数学公式GYDF4y2Ba

质量的位置GYDF4y2Ba $$\mathrm{我GYDF4y2Ba}$$是GYDF4y2Ba $$\mathrm{xGYDF4y2Ba}(GYDF4y2Ba\mathrm{我GYDF4y2Ba})GYDF4y2Ba$$，具有水平坐标GYDF4y2Ba $${\mathrm{xGYDF4y2Ba}}_{\mathrm{1.GYDF4y2Ba}}(GYDF4y2Ba\mathrm{我GYDF4y2Ba})GYDF4y2Ba$$和垂直坐标GYDF4y2Ba $${\mathrm{xGYDF4y2Ba}}_{\mathrm{2.GYDF4y2Ba}}(GYDF4y2Ba\mathrm{我GYDF4y2Ba})GYDF4y2Ba$$大量GYDF4y2Ba $$\mathrm{我GYDF4y2Ba}$$由于重力的作用，具有势能GYDF4y2Ba $$\mathrm{GGYDF4y2Ba}\mathrm{MGYDF4y2Ba}(GYDF4y2Ba\mathrm{我GYDF4y2Ba})GYDF4y2Ba{\mathrm{xGYDF4y2Ba}}_{\mathrm{2.GYDF4y2Ba}}(GYDF4y2Ba\mathrm{我GYDF4y2Ba})GYDF4y2Ba$$.春天的势能GYDF4y2Ba $$\mathrm{我GYDF4y2Ba}$$是GYDF4y2Ba $$\mathrm{KGYDF4y2Ba}(GYDF4y2Ba\mathrm{我GYDF4y2Ba})GYDF4y2Ba(GYDF4y2Ba\mathrm{DGYDF4y2Ba}(GYDF4y2Ba\mathrm{我GYDF4y2Ba})GYDF4y2Ba-GYDF4y2Ba\mathrm{LGYDF4y2Ba}(GYDF4y2Ba\mathrm{我GYDF4y2Ba})GYDF4y2Ba{)GYDF4y2Ba}^{\mathrm{2.GYDF4y2Ba}}/GYDF4y2Ba\mathrm{2.GYDF4y2Ba}$$哪里GYDF4y2Ba $$\mathrm{DGYDF4y2Ba}(GYDF4y2Ba\mathrm{我GYDF4y2Ba})GYDF4y2Ba$$是弹簧在质量之间的长度GYDF4y2Ba $$\mathrm{我GYDF4y2Ba}$$和质量GYDF4y2Ba $$\mathrm{我GYDF4y2Ba}-GYDF4y2Ba\mathrm{1.GYDF4y2Ba}$$.以锚固点1为质量0的位置，锚固点2为质量的位置GYDF4y2Ba $$\mathrm{NGYDF4y2Ba}+GYDF4y2Ba\mathrm{1.GYDF4y2Ba}$$.前面的能量计算表明，弹簧的势能GYDF4y2Ba $$\mathrm{我GYDF4y2Ba}$$是GYDF4y2Ba

$$\mathrm{EGYDF4y2Ba}\mathrm{NGYDF4y2Ba}\mathrm{EGYDF4y2Ba}\mathrm{RGYDF4y2Ba}\mathrm{GGYDF4y2Ba}\mathrm{YGYDF4y2Ba}(GYDF4y2Ba\mathrm{我GYDF4y2Ba})GYDF4y2Ba=GYDF4y2Ba\frac{\mathrm{KGYDF4y2Ba}(GYDF4y2Ba\mathrm{我GYDF4y2Ba})GYDF4y2Ba(GYDF4y2Ba\Vert GYDF4y2Ba\mathrm{xGYDF4y2Ba}(GYDF4y2Ba\mathrm{我GYDF4y2Ba})GYDF4y2Ba-GYDF4y2Ba\mathrm{xGYDF4y2Ba}(GYDF4y2Ba\mathrm{我GYDF4y2Ba}-GYDF4y2Ba\mathrm{1.GYDF4y2Ba})GYDF4y2Ba\Vert GYDF4y2Ba-GYDF4y2Ba\mathrm{LGYDF4y2Ba}(GYDF4y2Ba\mathrm{我GYDF4y2Ba})GYDF4y2Ba{)GYDF4y2Ba}^{\mathrm{2.GYDF4y2Ba}}}{\mathrm{2.GYDF4y2Ba}}$$.GYDF4y2Ba

