将二次规划问题转化为二阶锥规划

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这个例子展示了如何将一个正半定二次规划问题转化为二阶锥形式coneprog解算器。二次规划问题具有这样的形式

$\underset{x}{最小值} \frac{1}{2} x^{T} H x + f^{T} x$ ，

可能受制于边界和线性约束。coneprog解决表单中的问题

$\underset{x}{最小值} f^{T} x$

这样

$为 {一个}_{年代 c} x - b_{年代 c} 为 \leq d_{年代 c} x - γ$ ，

可能受制于边界和线性约束。

把一个二次程序转换成coneprog形式，首先计算矩阵的平方根 $H$ ．假设 $H$ 是对称半正定矩阵，命令

A = sqrtm(H);

返回一个正半定矩阵一个这样A'*A = A*A = h．因此,

$x^{T} H x ＝ x^{T} {一个}^{T} 一个 x ＝（一个 x ）^{T} 一个 x ＝为一个 x 为^{2}$ ．

修改二次程序的形式如下:

$\underset{x}{最小值} \frac{1}{2} x^{T} H x + f^{T} x ＝ - \frac{1}{2} + \underset{x ， t}{最小值} ［（ t + 1 / 2 ） + f^{T} x ］$

在哪里 $t$ 满足约束条件

$t + 1 / 2 \geq \frac{1}{2} x^{T} H x$ ．

扩展控制变量 $x$ 来 $u$ ，其中包括 $t$ 作为最后一个元素:

$u ＝［ \begin{array}{c} x \\ t \end{array} ］$ ．

将二阶锥约束矩阵和向量展开如下:

${一个}_{sc} ＝［ \begin{array}{c} 一个 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} ］$

$b_{sc} ＝［ \begin{array}{c} 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{array} ］$

$d_{sc} ＝［ \begin{array}{c} 0 \\ ⋮ \\ 0 \\ 1 \end{array} ］$

$γ ＝ - 1$ ．

将系数向量展开 $f$ :

$f_{sc} ＝［ \begin{array}{c} f \\ 1 \end{array} ］$ ．

根据新的变量，二次规划问题就变成了

$\underset{u}{最小值} \frac{1}{2} u^{T} {一个}_{年代 c} u + f_{年代 c}^{T} u ＝ - 1 / 2 + \underset{u}{最小值} ［ 1 / 2 + f_{年代 c}^{T} u ］$

在哪里

$u （ e n d ） + 1 / 2 \geq \frac{1}{2} u^{T} {一个}_{年代 c} u$ ．

通过下面的计算，这个二次约束变成了一个锥约束 ${一个}_{年代 c}$ ， $d_{年代 c}$ , $γ$ ：

$\frac{1}{2} u^{T} {一个}_{年代 c} u ＝ \frac{1}{2} 为 H x 为^{2} \leq t + \frac{1}{2}$

$为 H x 为^{2} \leq 2 t + 1$

$为 H x 为^{2} + t^{2} \leq t^{2} + 2 t + 1 ＝（ t + 1 ）^{2}$

$\sqrt{为 H x 为^{2} + t^{2}} \leq | t + 1 | ＝ \pm （ t + 1 ）$

$为 u 为 \leq \pm （ t - γ ）$

$为 u 为 \leq \pm （ d_{年代 c} - γ ）$ ．

二次规划与相应的锥规划具有相同的解。唯一的区别是附加项 $- 1 / 2$ 在圆锥程序中。

数值例子

的quadprog文档给出了这个示例。

H = [1，-1， -1,2，-2 1，-2,4];F = [-7;-12;-15];Lb = 0 (3,1);Ub = ones(size(lb));Aineq = [1,1,1];Bineq = 3;[xqp fqp] = quadprog(H,f,Aineq,bineq，[]，[]，lb,ub)

找到满足约束条件的最小值。由于目标函数在可行方向上不减少，优化完成，在最优性公差的值内，约束满足在约束公差的值内。

xqp =3×11 1 1

FQP = -32.5000

参考本例开头的描述，指定二阶锥约束变量，然后调用coneprog函数。

Asc = sqrtm(H);Asc((end+1)，(end+1)) = 1;D = [zero (size(f(:)));1];Gamma = -1;B = 0 (size(d));qp = secondordercone(Asc,b,d,gamma);Aq = Aineq;Aq(:，(end+1)) = 0;lb(end+1) = -Inf;ub(end+1) = Inf; [u,fval,eflag] = coneprog([f(:);1],qp,Aq,bineq,[],[],lb,ub)

找到最优解。

u =4×11.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

Fval = -33.0000

Eflag = 1

锥解的前三个元素u等于二次规划解的元素xqp，显示精度:

disp ([xqp u (1: (end-1))))

1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

返回的二次函数值哲学基本问题什么时候返回的锥值是- 1/2 $2 t + 1$ 是正的，什么时候是+ 1/2 $2 t + 1$ 是负的。

disp ([fqp-sign u (2 * () + 1) * 1/2 fval])

-33.0000 - -33.0000

另请参阅

coneprog|quadprog|secondordercone

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