探地雷达模型的完全独立条件近似——MATLAB和Simulink万博1manbetx

探地雷达模型的完全独立条件近似

完全独立条件（FIC）近似[1]是一种系统地逼近真实GPR核函数的方法，避免了SR逼近的预测方差问题同时仍然保持有效的高斯过程。您可以使用指定参数估计的FIC方法“FitMethod”和“fic”调用中的名称-值对参数菲特尔格普。对于使用FIC进行预测，您可以使用“预测方法”，“fic”调用中的名称-值对参数菲特尔格普.

逼近核函数

菲莎近似 $K (x_{我}, x_{J} | θ)$ 对于活动集 $A. \subset N = {1., 2., ..., N}$ 由以下公式得出：

$\begin{array}{l} {\hat{K}}_{F 我 C} (x_{我}, x_{J} | θ, A.) = {\hat{K}}_{s R} (x_{我}, x_{J} | θ, A.) + δ_{我 J} (K (x_{我}, x_{J} | θ) - {\hat{K}}_{s R} (x_{我}, x_{J} | θ, A.)), \\ δ_{我 J} = {\begin{array}{l} 1., & 如果我 = J, \\ 0 & 如果我 \neq J . \end{array} \end{array}$

也就是说，FIC近似等于SR近似，如果 $我 \neq J$ . 对于 $我 = J$ ，软件使用精确的内核值，而不是近似值N-借-N对角矩阵 $Ω (X | θ, A.)$ 详情如下:

$\begin{array}{l} {[Ω (X | θ, A.)]}_{我 J} & = δ_{我 J} (K (x_{我}, x_{J} | θ) - {\hat{K}}_{s R} (x_{我}, x_{J} | θ, A.)) \\ = {\begin{array}{l} K (x_{我}, x_{J} | θ) - {\hat{K}}_{s R} (x_{我}, x_{J} | θ, A.) & 如果我 = J, \\ 0 & 如果我 \neq J . \end{array} \end{array}$

菲莎近似 $K (X, X | θ)$ 由以下公式得出：

$\begin{array}{l} {\hat{K}}_{F 我 C} (X, X | θ, A.) & = {\hat{K}}_{s R} (X, X | θ, A.) + Ω (X | θ, A.) \\ = K (X, X_{A.} | θ) K {(X_{A.}, X_{A.} | θ)}^{- 1.} K (X_{A.}, X | θ) + Ω (X | θ, A.) . \end{array}$

参数估计

替换 $K (X, X | θ)$ 通过 ${\hat{K}}_{F 我 C} (X, X | θ, A.)$ 在边际对数似然函数中，产生其FIC近似值：

$\begin{array}{l} 日志 P_{F 我 C} (Y | X, β, θ, σ^{2.}, A.) = & - \frac{1.}{2.} {(Y - H β)}^{T} {[{\hat{K}}_{F 我 C} (X, X | θ, A.) + σ^{2.} 我_{N}]}^{- 1.} (Y - H β) \\ - \frac{N}{2.} 日志 2. π - \frac{1.}{2.} 日志 | {\hat{K}}_{F 我 C} (X, X | θ, A.) + σ^{2.} 我_{N} | . \end{array}$

如在精确方法软件通过第一次计算来估计参数 $\hat{β} (θ, σ^{2.})$ 的最优估计 $β$ 鉴于 $θ$ 和 $σ^{2.}$ .然后它估计 $θ$ 和 $σ^{2.}$ 使用 $β$ -轮廓边缘对数似然。FIC估计 $β$ 理所当然 $θ$ 和 $σ^{2.}$ 是

${\hat{β}}_{F 我 C} (θ, σ^{2.}, A.) = {[\underset{*}{\underset{︸}{H^{T} {({\hat{K}}_{F 我 C} (X, X | θ, A.) + σ^{2.} 我_{N})}^{- 1.} H}}]}^{- 1.} \underset{* *}{\underset{︸}{H^{T} {({\hat{K}}_{F 我 C} (X, X | θ, A.) + σ^{2.} 我_{N})}^{- 1.} Y}},$

