数学公式gydF4y2Ba

质量的位置gydF4y2Ba $$\mathrm{我gydF4y2Ba}$$是gydF4y2Ba $$\mathrm{xgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba$$，具有水平坐标gydF4y2Ba $${\mathrm{xgydF4y2Ba}}_{\mathrm{1gydF4y2Ba}}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba$$和垂直坐标gydF4y2Ba $${\mathrm{xgydF4y2Ba}}_{\mathrm{2gydF4y2Ba}}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba$$。质量gydF4y2Ba $$\mathrm{我gydF4y2Ba}$$由于重力的作用，具有势能gydF4y2Ba $$\mathrm{ggydF4y2Ba}\mathrm{mgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba{\mathrm{xgydF4y2Ba}}_{\mathrm{2gydF4y2Ba}}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba$$。弹簧的势能gydF4y2Ba $$\mathrm{我gydF4y2Ba}$$是gydF4y2Ba $$\mathrm{kgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba(gydF4y2Ba\mathrm{dgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba-gydF4y2Ba\mathrm{lgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba{)gydF4y2Ba}^{\mathrm{2gydF4y2Ba}}/gydF4y2Ba\mathrm{2gydF4y2Ba}$$,在那里gydF4y2Ba $$\mathrm{dgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba$$是质量之间的弹簧长度吗gydF4y2Ba $$\mathrm{我gydF4y2Ba}$$和质量gydF4y2Ba $$\mathrm{我gydF4y2Ba}-gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba}$$.以锚固点1为质量0的位置，锚固点2为质量的位置gydF4y2Ba $$\mathrm{ngydF4y2Ba}+gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba}$$.前面的能量计算表明，弹簧的势能gydF4y2Ba $$\mathrm{我gydF4y2Ba}$$是gydF4y2Ba

$$\mathrm{EgydF4y2Ba}\mathrm{ngydF4y2Ba}\mathrm{egydF4y2Ba}\mathrm{rgydF4y2Ba}\mathrm{ggydF4y2Ba}\mathrm{ygydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba=gydF4y2Ba\frac{\mathrm{kgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba(gydF4y2Ba\Vert gydF4y2Ba\mathrm{xgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba-gydF4y2Ba\mathrm{xgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}-gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba})gydF4y2Ba\Vert gydF4y2Ba-gydF4y2Ba\mathrm{lgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba{)gydF4y2Ba}^{\mathrm{2gydF4y2Ba}}}{\mathrm{2gydF4y2Ba}}$$。gydF4y2Ba

将这个势能问题重新表述为二阶锥问题需要引入一些新的变量，如Lobo中所述gydF4y2Ba［１］gydF4y2Ba. 创建变量gydF4y2Ba $$\mathrm{tgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba$$等于这一项的平方根gydF4y2Ba $$\mathrm{EgydF4y2Ba}\mathrm{ngydF4y2Ba}\mathrm{egydF4y2Ba}\mathrm{rgydF4y2Ba}\mathrm{ggydF4y2Ba}\mathrm{ygydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba$$。gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $$\mathrm{egydF4y2Ba}$$是单位列向量gydF4y2Ba $$[gydF4y2Ba\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{0gydF4y2Ba}}{\mathrm{1gydF4y2Ba}}]gydF4y2Ba$$. 然后gydF4y2Ba $${\mathrm{xgydF4y2Ba}}_{\mathrm{2gydF4y2Ba}}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba=gydF4y2Ba{\mathrm{egydF4y2Ba}}^{\mathrm{TgydF4y2Ba}}\mathrm{xgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba$$.问题变成了gydF4y2Ba

$$\underset{\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}}{\mathrm{闵gydF4y2Ba}}(gydF4y2Ba\underset{\mathrm{我gydF4y2Ba}}{\sum gydF4y2Ba}\mathrm{ggydF4y2Ba}\mathrm{mgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba{\mathrm{egydF4y2Ba}}^{\mathrm{TgydF4y2Ba}}\mathrm{xgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba+gydF4y2Ba\Vert gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}{\Vert gydF4y2Ba}^{\mathrm{2gydF4y2Ba}})gydF4y2Ba。gydF4y2Ba$$(1)gydF4y2Ba

