用拉普拉斯变换求解微分方程- MATLAB和Simulink万博1manbetx - 万博1manbetx,s manbetx 845,万博尤文图斯

用拉普拉斯变换求解微分方程

在这个工作流程中使用符号数学工具箱™中的拉普拉斯变换来解微分方程。关于拉普拉斯变换的简单例子，请看拉普拉斯和ilaplace．

定义:拉普拉斯变换

一个函数的拉普拉斯变换f（t）是

$F （年代）＝ \int_{0}^{\infty} f （ t ） e^{- t 年代} d t ．$

概念:使用符号工作流

符号工作流以自然的符号形式而不是数字形式进行计算。这种方法可以帮助您理解解决方案的属性并使用精确的符号值。只有在需要数字结果或无法按符号继续时，才用数字代替符号变量。有关详细信息,请参见选择数字或符号算术．通常，步骤是:

申报的方程。
解决方程。
替代的价值观。
阴谋的结果。
分析的结果。

工作流程:利用拉普拉斯变换求解RLC电路

申报的方程

你可以用拉普拉斯变换来解有初始条件的微分方程。例如，你可以解决电阻-电感-电容(RLC)电路，例如这个电路。

在欧姆电阻:R₁，R₂，R_3.
在安培电流:我₁，我₂，我_3.
电感在亨利:l
法拉电容:C
电动势(伏特):E（t）
在库仑收费:问（t）

应用基尔霍夫电压和电流定律，得到了RLC电路的微分方程。

$\frac{d 我_{1}}{d t} + \frac{R_{2}}{l} \frac{d 问}{d t} ＝ \frac{R_{2} - R_{1}}{l} 我_{1} ．$

$\frac{d 问}{d t} ＝ \frac{1}{R_{3.} + R_{2}} （ E （ t ） - \frac{1}{C} 问（ t ）） + \frac{R_{2}}{R_{3.} + R_{2}} 我_{1} ．$

声明的变量。因为物理量是正的，所以在变量上设置相应的假设。让E（t）为1v的交流电压。

syms L C I1(t) Q(t) s R = sym('R%d'，[1 3]);设([t L C R] > 0) E(t) = 1*sin(t);%电压= 1 V

声明微分方程。

dI1 = diff (I1, t);dQ = diff (Q, t);eqn1 = dI1 + (R (2) / L) * dQ = = (R - R (1) (2)) / L * I1 eqn2 = dQ = = (1 / R (R (2) + (3)) * (q / C)) + R (2) / (R (2) + (3)) * I1

eqn1 (t) = diff (I1 (t), t) + (R2 * diff (Q (t), t) / L = = - - - - - - (I1 (t) * (R1, R2)) / L eqn2 (t) = diff (Q (t), t) = =(罪(t) - Q (t) / C) / (R2 + R3) + (R2 * I1 (t)) / (R2 + R3)

假设初始电流和电荷，我₀和问₀都是0．声明这些初始条件。

cond1 = I1 == 0 cond2 = Q(0) == 0

cond1 = I1 == 0 cond2 = Q(0) == 0

解决方程

计算拉普拉斯变换eqn1和eqn2．

eqn1LT = laplace(eqn1,t,s)

eqn1LT = s *拉普拉斯(I1 (t), t, s) - I1 (0) (R2 * (Q (0) - s *拉普拉斯(Q (t), t, s))) / L = =…- ((R1, R2) *拉普拉斯(I1 (t), t, s)) / L eqn2LT = s *拉普拉斯(Q (t), t, s) - Q (0) = = (R2 *拉普拉斯(I1 (t), t, s)) / (R2 + R3) +…(C/(s²+ 1)-拉普拉斯(Q(t)， t, s))/(C*(R2 + R3))

这个函数解决只解决符号变量。因此,使用解决,第一个替代拉普拉斯(I1 (t), t, s)和拉普拉斯(Q (t), t, s)与变量I1_LT和Q_LT．

I1_LT Q_LT eqn1LT = subs(eqn1LT，[拉普拉斯(I1,t,s)拉普拉斯(Q,t,s)]，[I1_LT Q_LT])

eqn1LT = I1_LT * s - I1 (0) - (R2 * (Q (0) - Q_LT * s)) / L = = - - - - - - (I1_LT * (R1, R2)) / L

eqn2LT = subs(eqn2LT，[拉普拉斯(I1,t,s)拉普拉斯(Q,t,s)]，[I1_LT Q_LT])

eqn2LT = Q_LT * s - Q (0) = = (I1_LT * R2) / (R2 + R3)——(Q_LT - C / s ^ 2 + 1) / (C * (R2 + R3))

解方程I1_LT和Q_LT．

eqns = [eqn1LT];vars = [I1_LT Q_LT];[I1_LT, Q_LT] = solve(eqns,vars)

