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Jacobian乘以线性最小二乘函数

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使用jacobian乘法函数，您可以解决表格的最小二乘问题

闵 X 1 2 ‖ C ⋅ X - D. ‖ 2 2

这样lb≤x≤ub，对于问题在哪里C非常大，也许太大了。对于这种技术，使用'信任区域反光'算法。

例如，考虑一个问题在哪里C是基于循环矩阵的2N-N族矩阵。行的行C是行矢量的班次V.。此示例具有行向量V.与表格的元素 （ - 1 ） K. + 1 / K. ：

V. = [ 1 那 - 1 / 2 那 1 / 3. 那 - 1 / 4. 那 ...... 那 - 1 / N ] 那

元素循环移位的地方。

C = [ 1 - 1 / 2 1 / 3. 。 。 。 - 1 / N - 1 / N 1 - 1 / 2 。 。 。 1 / （ N - 1 ） 1 / （ N - 1 ） - 1 / N 1 。 。 。 - 1 / （ N - 2 ） ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ - 1 / 2 1 / 3. - 1 / 4. 。 。 。 1 1 - 1 / 2 1 / 3. 。 。 。 - 1 / N - 1 / N 1 - 1 / 2 。 。 。 1 / （ N - 1 ） 1 / （ N - 1 ） - 1 / N 1 。 。 。 - 1 / （ N - 2 ） ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ - 1 / 2 1 / 3. - 1 / 4. 。 。 。 1 ] 。

这个最小二乘示例考虑了问题在哪里

D. = [ N - 1 那 N - 2 那 ...... 那 - N ] 那

和约束是 - 5. ≤. X 一世 ≤. 5. 为了 一世 = 1 那 ...... 那 N 。

足够大 N ，密集的矩阵C不适合计算机内存（ N = 1 0. 那 0. 0. 0. 一个测试系统太大）。

Jacobian乘法函数具有以下语法。

w = jmfcn（jinfo，y，flag）

jinfo.是矩阵相同的尺寸C，用作前提者。如果C太大而无法适应记忆，jinfo.应该稀疏。y是矢量或矩阵大小C * Y.或者c'* y用作矩阵乘法。旗帜讲JMFCN.哪个产品形成：

  • 旗帜> 0⇒w = c * y

  • 旗帜<0⇒w = c'* y

  • 旗帜= 0⇒w = c'* c * y

因为C是一种简单的结构矩阵，可以轻松地在向量方面写一个jacobian乘法函数V.;也就是说，没有形成C。每一排C * Y.是循环移位版本的产品V.时代y。用快速循环移位V.。

计算C * Y.，计算v * Y.找到第一行，然后转移V.并计算第二行，等等。

计算c'* y，执行相同的计算，但使用移动版本临时，由第一行形成的矢量C'：

temp = [fliplr（v），pliplr（v）];

temp = [Cirsprift（TEMP，1,2），CIRCSHIFT（TEMP，1,2）];％现在temp = c'（1，:)

计算c'* c * y，简单地计算C * Y.使用班次V.，然后计算C'使用班次的结果Pliplr（v）。

辅助功能lsqcirculant3.是一种实现此过程的Jacobian乘法功能;它出现在此示例的结尾。

这dolsqjac3.辅助功能在此示例的结尾设置矢量V.并拨打求解器Lsqlin.使用lsqcirculant3.Jacobian乘法函数。

什么时候N= 3000，C是一个18,000,000元素的密集基质。确定结果dolsqjac3.功能N选择值= 3000X，并显示输出结构。

[x，Resnorm，Reseal，ExitFlag，输出] = Dolsqjac3（3000）;
地方最低可能。LSQLIN停止，因为功能值的相对变化小于功能公差。
DISP（x（1））
5.0000
DISP（x（1500））
-0.5201.
DISP（x（3000））
-5.0000
DISP（输出）
迭代：16算法：'信任区域 - 反光'Firstordoptopt：5.9351E-05 Cgiterations：36 CorroudViration：[] linearsolver：[]消息：'局部最少可能。↵↵lsqlin停止，因为函数值的相对变化小于功能公差。“

辅助功能

此代码创建lsqcirculant3.帮手功能。

功能w = lsqcirculant3（jinfo，y，标志，v）％此功能计算Jacobian乘法函数对于2N-By-N循环矩阵示例的％如果标志> 0 w = jpositive（y）;eleesif标志<0 w = jnegative（y）;别的w = jnegative（jpositive（y））;结尾功能a = jpositive（q）％计算c * qtemp = v;a = zeros（尺寸（q））;％分配矩阵aa = [a; a];％结果是输入的两倍。为了r = 1：大小（a，1）a（r，：）= temp * q;％计算第一个行temp = Cirsprift（TEMP，1,2）;％转移循环结尾结尾功能a = jnegative（q）％计算c'* qtemp = pliplr（v）;temp = Cirsprift（TEMP，1,2）;％转移循环的c'Len =尺寸（q，1）/ 2;％返回的向量只有一半％作为输入向量。A =零（LEN，尺寸（Q，2））;％分配矩阵a为了r = 1：len a（r，:) = [temp，temp] * q;％计算第一个行temp = Cirsprift（TEMP，1,2）;％转移循环结尾结尾结尾

此代码创建dolsqjac3.帮手功能。

功能[x，Resnorm，Residual，ExitFlag，输出] = Dolsqjac3（n）％r = 1：n-1;制作载体的％索引v（n）=（-1）^（n + 1）/ n;％分配矢​​量vv（r）=（-1）。^（r + 1）./ r;％现在C应该是基于V的2N-N循环矩阵，％，但它可能太大，不能适应内存。r = 1：2 * n;d（r）= n-r;jinfo = [speye（n）; speye（n）];预处理的％稀疏矩阵％该矩阵是求解器所需的输入;在此示例中未使用％预处理。％传递矢量v，以便它不需要％在雅可比乘法函数中计算。选项= Optimoptions（'lsqlin'那'算法'那'信任区域反光'那......'jacobianmultiplyfcn'，@（jinfo，y，flag）lsqcirculant3（jinfo，y，flag，v））;lb = -5 *α（1，n）;UB = 5 *那些（1，n）;[x，Resnorm，剩余，ExitFlag，输出] =......LSQLIN（JINFO，D，[]，[]，[]，[]，LB，UB，[]，选项）;结尾

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