将此势能问题重新表述为二阶锥规划问题需要引入一些新变量，如Lobo中所述GYDF4y2Ba[1]GYDF4y2Ba.创建变量GYDF4y2Ba $$\mathrm{TGYDF4y2Ba}(GYDF4y2Ba\mathrm{我GYDF4y2Ba})GYDF4y2Ba$$等于该项的平方根GYDF4y2Ba $$\mathrm{EGYDF4y2Ba}\mathrm{NGYDF4y2Ba}\mathrm{EGYDF4y2Ba}\mathrm{RGYDF4y2Ba}\mathrm{GGYDF4y2Ba}\mathrm{YGYDF4y2Ba}(GYDF4y2Ba\mathrm{我GYDF4y2Ba})GYDF4y2Ba$$.GYDF4y2Ba

让GYDF4y2Ba $$\mathrm{EGYDF4y2Ba}$$是单位列向量GYDF4y2Ba $$[GYDF4y2Ba\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{0GYDF4y2Ba}}{\mathrm{1.GYDF4y2Ba}}]GYDF4y2Ba$$.那么GYDF4y2Ba $${\mathrm{xGYDF4y2Ba}}_{\mathrm{2.GYDF4y2Ba}}(GYDF4y2Ba\mathrm{我GYDF4y2Ba})GYDF4y2Ba=GYDF4y2Ba{\mathrm{EGYDF4y2Ba}}^{\mathrm{TGYDF4y2Ba}}\mathrm{xGYDF4y2Ba}(GYDF4y2Ba\mathrm{我GYDF4y2Ba})GYDF4y2Ba$$.问题变成了GYDF4y2Ba

$$\underset{\mathrm{xGYDF4y2Ba},GYDF4y2Ba\mathrm{TGYDF4y2Ba}}{\mathrm{闵GYDF4y2Ba}}(GYDF4y2Ba\underset{\mathrm{我GYDF4y2Ba}}{\sum GYDF4y2Ba}\mathrm{GGYDF4y2Ba}\mathrm{MGYDF4y2Ba}(GYDF4y2Ba\mathrm{我GYDF4y2Ba})GYDF4y2Ba{\mathrm{EGYDF4y2Ba}}^{\mathrm{TGYDF4y2Ba}}\mathrm{xGYDF4y2Ba}(GYDF4y2Ba\mathrm{我GYDF4y2Ba})GYDF4y2Ba+GYDF4y2Ba\Vert GYDF4y2Ba\mathrm{TGYDF4y2Ba}{\Vert GYDF4y2Ba}^{\mathrm{2.GYDF4y2Ba}})GYDF4y2Ba.GYDF4y2Ba$$(1)GYDF4y2Ba

现在考虑GYDF4y2Ba $$\mathrm{TGYDF4y2Ba}$$作为一个自由向量变量，而不是由前面的GYDF4y2Ba $$\mathrm{TGYDF4y2Ba}(GYDF4y2Ba\mathrm{我GYDF4y2Ba})GYDF4y2Ba$$.将GYDF4y2Ba $$\mathrm{xGYDF4y2Ba}(GYDF4y2Ba\mathrm{我GYDF4y2Ba})GYDF4y2Ba$$和GYDF4y2Ba $$\mathrm{TGYDF4y2Ba}(GYDF4y2Ba\mathrm{我GYDF4y2Ba})GYDF4y2Ba$$在新的锥约束集中GYDF4y2Ba

$$\Vert GYDF4y2Ba\mathrm{xGYDF4y2Ba}(GYDF4y2Ba\mathrm{我GYDF4y2Ba})GYDF4y2Ba-GYDF4y2Ba\mathrm{xGYDF4y2Ba}(GYDF4y2Ba\mathrm{我GYDF4y2Ba}-GYDF4y2Ba\mathrm{1.GYDF4y2Ba})GYDF4y2Ba\Vert GYDF4y2Ba-GYDF4y2Ba\mathrm{LGYDF4y2Ba}(GYDF4y2Ba\mathrm{我GYDF4y2Ba})GYDF4y2Ba\le GYDF4y2Ba\sqrt{\frac{\mathrm{2.GYDF4y2Ba}}{\mathrm{KGYDF4y2Ba}(GYDF4y2Ba\mathrm{我GYDF4y2Ba})GYDF4y2Ba}}\mathrm{TGYDF4y2Ba}(GYDF4y2Ba\mathrm{我GYDF4y2Ba})GYDF4y2Ba.GYDF4y2Ba$$(2)GYDF4y2Ba

