四元数

创建一个四元数数组

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描述

四元数是用于三维旋转和方向的四部分超复数。

四元数用下面的形式表示 $一个 + b 我 + c j + d k$ ,在那里一个，b，c,d部分为实数，i、j、k为基元，满足式:我²j =²= k²= ijk =−1．

四元数的集合，用H，在实数上的四维向量空间中定义，R⁴．每一个元素H具有基于基本元素i、j和k的线性组合的唯一表示。

在三维空间中，所有的旋转都可以用一个旋转轴和围绕该轴的角度来描述。四元数相对于旋转矩阵的一个优点是旋转的轴和角度很容易解释。例如，考虑一个点R^3.．要旋转该点，需要定义一个旋转轴和一个旋转角。

旋转插图

旋转的四元数表示可以表示为 $问＝因为（ \frac{θ}{2} ） + 罪（ \frac{θ}{2} ）（ u_{b} 我 + u_{c} j + u_{d} k ）$ ,在那里θ为旋转角度，[u_b，u_c,u_d]是旋转轴。

创建

语法

四元数()

四元数(A,B,C,D)

四元数(矩阵)

quat =四元数(RV，'rotvec')

quat =四元数(RV，'rotvecd')

quat =四元数(RM，'rotmat'，PF)

四元数(E，'欧拉'，RS,PF)

quat =四元数(E，'欧拉'，RS,PF)

描述

例子

皮疹=四元数()创建一个空的四元数。

例子

皮疹=四元数(A, B, C, D）创建一个四元数数组，其中四个四元数部分取自数组一个，B，C,D．所有输入必须具有相同的大小和相同的数据类型。

例子

皮疹=四元数(矩阵）创建一个N的-by-1四元数数组N-by-4矩阵，其中每一列都成为四元数的一部分。

例子

皮疹=四元数(房车, ' rotvec ')创建一个N的-by-1四元数数组N旋转向量的-乘3矩阵，房车．每行房车表示以弧度为单位的旋转向量。

例子

皮疹=四元数(房车, ' rotvecd ')创建一个N的-by-1四元数数组N旋转向量的-乘3矩阵，房车．每行房车表示旋转向量，单位为度。

例子

皮疹=四元数(RM“rotmat”,PF）创建一个N由3 × 3 × -的四元数数组N旋转矩阵数组，RM．PF可以是任何一个“点”欧拉角是否表示点旋转“帧”对于坐标系旋转。

例子

皮疹=四元数(E“欧拉”,RS，PF）创建一个N的四元数数组N3矩阵,E．每行E表示一组以弧度为单位的欧拉角。里面的角度E围绕轴的旋转是顺序的吗RS．

例子

皮疹=四元数(E“eulerd”,RS，PF）创建一个N的四元数数组N3矩阵,E．每行E表示一组以角度为单位的欧拉角。里面的角度E围绕轴的旋转是顺序的吗RS．

输入参数

全部展开

`A, B, C, D`- - - - - -四元数的部分
相同大小的逗号分隔数组

四元数的一部分，指定为四个相同大小的以逗号分隔的标量、矩阵或多维数组。

例子:Quat =四元数(1,2,3,4)创建形式为1 + 2i + 3j + 4k的四元数。

例子:Quat =四元数([1,5]，[2,6]，[3,7]，[4,8])创建一个1 × 2四元数数组，其中Quat (1,1) = 1 + 2i + 3j + 4k而且Quat (1,2) = 5 + 6i + 7j + 8k

数据类型:单|双

`矩阵`- - - - - -四元数部分的矩阵
N4矩阵

四元数部分的矩阵，指定为N4矩阵。每一行代表一个单独的四元数。每一列表示一个单独的四元数部分。

例子:四元数(兰特(10,4))创建一个10 × 1四元数数组。

数据类型:单|双

`房车`- - - - - -旋转向量矩阵
N3矩阵

旋转向量的矩阵，指定为N3矩阵。每行房车表示旋转向量的[X Y Z]个元素。旋转矢量是一个单位矢量，表示旋转轴按弧度或度的旋转角度缩放。

要使用此语法，请将第一个参数指定为旋转向量的矩阵，并将第二个参数指定为“rotvec”或“rotvecd”．

例子:Quat =四元数(rand(10,3)，'rotvec')创建一个10 × 1四元数数组。

数据类型:单|双

`RM`- - - - - -旋转矩阵
3×3矩阵|3-by-3-by -N数组

旋转矩阵的数组，由3 × 3矩阵或3 × 3 × -指定N数组中。数组的每一页都表示一个单独的旋转矩阵。

例子:皮疹=四元数(兰德(3),“rotmat”,“点”)

例子:皮疹=四元数(兰德(3),“rotmat”,“框架”)

数据类型:单|双

`PF`- - - - - -旋转矩阵的类型
`“点”`|`“帧”`

旋转矩阵的类型，由“点”或“帧”．

例子:皮疹=四元数(兰德(3),“rotmat”,“点”)

