显示”,“国际热核实验堆”);

当问题可行且求解器收敛时，这三个点都应该趋近于零。对于可行问题，变量κ_k接近零，变量τ_k接近正常数。

一种停止条件与间隙的不可行性有关。当下列最优度量降低到最优公差以下时，停止条件为。

${最优性}^{k} = \frac{| f^{T} x_{k} - b^{T} y_{k} |}{τ_{k} + | b^{T} y_{k} |} = \frac{| f^{T} x_{k} / τ_{k} - b^{T} y_{k} / τ_{k} |}{1 + | b^{T} y_{k} / τ_{k} |} ．$

该统计数据衡量目标值的精度。

在下列条件下，求解器也会停止并声明问题不可行的。这三种相对不可行的措施都小于c=ConstraintTolerance，及

$τ_{k} \leq c 最大值 (1, κ_{k}) ．$

如果b^Ty_k> 0，则求解者声明原问题不可行。如果f^Tx_k< 0，则求解器声明对偶问题是不可行的。

算法也会在

$μ_{k} \leq c μ_{0}$

和

$τ_{k} \leq c 最大值 (1, κ_{k}) ．$

在这种情况下,coneprog报告问题在数值上不稳定(退出标志)－10)。

剩余的停止条件发生在至少一个不可行措施大于ConstraintTolerance计算的步长太小。在这种情况下,coneprog有报道称，搜索方向变得太小，无法取得进一步进展-7)。

参考文献

[1] Andersen, E. D.， C. Roos，和T. Terlaky。关于二次曲线优化的原-对偶内点法的实现。数学程序，Ser.B95，第249-277页(2003)。https://doi.org/10.1007/s10107-002-0349-3

安徒生，k.d。线性规划内点法中处理密集柱的改进schur-补法。ACM数学软件交易（TOMS），22（3）：348–3561996。

[3] Ben-Tal, Aharon和Arkadi Nemirovski。工程中的凸优化:建模，分析，算法。（1998）。可于https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.455.2733&rep=rep1&type=pdf．

[4] Goldfarb，D.和K.Scheinberg。线性规划内点法中处理密柱的乘积形式cholesky分解法。数学学报，32(1):1 - 10,2004。

Goldfarb, D.和K. Scheinberg。二阶锥规划内点法中的乘积形式cholesky分解。数学学报，31(1):1 - 7,2005。

[6] 罗智权、何塞·斯图姆和张树忠。圆锥凸规划的对偶性和自对偶性。(1996). 可在https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.48.6432

[7] Mehrotra,桑杰。《关于原-对偶内点法的实现》。暹罗优化杂志2，第4号（1992年11月）：575-601。https://doi.org/10.1137/0802028．

[8] 内斯特罗夫，余。E.和M.J.托德。“凸规划的自缩放障碍和内点方法。”运筹学数学，第1号（1997年2月）：第1-42页。https://doi.org/10.1287/moor.22.1.1．

另见

coneprog|二阶锥