目标函数的变量还不是线性的，这是GYDF4y2BaconeprogGYDF4y2Ba. 引入一个新的标量变量GYDF4y2Ba $$\mathrm{YGYDF4y2Ba}$$.注意，不平等性GYDF4y2Ba $$\Vert GYDF4y2Ba\mathrm{TGYDF4y2Ba}{\Vert GYDF4y2Ba}^{\mathrm{2.GYDF4y2Ba}}\le GYDF4y2Ba\mathrm{YGYDF4y2Ba}$$这相当于不平等GYDF4y2Ba

$$\Vert GYDF4y2Ba[GYDF4y2Ba\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{2.GYDF4y2Ba}\mathrm{TGYDF4y2Ba}}{\mathrm{1.GYDF4y2Ba}-GYDF4y2Ba\mathrm{YGYDF4y2Ba}}]GYDF4y2Ba\Vert GYDF4y2Ba\le GYDF4y2Ba\mathrm{1.GYDF4y2Ba}+GYDF4y2Ba\mathrm{YGYDF4y2Ba}$$. (3)GYDF4y2Ba

现在的问题是最小化GYDF4y2Ba

$$\underset{\mathrm{xGYDF4y2Ba},GYDF4y2Ba\mathrm{TGYDF4y2Ba},GYDF4y2Ba\mathrm{YGYDF4y2Ba}}{\mathrm{闵GYDF4y2Ba}}(GYDF4y2Ba\underset{\mathrm{我GYDF4y2Ba}}{\sum GYDF4y2Ba}\mathrm{GGYDF4y2Ba}\mathrm{MGYDF4y2Ba}(GYDF4y2Ba\mathrm{我GYDF4y2Ba})GYDF4y2Ba{\mathrm{EGYDF4y2Ba}}^{\mathrm{TGYDF4y2Ba}}\mathrm{xGYDF4y2Ba}(GYDF4y2Ba\mathrm{我GYDF4y2Ba})GYDF4y2Ba+GYDF4y2Ba\mathrm{YGYDF4y2Ba})GYDF4y2Ba$$(4)GYDF4y2Ba

受圆锥约束GYDF4y2Ba $$\mathrm{xGYDF4y2Ba}(GYDF4y2Ba\mathrm{我GYDF4y2Ba})GYDF4y2Ba$$和GYDF4y2Ba $$\mathrm{TGYDF4y2Ba}(GYDF4y2Ba\mathrm{我GYDF4y2Ba})GYDF4y2Ba$$（2）中列出的，以及附加的圆锥体约束（3）。圆锥体约束（3）确保GYDF4y2Ba $$\Vert GYDF4y2Ba\mathrm{TGYDF4y2Ba}{\Vert GYDF4y2Ba}^{\mathrm{2.GYDF4y2Ba}}\le GYDF4y2Ba\mathrm{YGYDF4y2Ba}$$因此，问题（4）等同于问题（1）。GYDF4y2Ba

问题（4）中的目标函数和锥约束适用于带GYDF4y2BaconeprogGYDF4y2Ba.GYDF4y2Ba

MATLAB®公式GYDF4y2Ba

定义六个弹簧常数GYDF4y2Ba $$\mathrm{KGYDF4y2Ba}$$，六个长度常数GYDF4y2Ba $$\mathrm{LGYDF4y2Ba}$$和五个群众GYDF4y2Ba $$\mathrm{MGYDF4y2Ba}$$.GYDF4y2Ba

k=40*（1:6）；l=[1 1/2 1/2]；m=[2 1 3 2 1]；g=9.807；GYDF4y2Ba

定义与数学问题变量对应的优化变量。为简单起见，请将锚点设置为两个虚拟质量点GYDF4y2Bax（1，：）GYDF4y2Ba和GYDF4y2Ba十(完:)GYDF4y2Ba.此公式允许每个弹簧在两个质量之间拉伸。GYDF4y2Ba