例子:皮疹=四元数(兰德(3),“rotmat”,“框架”)

数据类型:字符|字符串

`E`- - - - - -欧拉角矩阵
N3矩阵

欧拉角矩阵，由N3矩阵。如果使用“欧拉”语法,指定E在弧度。如果使用“eulerd”语法,指定E在度。

例子:皮疹=四元数(E“欧拉”,“YZY”,“点”)

例子:皮疹=四元数(E“欧拉”,“XYZ”,“框架”)

数据类型:单|双

`RS`- - - - - -旋转序列
特征向量|标量字符串

旋转序列，指定为三个元素的字符向量:

“YZY”
“YXY”
之一的ZYZ”
“ZXZ”
“XYX”
“XZX”
“XYZ”
“YZX”
“ZXY”
“XZY”
“ZYX股票”
“YXZ”

假设您想要确定一个点的新坐标，当它的坐标系使用坐标系旋转时。点在原坐标系中定义为:

点=[√(2)/2，√(2)/2,0];

在这种表示中，第一列表示x-轴，第二列表示y-轴，第三列表示z设在。

您希望使用欧拉角表示[45,45,0]来旋转该点。使用两种不同的旋转顺序旋转点:

如果您创建了一个四元数旋转器并指定'ZYX'序列，则帧将首先围绕帧旋转45°z-轴，然后45°周围的新y设在。

quatRotator =四元数([45,45,0]，“eulerd”，“ZYX股票”，“帧”）;newPointCoordinate = rotateframe(quatRotator,point)

newPointCoordinate = 0.7071 -0.0000 0.7071

ZYX连续三次旋转

如果您创建了一个四元数旋转器并指定'YZX'序列，则帧首先围绕帧旋转45°y-轴，然后45°周围的新z设在。

quatRotator =四元数([45,45,0]，“eulerd”，“YZX”，“帧”）;newPointCoordinate = rotateframe(quatRotator,point)

newPointCoordinate = 0.8536 0.1464 0.5000

YZX连续三次旋转

数据类型:字符|字符串

对象的功能

`angvel`	角速度来自四元数数组
`classUnderlying`	四元数中部分的类别
`紧凑的`	转换四元数数组为N4矩阵
`连词`	四元数的复共轭
`＇`	四元数阵的复共轭转置
`经销`	以弧度为单位的角距离
`欧拉`	将四元数转换为欧拉角(弧度)
`eulerd`	将四元数转换为欧拉角(度)
`经验值`	四元数数组的指数
`, \ ldivide`	按元素的四元数左除法
`日志`	四元数数组的自然对数
`meanrot`	四元数平均旋转
`-`	四元数减法
`＊`	四元数乘法
`规范`	四元数规范
`正常化`	四元数归一化
`的`	创建四元数数组，实部设为1，虚部设为0
`部分`	提取四元数部分
`^,权力`	元素四元数幂
`刺激`	四元数数组的乘积
`randrot`	均匀分布的随机旋转
`, / rdivide`	按元素的四元数右除法
`rotateframe`	四元数帧旋转
`rotatepoint`	四元数旋转
`rotmat`	将四元数转换为旋转矩阵
`rotvec`	将四元数转换为旋转向量(弧度)
`rotvecd`	将四元数转换为旋转向量(度)
`slerp`	球面线性插值
`. * *`	元素四元数乘法
`＇`	转置四元数数组
`-`	四元数一元减号
`0`	创建四元数数组，所有部分设置为零

例子

全部折叠

创建空四元数

打开实时脚本

四元数()

Quat = 0x0空四元数数组

默认情况下，四元数的底层类是双精度数。

classUnderlying(皮疹)

Ans = 'double'

通过指定单个四元数部分创建四元数

打开实时脚本

可以通过将四元数指定为相同大小的逗号分隔的标量、矩阵或多维数组来创建四元数数组。

定义四元数部分为标量。

A = 1.1;B = 2.1;C = 3.1;D = 4.1;quatScalar =四元数(A,B,C,D)

quatScalar =四元数1.1 + 2.1i + 3.1j + 4.1k

定义四元数部分为列向量。

A = [1.1;1.2];B = [2.1;2.2];C = [3.1;3.2];D = [4.1;4.2];四元数(A,B,C,D)

quatVector =2x1四元数数组1.2 + 2.2i + 3.2j + 4.2k

将四元数部分定义为矩阵。

A = [1.1,1.3;.．.1.2、1.4);B = [2.1,2.3;.．.2.2、2.4);C = [3.1,3.3;.．.3.2、3.4);D = [4.1,4.3;.．.4.2、4.4);四元数(A,B,C,D)

quatMatrix =2x2四元数数组1.1 + 2.1i + 3.1j + 4.1k 1.3 + 2.3i + 3.3j + 4.3k 1.2 + 2.2i + 3.2j + 4.2k 1.4 + 2.4i + 3.4j + 4.4k

