稠密的结构化Hessian的二次极小化
利用结构化的黑森人
的quadprog信任区域反射法可以解决海森密度大但结构复杂的大问题。对于这些问题,quadprog不计算H * Y在黑森H直接地，就像它对稀疏的信任区域反射问题所做的那样H,因为形成H将内存密集型。相反，你必须提供quadprog有一个函数，给定一个矩阵Y和信息H,计算W＝H * Y．
在这个例子中，Hessian矩阵H有结构H = b + a * a '在哪里B稀疏512 × 512对称矩阵，和一个是一个512 × 10的稀疏矩阵，由许多密集的列组成。以避免由于使用H直接原因H是稠密的，这个例子提供了一个Hessian乘法函数，qpbox4mult．这个函数，当传递一个矩阵Y，使用稀疏矩阵一个和B来计算Hessian矩阵乘积W = h * y = (b + a * a ')* y．
在这个例子的第一部分，矩阵一个和B需要提供给Hessian乘法函数qpbox4mult．你可以传递一个矩阵作为第一个参数quadprog，传递给Hessian乘法函数。您可以使用嵌套函数来提供第二个矩阵的值。
示例的第二部分展示了如何收紧TolPCG用来补偿近似预调节器而不是精确预调节器的公差H矩阵。
步骤1:决定将H的哪个部分作为第一个参数传递给quadprog。
要么一个或B可以作为第一个参数传递给quadprog．示例选择通过B作为第一个参数，因为这会产生更好的前置条件(参见预处理）.
quadprog (B, f ,[],[],[],[], l, u, xstart选项)
第二步:写一个函数，计算H的hessian矩阵乘积。s manbetx 845
现在，定义一个函数runqpbox4那
包含嵌套函数
qpbox4mult使用一个和B来计算Hessian矩阵乘积W,在那里W = h * y = (b + a * a ')* y．嵌套函数必须具有表单W = qpbox4mult (Hinfo Y…)
前两个参数
Hinfo和Y是必需的。从中加载问题参数
qpbox4.mat．使用
optimoptions设置HessianMultiplyFcn选项指向的函数句柄qpbox4mult．调用
quadprog与B作为第一个论点。
嵌套函数的第一个参数qpbox4mult必须与传递给的第一个参数相同quadprog在这种情况下就是矩阵B。
第二个参数qpbox4mult是矩阵Y(W = H * Y）.因为quadprog预计Y用来形成海森矩阵乘积，Y总是一个矩阵n行,n是问题的维度数。列数Y可能是不同的。这个函数qpbox4mult是嵌套的，使矩阵的值一个来自于外部函数。优化工具箱™软件包括runqpbox4.m文件。
function [fval, exitflag, output, x] = runqpbox4 % runqpbox4演示了QUADPROG的'HessianMultiplyFcn'选项。问题=负载(“qpbox4”);% Get xstart, u, l, B, A, f xstart = problem.xstart;u = problem.u;l = problem.l;B = problem.B;一个=实例计算;f = problem.f;mtxmpy = @qpbox4mult;% select algorithm and the HessianMultiplyFcn option options = optimoptions(@quadprog，' algorithm '，'信任区域-反射'，'HessianMultiplyFcn'，mtxmpy); % Pass B to qpbox4mult via the H argument. Also, B will be used in % computing a preconditioner for PCG. [x, fval, exitflag, output] = quadprog(B,f,[],[],[],[],l,u,xstart,options); function W = qpbox4mult(B,Y) %QPBOX4MULT Hessian matrix product with dense structured Hessian. % W = qpbox4mult(B,Y) computes W = (B + A*A')*Y where % INPUT: % B - sparse square matrix (512 by 512) % Y - vector (or matrix) to be multiplied by B + A'*A. % VARIABLES from outer function runqpbox4: % A - sparse matrix with 512 rows and 10 columns. % % OUTPUT: % W - The product (B + A*A')*Y. % % Order multiplies to avoid forming A*A', % which is large and dense W = B*Y + A*(A'*Y); end end
步骤3:调用一个有起点的二次极小化程序。
调用所包含的二次极小化程序runqpbox4,输入
[fval、exitflag、输出]= runqpbox4;
运行上述代码。然后显示的值fval，exitflag，output.iterations,output.cgiterations．
fval exitflag,输出。迭代,输出。Cgiterations fval = -1.0538e+03 exitflag = 3 ans = 18 ans = 30
经过18次迭代，共30次PCG迭代，函数值降为
Fval Fval = -1.0538e+003
一阶最优性是
输出。第一步= 0.0043
预处理
有时quadprog不能使用H来计算预处理函数，因为H只有存在隐式。相反,quadprog使用B，而不是传入的参数H，来计算一个预调节器。B是一个好的选择，因为它是相同的大小H和接近H在某种程度上。如果B都不一样大小H，quadprog将基于由算法确定的对角缩放矩阵来计算预处理器。通常情况下，这样做的效果不会很好。
因为前置条件比when更接近H是否可明确调整TolPCG参数设置为稍小的值。这个示例与前面的示例相同，但有所减少TolPCG从默认的0.1到0.01。
函数[fval, exitflag, output, x] = runqpbox4prec .输出说明%RUNQPBOX4PREC演示了QUADPROG的“HessianMultiplyFcn”选项。问题=负载(“qpbox4”)；u, l, B, A, fxstart = problem.xstart;u = problem.u;l = problem.l;B = problem.B;一个=实例计算;f = problem.f;mtxmpy = @qpbox4mult;qpbox4multi嵌套函数的句柄%选择算法，HessianMultiplyFcn选项，并覆盖TolPCG选项选择= optimoptions (@quadprog,“算法”，“trust-region-reflective”，．..“HessianMultiplyFcn”mtxmpy,“TolPCG”, 0.01);通过H参数将B传递给qpbox4mult。B也会被用在%计算PCG的预处理器。% A作为'options'后面的附加参数传递[x, fval exitflag,输出]= quadprog (B, f ,[],[],[],[], l, u, xstart选项);函数W = qpbox4mult (B, Y)%QPBOX4MULT含稠密结构Hessian的Hessian矩阵乘积。% W = qpbox4mult(B,Y)计算W = (B + A*A')*Y%的输入:% B -稀疏方阵(512 × 512)% Y -向量(或矩阵)乘以B + A'*A。%变量从外部函数runqpbox4prec:% A -稀疏矩阵，512行10列。％%输出:% W -乘积(B + A*A')*Y。％%顺序相乘以避免形成A*A'，%大而密集W = b * y + a *(a '* y);结束结束
现在,输入
[fval、exitflag、输出]= runqpbox4prec;
运行上述代码。经过18次迭代和50次PCG迭代后，功能值与5个有效位数相同
Fval Fval = -1.0538e+003
一阶最优性本质上是一样的。
输出。第一步= 0.0043
请注意
减少TolPCG过多会大大增加PCG迭代次数。
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