I1_LT Q = (R2 * * I1 (0) (0) + L - C * R2 * s + L * s ^ 2 * I1 (0) + R2 * s ^ 2 * Q L (0) + C * * R2 * s ^ 3 * I1(0) +…L C * * R3 * s ^ 3 * I1 (0) + C * L * R2 * * I1 (0) + C * L * R3 * * I1 (0)) / ((s ^ 2 + 1) * (R1, R2 + L * s +……C * L * R2 * s ^ 2 + C * L * R3 * s ^ 2 + C * R1 * R2 * s + C * R1 * R3 * s - C * R2 * R3 * s)) Q_LT = (C * (R1, R2 + L * s + L * R2 * I1 (0) + R1 * R2 * Q (0) + R1 * R3 * Q (0) - R2 * R3 * Q(0) +…L * R2 * s ^ 2 * I1 (0) + L * R2 * s ^ 3 * Q (0) + L * R3 * s ^ 3 * Q (0) + R1 * R2 * s ^ 2 * Q (0) + R1 * R3 * s ^ 2 * Q(0) -…题目:R2*s ^2*Q(0) + L*R2*s*Q(0) +…L * R3 * * Q (0))) / ((s ^ 2 + 1) * (R1, R2 + L * s + L C * * R2 * s ^ 2 + C * L * R3 * s ^ 2 +…C*R1*R2*s + C*R1*R3*s - C*R2*R3*s))

计算我₁和问通过计算拉普拉斯逆变换I1_LT和Q_LT．简化的结果。抑制输出，因为它很长。

I1sol = ilaplace (I1_LT、s、t);Qsol = ilaplace (Q_LT、s、t);I1sol =简化(I1sol);Qsol =简化(Qsol);

替代值

在绘制结果之前，用电路元件的数值代替符号变量。让R1= 4 Ω，R2= 2Ω,R3= 3Ω,CF = 1/4,l= 1.6 H,我₁(0）= 15 A，和问(0）= 2 C。

var = [R L C I1(0) Q(0)];值= [4 2 3 1.6 1/4 15 2];I1sol = subs(I1sol,vars,values)

I1sol = 15 * exp (- (51 * t) / 40) * (cosh ((1001 ^ (1/2) * t) / 40) -…(293 * 1001 ^ (1/2) * sinh ((1001 ^ (1/2) * t) / 40)) / 21879)——(5 * sin (t)) / 51 Qsol = (4 * sin (t)) / 51 - 51 (5 * cos (t)) / + (107 * exp (- (51 * t) / 40) * (cosh ((1001 ^ (1/2) * t) / 40) +…(2039 * 1001 ^ (1/2) * sinh ((1001 ^ (1/2) * t) / 40)) / 15301)) / 51

阴谋的结果

当前的情节I1sol和电荷Qsol．通过使用两个不同的时间间隔来显示瞬态和稳态行为:0≤t≤10和≤5t≤25．

次要情节(2、2、1)fplot (I1sol 10[0])标题(当前的)ylabel (I1 (t))包含(t)次要情节(2 2 2)fplot (Qsol 10[0])标题(“费用”)ylabel (Q (t))包含(t)次要情节(2,2,3)fplot (I1sol 25[5])标题(当前的)ylabel (I1 (t))包含(t)文本(7,0.25,“瞬时”)文本(16个,0.125,“稳态”)次要情节(2,2,4)fplot (Qsol 25[5])标题(“费用”)ylabel (Q (t))包含(t)文本(7,0.25,“瞬时”)文本(15,0.16,“稳态”)

分析结果

起初，电流和电荷呈指数下降。然而，从长期来看，它们是振荡的。这些行为分别称为“暂态”和“稳态”。对于符号结果，您可以分析结果的属性，这在数值结果中是不可能的。

视觉检查I1sol和Qsol．它们是项的和。通过使用找到术语孩子们．然后，把这些项画出来，求出它们的作用[0 15]．图中显示了瞬态和稳态项。

I1terms =孩子(I1sol);Qterms =孩子(Qsol);subplot(1,2,1) fplot(I1terms，[0 15]) ylim([-2 2]) title('Current terms') subplot(1,2,2) fplot(Qterms，[0 15]) ylim([-2 2]) title('Charge terms')

图表显示I1sol有瞬态和稳态项，而Qsol有一个瞬态和两个稳态项。从目视检查，注意I1sol和Qsol有一个术语包含经验值函数。假设这一项引起了瞬时指数衰减。中分离瞬态和稳态项I1sol和Qsol通过检查经验值使用有．

I1steadystate = I1terms(~has(I1terms，'exp'))

I1transient = 15 * exp (- (51 * t) / 40) * (cosh ((1001 ^ (1/2) * t) / 40) - (293 * 1001 ^ (1/2) * sinh ((1001 ^ (1/2) * t) / 40)) / 21879) I1steadystate = - (5 * sin (t)) / 51

同样的,单独的Qsol转化为瞬态和稳态项。这个结果演示了符号计算如何帮助您分析问题。

Qsteadystate = Qterms(~has(Qterms，'exp'))

Qtransient = (107 * exp (- (51 * t) / 40) * (cosh ((1001 ^ (1/2) * t) / 40) + (2039 * 1001 ^ (1/2) * sinh ((1001 ^ (1/2) * t) / 40)) / 15301)) / 51 Qsteadystate = (- (5 * cos (t)) / 51岁(4 * sin (t)) / 51)