现在考虑gydF4y2Ba $$\mathrm{tgydF4y2Ba}$$作为一个自由向量变量，不由前面的方程给出gydF4y2Ba $$\mathrm{tgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba$$。结合两者的关系gydF4y2Ba $$\mathrm{xgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba$$和gydF4y2Ba $$\mathrm{tgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba$$在新的圆锥约束集中gydF4y2Ba

$$\Vert gydF4y2Ba\mathrm{xgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba-gydF4y2Ba\mathrm{xgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}-gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba})gydF4y2Ba\Vert gydF4y2Ba-gydF4y2Ba\mathrm{lgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba\le gydF4y2Ba\sqrt{\frac{\mathrm{2gydF4y2Ba}}{\mathrm{kgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba}}\mathrm{tgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba。gydF4y2Ba$$(2)gydF4y2Ba

目标函数的变量还不是线性的，正如所要求的gydF4y2BaconeproggydF4y2Ba. 引入一个新的标量变量gydF4y2Ba $$\mathrm{ygydF4y2Ba}$$。注意这个不等式gydF4y2Ba $$\Vert gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}{\Vert gydF4y2Ba}^{\mathrm{2gydF4y2Ba}}\le gydF4y2Ba\mathrm{ygydF4y2Ba}$$这相当于不平等gydF4y2Ba

$$\Vert gydF4y2Ba[gydF4y2Ba\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{2gydF4y2Ba}\mathrm{tgydF4y2Ba}}{\mathrm{1gydF4y2Ba}-gydF4y2Ba\mathrm{ygydF4y2Ba}}]gydF4y2Ba\Vert gydF4y2Ba\le gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba}+gydF4y2Ba\mathrm{ygydF4y2Ba}$$。（3)gydF4y2Ba

现在的问题是最小化gydF4y2Ba

$$\underset{\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{ygydF4y2Ba}}{\mathrm{闵gydF4y2Ba}}(gydF4y2Ba\underset{\mathrm{我gydF4y2Ba}}{\sum gydF4y2Ba}\mathrm{ggydF4y2Ba}\mathrm{mgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba{\mathrm{egydF4y2Ba}}^{\mathrm{TgydF4y2Ba}}\mathrm{xgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba+gydF4y2Ba\mathrm{ygydF4y2Ba})gydF4y2Ba$$(4)gydF4y2Ba

受圆锥约束的gydF4y2Ba $$\mathrm{xgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba$$和gydF4y2Ba $$\mathrm{tgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba$$在（2）中列出，以及附加的圆锥体约束（3）。圆锥约束（3）确保gydF4y2Ba $$\Vert gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}{\Vert gydF4y2Ba}^{\mathrm{2gydF4y2Ba}}\le gydF4y2Ba\mathrm{ygydF4y2Ba}$$因此，问题（4）等同于问题（1）。gydF4y2Ba

问题(4)中的目标函数和锥约束适用于gydF4y2BaconeproggydF4y2Ba。gydF4y2Ba

MATLAB®配方gydF4y2Ba

定义六个弹簧常数gydF4y2Ba $$\mathrm{kgydF4y2Ba}$$，六个长度常数gydF4y2Ba $$\mathrm{lgydF4y2Ba}$$和五个群众gydF4y2Ba $$\mathrm{mgydF4y2Ba}$$。gydF4y2Ba

k = 40 * (1:6);L = [1 1/2 1 2 1/2];M = [2 1 3 2 1];gydF4y2Ba

定义地球上近似的引力常数gydF4y2Ba $$\mathrm{ggydF4y2Ba}$$。gydF4y2Ba

g=9.807；gydF4y2Ba

优化的变量是10个组成部分gydF4y2Ba $$\mathrm{xgydF4y2Ba}$$向量，即gydF4y2Ba $$\mathrm{tgydF4y2Ba}$$向量,gydF4y2Ba $$\mathrm{ygydF4y2Ba}$$变量，让我们gydF4y2Ba五gydF4y2Ba是包含所有这些变量的向量。gydF4y2Ba