$\begin{array}{l} * = H^{T} Λ {(θ, σ^{2.}, A.)}^{- 1.} H - H^{T} Λ {(θ, σ^{2.}, A.)}^{- 1.} K (X, X_{A.} | θ) B_{A.}^{- 1.} K (X_{A.}, X | θ) Λ {(θ, σ^{2.}, A.)}^{- 1.} H, \\ * * = H^{T} Λ {(θ, σ^{2.}, A.)}^{- 1.} Y - H^{T} Λ {(θ, σ^{2.}, A.)}^{- 1.} K (X, X_{A.} | θ) B_{A.}^{- 1.} K (X_{A.}, X | θ) Λ {(θ, σ^{2.}, A.)}^{- 1.} Y, \\ B_{A.} = K (X_{A.}, X_{A.} | θ) + K (X_{A.}, X | θ) Λ {(θ, σ^{2.}, A.)}^{- 1.} K (X, X_{A.} | θ), \\ Λ (θ, σ^{2.}, A.) = Ω (X | θ, A.) + σ^{2.} 我_{N} . \end{array}$

使用 ${\hat{β}}_{F 我 C} (θ, σ^{2.}, A.)$ 这个 $β$ -FIC近似值的轮廓边际对数可能性为：

$\begin{array}{l} 日志 P_{F 我 C} (Y | X, {\hat{β}}_{F 我 C} (θ, σ^{2.}, A.), θ, σ^{2.}, A.) = \\ \begin{array}{l} - \frac{1.}{2.} {(Y - H {\hat{β}}_{F 我 C} (θ, σ^{2.}, A.))}^{T} {({\hat{K}}_{F 我 C} (X, X | θ, A.) + σ^{2.} 我_{N})}^{- 1.} (Y - H {\hat{β}}_{F 我 C} (θ, σ^{2.}, A.)) \\ - \frac{N}{2.} 日志 2. π - \frac{1.}{2.} 日志 | {\hat{K}}_{F 我 C} (X, X | θ, A.) + σ^{2.} 我_{N} |, \end{array} \end{array}$

哪里

$\begin{array}{l} {({\hat{K}}_{F 我 C} (X, X | θ, A.) + σ^{2.} 我_{N})}^{- 1.} \\ = Λ {(θ, σ^{2.}, A.)}^{- 1.} - Λ {(θ, σ^{2.}, A.)}^{- 1.} K (X, X_{A.} | θ) B_{A.}^{- 1.} K (X_{A.}, X | θ) Λ {(θ, σ^{2.}, A.)}^{- 1.}, \\ 日志 | {\hat{K}}_{F 我 C} (X, X | θ, A.) + σ^{2.} 我_{N} | = 日志 | Λ (θ, σ^{2.}, A.) | + 日志 | B_{A.} | - 日志 | K (X_{A.}, X_{A.} | θ) | . \end{array}$

预言

FIC近似法 $Y_{N E W}$ 鉴于 $Y$ , $X$ , $x_{N E W}$ 是

$\begin{array}{l} P (Y_{N E W} | Y, X, x_{N E W}) & = N (Y_{N E W} | H {(x_{N E W})}^{T} β + μ_{F 我 C}, σ_{N E W}^{2.} + Σ_{F 我 C}) \end{array},$

哪里 $μ_{F 我 C}$ 和 $Σ_{F 我 C}$ FIC的近似值是多少 $μ$ 和 $Σ$ 屈服于精确探地雷达法预报. 与SR案件一样， $μ_{F 我 C}$ 和 $Σ_{F 我 C}$ 通过使用FIC近似替换真实核的所有出现来获得。最后的形式 $μ_{F 我 C}$ 和 $Σ_{F 我 C}$ 详情如下:

$μ_{F 我 C} = K (x_{N E W}^{T}, X_{A.} | θ) B_{A.}^{- 1.} K (X_{A.}, X | θ) Λ {(θ, σ^{2.}, A.)}^{- 1.} (Y - H β),$

$\begin{array}{l} Σ_{F 我 C} & = K (x_{N E W}, x_{N E W} | θ) - K (x_{N E W}^{T}, X_{A.} | θ) K {(X_{A.}, X_{A.} | θ)}^{- 1.} K (X_{A.}, x_{N E W}^{T} | θ) \\ + K (x_{N E W}^{T}, X_{A.} | θ) B_{A.}^{- 1.} K (X_{A.}, x_{N E W}^{T} | θ), \end{array}$

哪里

$\begin{array}{l} B_{A.} = K (X_{A.}, X_{A.} | θ) + K (X_{A.}, X | θ) Λ {(θ, σ^{2.}, A.)}^{- 1.} K (X, X_{A.} | θ), \\ Λ (θ, σ^{2.}, A.) = Ω (X | θ, A.) + σ^{2.} 我_{N} . \end{array}$

工具书类

[1] 稀疏近似高斯过程回归的统一观点机器学习研究杂志。第6卷，第1939-1959页，2005年。

另见

菲特尔格普|预测