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什么是线性回归模型?

线性回归模型描述了A因变量，y，一个或多个独立变量，X．因变量也称为反应变量．自变量也被称为说明或预测变量．连续预测变量也被称为协变量，分类预测变量也被称为因素．矩阵X对预测变量的观察通常被称为设计矩阵．

多元线性回归模型为

y 我 ＝ β 0 + β 1 X 我 1 + β 2 X 我 2 + ⋯ + β p X 我 p + ε 我 ， 我 ＝ 1 ， ⋯ ， n ，

在哪里

  • y我是我响应。

  • βk是kth系数,β0是模型中的常数项。有时，设计矩阵可能包含有关常数项的信息。然而,fitlm或stepwiselm默认情况下，模型中包含常数项，因此您不能在设计矩阵中输入1列X．

  • Xij是我对j预测变量,j= 1,…,p．

  • ε我是我噪声项，即随机误差。

如果一个模型只包含一个预测变量(p= 1)，则该模型称为简单线性回归模型。

一般来说，线性回归模型可以是模型的形式

y 我 ＝ β 0 + ∑ k ＝ 1 K β k f k （ X 我 1 ， X 我 2 ， ⋯ ， X 我 p ） + ε 我 ， 我 ＝ 1 ， ⋯ ， n ，

在哪里f(.)是自变量的标量值函数，Xij年代。功能,f（X)，可以是任何形式，包括非线性函数或多项式。线性回归模型中的线性是指系数的线性βk．也就是响应变量，y，是系数，βk．

线性模型的一些例子是:

y 我 ＝ β 0 + β 1 X 1 我 + β 2 X 2 我 + β 3. X 3. 我 + ε 我 y 我 ＝ β 0 + β 1 X 1 我 + β 2 X 2 我 + β 3. X 1 我 3. + β 4 X 2 我 2 + ε 我 y 我 ＝ β 0 + β 1 X 1 我 + β 2 X 2 我 + β 3. X 1 我 X 2 我 + β 4 日志 X 3. 我 + ε 我

然而，由于它们在未知系数中不是线性的，因此，下面的模型不是线性的，βk．

日志 y 我 ＝ β 0 + β 1 X 1 我 + β 2 X 2 我 + ε 我 y 我 ＝ β 0 + β 1 X 1 我 + 1 β 2 X 2 我 + e β 3. X 1 我 X 2 我 + ε 我

线性回归模型的一般假设是:

  • 噪音方面,ε我是不相关的。

  • 噪音方面,ε我，有独立和相同的正态分布均值零和恒定的方差，σ2．因此,

    E （ y 我 ） ＝ E （ ∑ k ＝ 0 K β k f k （ X 我 1 ， X 我 2 ， ⋯ ， X 我 p ） + ε 我 ） ＝ ∑ k ＝ 0 K β k f k （ X 我 1 ， X 我 2 ， ⋯ ， X 我 p ） + E （ ε 我 ） ＝ ∑ k ＝ 0 K β k f k （ X 我 1 ， X 我 2 ， ⋯ ， X 我 p ）

    和

    V （ y 我 ） ＝ V （ ∑ k ＝ 0 K β k f k （ X 我 1 ， X 我 2 ， ⋯ ， X 我 p ） + ε 我 ） ＝ V （ ε 我 ） ＝ σ 2

    所以方差y我所有级别都一样吗Xij．

  • 的响应y我是不相关的。

拟合线性函数为

y ＾ 我 ＝ ∑ k ＝ 0 K b k f k （ X 我 1 ， X 我 2 ， ⋯ ， X 我 p ） ， 我 ＝ 1 ， ⋯ ， n ，

在哪里 y ＾ 我 估计的反应是什么bkS是拟合系数。对这些系数进行估计，使预测向量之间的均方差最小 y ＾ 和真正的响应向量 y ,这是 y ＾ − y ．此方法称为最小二乘法．在噪声项的假设下，这些系数也使预测向量的可能性最大化。

在线性回归模型的形式y＝β1X1+β2X2+……+βpXp,系数βk表示一个单位变化对预测变量的影响，Xj，在响应E(y)，前提是所有其他变量保持不变。系数的符号给出了效果的方向。例如，线性模型为E(y) = 1.8 - 2.35X1+X2，则-2.35表示平均响应下降2.35个单位，增加一个单位X1,鉴于X2是保持不变的。如果模型为E(y) = 1.1 + 1.5X12+X2，的系数X12表示的平均值增加1.5个单位Y增加一个单位X12假设所有其他的都保持不变。然而，对于E(y) = 1.1 + 2.1X1+ 1.5X12，很难用类似的方法来解释这些系数，因为它不可能持有X1常数时X12改变，反之亦然。

参考文献

Neter, J.， M. H. Kutner, C. J. Nachtsheim, W. Wasserman。应用线性统计模型．IRWIN, McGraw-Hill公司，1996。

[2] Seber, g.a.f。线性回归分析．概率与数理统计中的威利级数。John Wiley父子公司，1977年。

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