使用这些变量，创建相应的目标函数向量gydF4y2BafgydF4y2Ba。gydF4y2Ba

f = 0(大小(m));f = [f, g * m];f = f (:);f = [f; 0(长度(k) + 1, - 1));f(结束)= 1;gydF4y2Ba

创建与体量（2）之间的弹簧相对应的圆锥体约束gydF4y2Ba

$$\Vert gydF4y2Ba\mathrm{xgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba-gydF4y2Ba\mathrm{xgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}-gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba})gydF4y2Ba\Vert gydF4y2Ba-gydF4y2Ba\mathrm{lgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba\le gydF4y2Ba\sqrt{\frac{\mathrm{2gydF4y2Ba}}{\mathrm{kgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba}}\mathrm{tgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba$$。gydF4y2Ba

这个gydF4y2BaconeproggydF4y2Ba解算器对变量向量使用圆锥体约束gydF4y2Ba $$\mathrm{五gydF4y2Ba}$$在形式上gydF4y2Ba

$$\Vert gydF4y2Ba{\mathrm{AgydF4y2Ba}}_{\mathrm{gydF4y2Ba}\mathrm{cgydF4y2Ba}}\cdot gydF4y2Ba\mathrm{五gydF4y2Ba}-gydF4y2Ba{\mathrm{bgydF4y2Ba}}_{\mathrm{gydF4y2Ba}\mathrm{cgydF4y2Ba}}\Vert gydF4y2Ba\le gydF4y2Ba{\mathrm{dgydF4y2Ba}}_{\mathrm{gydF4y2Ba}\mathrm{cgydF4y2Ba}}^{\mathrm{TgydF4y2Ba}}\mathrm{五gydF4y2Ba}-gydF4y2Ba\mathrm{\gamma gydF4y2Ba}$$。gydF4y2Ba

在下面的代码中gydF4y2BaAscgydF4y2Ba矩阵表示gydF4y2Ba $$\Vert gydF4y2Ba\mathrm{xgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba-gydF4y2Ba\mathrm{xgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}-gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba})gydF4y2Ba\Vert gydF4y2Ba$$,gydF4y2Ba理学士gydF4y2Ba=gydF4y2Ba(0, 0)gydF4y2Ba.锥变量gydF4y2BadscgydF4y2Ba=gydF4y2Ba $$\sqrt{\mathrm{2gydF4y2Ba}/gydF4y2Ba\mathrm{kgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba}$$和相应的gydF4y2Ba伽马射线gydF4y2Ba=gydF4y2Ba $$-gydF4y2Ba\mathrm{lgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba。gydF4y2Ba$$

d = 0(1、长度(f));Asc = d;Asc([1 3]) = [1 -1];A2 = circshift (Asc, 1);Asc = (Asc; A2);毫升=长度(m);数据库= 2 * ml;二元同步通信= (0,0);gydF4y2Ba对于gydF4y2Bai=2:ml伽马=-l（i）；dsc=d；dsc（dbase+i）=sqrt（2/k（i））；conecons（i）=二阶锥（Asc、bsc、dsc、gamma）；Asc=循环移位（Asc，2,2）；gydF4y2Ba结束gydF4y2Ba

通过使用端部质量位置的定位点，创建与端部质量和定位点之间的弹簧相对应的圆锥体约束，如前一代码所示。gydF4y2Ba

x0 = (0; 5);xn = (5; 4);Asc = 0(大小(Asc));Asc (1 (dbase-1)) = 1;Asc(数据库)= 1;二元同步通信= xn;γ= - l (ml);dsc = d;Dsc (dbase + ml) =√(2/k(ml));conecons(ml + 1) = second dordercone(Asc,bsc,dsc,gamma); Asc = zeros(size(Asc)); Asc(1,1) = 1; Asc(2,2) = 1; bsc = x0; gamma = -l(1); dsc = d; dsc(dbase + 1) = sqrt(2/k(1)); conecons(1) = secondordercone(Asc,bsc,dsc,gamma);