nmass=长度（m）+2；GYDF4y2Ba%k和l有nmass-1元素GYDF4y2Ba%m有nmass-2元素GYDF4y2Bax=optimvar(GYDF4y2Ba“x”GYDF4y2Ba，[nmass，2]）；t=optimvar(GYDF4y2Ba“不”GYDF4y2Ba，nmass-1，GYDF4y2Ba“LowerBound”GYDF4y2Ba，0）；y=optimvar(GYDF4y2Ba“是的”GYDF4y2Ba,GYDF4y2Ba“LowerBound”GYDF4y2Ba,0);GYDF4y2Ba

创建一个优化问题，并将目标函数设置为（4）中的表达式。GYDF4y2Ba

prob=optimproblem；obj=dot（x（2：（end-1），2），m）*g+y；prob.Objective=obj；GYDF4y2Ba

创建与表达式（2）相对应的圆锥体约束。GYDF4y2Ba

conecons=optimineq（nmass-1）；GYDF4y2Ba对于GYDF4y2Baii=1：（nmass-1）conecons（ii）=范数（x（ii+1，：）-x（ii，：）-l（ii）<=sqrt（2/k（ii））*t（ii）；GYDF4y2Ba结束GYDF4y2Baprob.Constraints.conecons=conecons；GYDF4y2Ba

指定定位点GYDF4y2Ba主播GYDF4y2Ba和GYDF4y2Ba主播GYDF4y2Ba.创建相等约束，指定两个虚拟端质量位于定位点处。GYDF4y2Ba

主播0=[05]；主播=[5 4]；锚链=最优等式（2,2）；主播（1，：）=x（1，：）=0；锚点（2，：）=x（结束，：）==锚点；prob.Constraints.anchorcons=锚点；GYDF4y2Ba

创建与表达式（3）相对应的圆锥体约束。GYDF4y2Ba

ycone=norm（[2*t；（1-y）]）<=1+y；prob.Constraints.ycone=ycone；GYDF4y2Ba

解决问题GYDF4y2Ba

问题公式已完成。请致电解决问题GYDF4y2Ba解决GYDF4y2Ba.GYDF4y2Ba

[sol，fval，eflag，output]=求解（prob）；GYDF4y2Ba

使用coneprog解决问题。找到了最优解。GYDF4y2Ba

绘制解决方案点和定位点。GYDF4y2Ba

绘图（sol.x（2：（nmass-1），1），sol.x（2：（nmass-1），2），GYDF4y2Ba“罗”GYDF4y2Ba)持有GYDF4y2Ba在…上GYDF4y2Ba图（[sol.x（1,1），sol.x（end，1）]，[sol.x（1,2），sol.x（end，2）]，GYDF4y2Ba“ks”GYDF4y2Ba)图（sol.x（：，1），sol.x（：，2），GYDF4y2Ba“b——”GYDF4y2Ba)传奇(GYDF4y2Ba“计算点”GYDF4y2Ba,GYDF4y2Ba“锚定点”GYDF4y2Ba,GYDF4y2Ba“春天”GYDF4y2Ba,GYDF4y2Ba“位置”GYDF4y2Ba,GYDF4y2Ba“最好的”GYDF4y2Ba)xlim（[sol.x（1,1）-0.5，sol.x（end，1）+0.5]）ylim（[min（sol.x（：，2））-0.5，max（sol.x（：，2））+0.5]）保持GYDF4y2Ba关GYDF4y2Ba

您可以更改参数的值GYDF4y2BaMGYDF4y2Ba,GYDF4y2BaLGYDF4y2Ba，及GYDF4y2BaKGYDF4y2Ba查看它们对解决方案的影响。您还可以更改质量数；代码从您提供的数据中获取质量数。GYDF4y2Ba

工具书类GYDF4y2Ba

[1] 二阶锥规划的应用GYDF4y2Ba线性代数及其应用GYDF4y2Ba284，第1-3号（1998年11月）：193-228。GYDF4y2Bahttps://doi.org/10.1016/S0024-3795(98)10032-0GYDF4y2Ba.GYDF4y2Ba