探索单期资产套利

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此示例在单个期间，两个状态资产组合中探讨基本的套利概念。投资组合包括债券，长库存和股票的长期通话选项。

它使用这些符号数学工具箱™功能：

areantstomatrix.将方程式的线性系统转换为矩阵。
Linsolve.解决系统。
标准MATLAB®功能的符号等同物，例如诊断。

此示例符号源自冒险中性概率和单个两个状态方案的呼叫价格。

定义投资组合的参数

创建符号变量R.在此期间代表无风险率。设置假设R.是一个积极的价值。

Syms.R.积极的

定义单个时段开头的参数，时间= 0.。这里S0.是股价，和C0.是罢工的电话期权价格，K.。

Syms.S0.C0.K.积极的

现在，定义一个句点结束的参数，时间= 1。在句号结束时标记两种可能的状态，因为您（此期间的股票价格上涨）和D（此期间的股票价格下降）。因此，苏和SD.是u和d的股票价格，铜是州U.呼叫的价值。注意 $S. D. < = K. < = S. 你$ 。

Syms.苏SD.铜积极的

债券价格在时间= 0.是1.请注意，此示例忽略了摩擦成本。

收集价格时间= 0.进入栏载体。

价格= [1 s0 c0]'

价格=
                 
                   $（ \begin{array}{c} 1 \\ {S.}_{0.} \\ C_{0.} \end{array} ）$

收取投资组合的收益时间= 1进入清偿矩阵。列的列清偿对应于州D和U的收益。行对应于债券，股票和呼叫的收益。债券的回报是1 + R.。州D呼叫的回报是零，因为它没有行使（因为 $S. D. < = K.$ ）。

支付= [（1 + r），（1 + r）;SD，Su;0，Cu]

支付=
                 
                   $（ \begin{array}{c} R. + 1 & R. + 1 \\ SD. & 苏 \\ 0. & 铜 \end{array} ）$

铜值得Su - K.在州U.替换此值清偿。

支付=潜艇（支付，Cu，Su-K）

支付=
                 
                   $（ \begin{array}{c} R. + 1 & R. + 1 \\ SD. & 苏 \\ 0. & 苏 - K. \end{array} ）$

解决风险中立概率

定义到达状态U和D的概率。

Syms.PU.PD.真实的

没有套利，eqns == 0.必须始终保持正面PU.和PD.。

EQNS =支付* [PD;pu]  - 价格

eqns =
                 
                   $（ \begin{array}{c} PD. (R. + 1) + PU. (R. + 1) - 1 \\ SD. PD. - {S.}_{0.} + 苏 PU. \\ - C_{0.} - PU. (K. - 苏) \end{array} ）$

变换方程用途风险中立概率。

Syms.PDRN.腐败真实的;EQNS =潜艇（EQN，[PD; PU]，[PDRN; PDRN; PURN] /（1 + R））

eqns =
                 
                   $（ \begin{array}{c} PDRN. + 腐败 - 1 \\ \frac{SD. PDRN.}{R. + 1} - {S.}_{0.} + \frac{苏 腐败}{R. + 1} \\ - C_{0.} - \frac{腐败 (K. - 苏)}{R. + 1} \end{array} ）$

未知变量是PDRN.那腐败，和C0.。使用这些未知变量将线性系统转换为矩阵形式。

[A，B] = EquationStomatrix（EQN，[PDRN，PURN，C0]'）

A =
                 
                   $（ \begin{array}{c} 1 & 1 & 0. \\ \frac{SD.}{R. + 1} & \frac{苏}{R. + 1} & 0. \\ 0. & - \frac{K. - 苏}{R. + 1} & - 1 \end{array} ）$

B =
                 
                   $（ \begin{array}{c} 1 \\ {S.}_{0.} \\ 0. \end{array} ）$

使用Linsolve.，找到风险中立概率和呼叫价格的解决方案。

x = linsolve（a，b）

X =
                 
                   $（ \begin{array}{c} \frac{{S.}_{0.} - 苏 + {S.}_{0.} R.}{SD. - 苏} \\ - \frac{{S.}_{0.} - SD. + {S.}_{0.} R.}{SD. - 苏} \\ \frac{(K. - 苏) ({S.}_{0.} - SD. + {S.}_{0.} R.)}{(SD. - 苏) (R. + 1)} \end{array} ）$

验证解决方案

验证风险中立概率，x（1：2），投资组合的预期回报率，e_return.等于无风险率，R.。

e_return = diag（价格）\（支付 -  [价格，价格]）* x（1：2）;E_RETURN = SIMPLIFY（SUMM（E_RETURN，C0，X（3）））））

E_RETURN =.
                 
                   $（ \begin{array}{c} R. \\ R. \\ R. \end{array} ）$

测试禁止违规行为

作为测试无仲裁违规的示例，请使用以下值：r = 5％那S0 = 100.，和k = 100.。为了SU <105.，禁止禁止条件是违反的，因为pdrn = xsol（1）是消极的（su> = sd）。此外，对于以外的任何呼叫价格XSOL（3），有套利。

XSOL =简化（SUMM（X，[R，S0，K]，[0.05,100,100]））））

XSOL =
                 
                   $（ \begin{array}{c} - \frac{苏 - 105.}{SD. - 苏} \\ \frac{SD. - 105.}{SD. - 苏} \\ \frac{20. (SD. - 105.) (苏 - 100.)}{21. (SD. - 苏)} \end{array} ）$

绘制呼叫价格作为表面

策划电话价格，c0 = xsol（3），为了50 <= SD <= 100和105 <= su <= 150。请注意，当底层股价的“差异”更高时，呼叫值得更多，sd = 50，su = 150。

FSURF（XSOL（3），[50,100,105,150]）XLabelSD.ylabel.苏标题'电话价格'

图包含轴。具有标题呼叫价格的轴包含类型函数曲面的对象。

参考

先进的衍生工具，定价和风险管理：理论，工具和编程应用由Albanese，C.，Camplieti，G。

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解决风险中立概率

验证解决方案

测试禁止违规行为

绘制呼叫价格作为表面

参考

符号数学工具箱文档

万博1manbetx

数学建模与符号数学工具箱