创建圆锥约束(3)对应的gydF4y2Ba $$\mathrm{ygydF4y2Ba}$$变量gydF4y2Ba

通过创建矩阵gydF4y2BaAscgydF4y2Ba哪个，乘以gydF4y2Ba五gydF4y2Ba向量，给出向量gydF4y2Ba $$[gydF4y2Ba\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{2gydF4y2Ba}\mathrm{tgydF4y2Ba}}{-gydF4y2Ba\mathrm{ygydF4y2Ba}}]gydF4y2Ba$$。这个gydF4y2Ba理学士gydF4y2Ba向量对应于这一项中的常数1gydF4y2Ba $$\mathrm{1gydF4y2Ba}-gydF4y2Ba\mathrm{ygydF4y2Ba}$$。这个gydF4y2BadscgydF4y2Ba向量，乘以gydF4y2Ba五gydF4y2Ba，返回gydF4y2Ba $$\mathrm{ygydF4y2Ba}$$. 及gydF4y2Ba伽马射线gydF4y2Ba=gydF4y2Ba $$-gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba}$$。gydF4y2Ba

Asc=2*眼（长度（f））；Asc（1:dbase，：）=[]；Asc（结束，结束）=-1；bsc=零（大小（Asc，1），1）；bsc（端）=-1；dsc=d；dsc（end）=1；伽马=-1；conecons（ml+2）=二阶锥（Asc、bsc、dsc、gamma）；gydF4y2Ba

最后，创建与gydF4y2Ba $$\mathrm{tgydF4y2Ba}$$和gydF4y2Ba $$\mathrm{ygydF4y2Ba}$$变量。gydF4y2Ba

lb=-inf（大小（f））；lb（dbase+1:end）=0；gydF4y2Ba

解决问题并策划解决方案gydF4y2Ba

问题公式已完成。请致电解决问题gydF4y2BaconeproggydF4y2Ba。gydF4y2Ba

[v，fval，exitflag，output]=coneprog（f，conecons，[]，[]，[]，[]，[]，[]磅）；gydF4y2Ba

找到了最优解。gydF4y2Ba

画出解决点和锚点。gydF4y2Ba

页= v (1:2 * ml);页=重塑(pp、2、[]);页= pp ';情节(pp(: 1)、pp (:, 2),gydF4y2Ba“罗”gydF4y2Ba)举行gydF4y2Ba在gydF4y2Baxx=[x0，xn]'；地块（xx（：，1），xx（：，2），gydF4y2Ba“ks”gydF4y2Ba)xlim（[x0（1）-0.5，xn（1）+0.5]）ylim（[min（pp（：，2））-0.5，max（x0（2），xn（2））+0.5]）xxx=[x0'；pp；xn']；地块（xxx（：，1），xxx（：，2），gydF4y2Ba“b——”gydF4y2Ba)传奇(gydF4y2Ba“计算点”gydF4y2Ba,gydF4y2Ba“锚定点”gydF4y2Ba,gydF4y2Ba“泉”gydF4y2Ba,gydF4y2Ba“位置”gydF4y2Ba,gydF4y2Ba“最好的”gydF4y2Ba)举行gydF4y2Ba从gydF4y2Ba

您可以更改参数的值gydF4y2BamgydF4y2Ba,gydF4y2BalgydF4y2Ba,gydF4y2BakgydF4y2Ba查看它们对解决方案的影响。您还可以更改质量数；代码从您提供的数据中获取质量数。gydF4y2Ba

参考文献gydF4y2Ba

[1] 二阶锥规划的应用gydF4y2Ba线性代数及其应用gydF4y2Ba284年,没有。1-3(1998年11月):193-228。gydF4y2Bahttps://doi.org/10.1016/s0024 - 3795 (98) 10032 - 0gydF4y2Ba。gydF4y2Ba