将四元数部分定义为三维数组。

A = randn(2,2,2);B = 0 (2,2,2);C = 0 (2,2,2);D = 0 (2,2,2);quatMultiDimArray =四元数(A,B,C,D)

quatMultiDimArray =2x2x2四元数数组quatMultiDimArray(:，:，1) = 0.53767 + 0i + 0j + 0k -2.2588 + 0i + 0j + 0k 1.8339 + 0i + 0j + 0k 0.86217 + 0i + 0j + 0k -0.43359 + 0i + 0j + 0k -1.3077 + 0i + 0j + 0k 0.34262 + 0i + 0j + 0k

通过指定四元数部件矩阵创建四元数

打开实时脚本

类型可以创建四元数的标量或列向量N四元数部分的-by-4矩阵，其中列分别对应四元数部分A、B、C、D。

创建一个随机四元数的列向量。

quatParts = rand(3,4)

quatParts =3×40.8147 0.9134 0.2785 0.9649 0.9058 0.6324 0.5469 0.1576 0.1270 0.0975 0.9575 0.9706

quat =四元数

皮疹=3x1四元数数组0.81472 + 0.91338i + 0.2785j + 0.96489k 0.90579 + 0.63236i + 0.54688j + 0.15761k 0.12699 + 0.09754i + 0.95751j + 0.97059k

检索quatParts矩阵由四元数表示，使用紧凑的．

retrievedquatParts = compact(quat)

retrievedquatParts =3×40.8147 0.9134 0.2785 0.9649 0.9058 0.6324 0.5469 0.1576 0.1270 0.0975 0.9575 0.9706

通过指定旋转向量创建四元数

打开实时脚本

您可以创建N-by-1四元数数组N-by-3的旋转矢量矩阵，单位为弧度或角度。旋转向量是紧凑的空间表示，与规范化四元数有一对一的关系。

以弧度为单位的旋转向量

使用旋转向量创建标量四元数，并验证得到的四元数是标准化的。

rotationVector = [0.3491,0.6283,0.3491];quat =四元数(旋转向量，“rotvec”）

皮疹=四元数0.92124 + 0.16994i + 0.30586j + 0.16994 4k

规范(皮疹)

Ans = 1.0000

属性可以将四元数转换为弧度单位的旋转向量rotvec函数。恢复rotationVector从四元数来看，皮疹．

rotvec(皮疹)

ans =1×30.3491 0.6283 0.3491

旋转向量(度)

使用旋转向量创建标量四元数，并验证得到的四元数是标准化的。

rotationVector = [20,36,20];quat =四元数(旋转向量，“rotvecd”）

皮疹=四元数0.92125 + 0.16993i + 0.30587j + 0.16993k

规范(皮疹)

Ans = 1

方法可以将四元数转换为以度为单位的旋转向量rotvecd函数。恢复rotationVector从四元数来看，皮疹．

rotvecd(皮疹)

ans =1×320.0000 36.0000 20.0000

通过指定旋转矩阵创建四元数

打开实时脚本

可以通过指定旋转矩阵的3 × 3 × n数组来创建n × 1四元数数组。旋转矩阵数组的每一页对应于四元数数组的一个元素。

使用3 × 3旋转矩阵创建标量四元数。指定旋转矩阵应该解释为帧旋转还是点旋转。

rotationMatrix = [1 0 0;.．.0√(3)/2 0.5;.．.0 -0.5根号(3)/2];quat =四元数(旋转矩阵，“rotmat”，“帧”）

皮疹=四元数0.96593 + 0.25882i + 0j + 0k

属性可以将四元数转换为旋转矩阵rotmat函数。恢复rotationMatrix从四元数来看，皮疹．

rotmat(皮疹,“帧”）

ans =3×31.0000 000 0.8660 0.5000 0 -0.5000 0.8660

通过指定欧拉角创建四元数

打开实时脚本

您可以创建N-by-1四元数数组N-by-3欧拉角数组，以弧度或角度表示。

以弧度表示的欧拉角

使用欧拉语法来创建一个标量四元数使用欧拉角的1 × 3矢量弧度。指定欧拉角的旋转顺序，以及这些角是否表示帧旋转或点旋转。

E = [pi/2,0,pi/4];四元数(E，“欧拉”，“ZYX股票”，“帧”）

皮疹=四元数0.65328 + 0.2706i + 0.2706j + 0.65328k

可以将四元数转换为欧拉角欧拉函数。求欧拉角，E，由四元数表示，皮疹．

欧拉(皮疹,“ZYX股票”，“帧”）

ans =1×31.5708 0 0.7854

欧拉角(用角度表示

使用eulerd语法来创建一个标量四元数使用1 × 3向量的欧拉角，以度为单位。指定欧拉角的旋转顺序，以及这些角是否表示帧旋转或点旋转。

E = [90,0,45];四元数(E，“eulerd”，“ZYX股票”，“帧”）

皮疹=四元数0.65328 + 0.2706i + 0.2706j + 0.65328k

方法可以将四元数转换为以度为单位的欧拉角eulerd函数。求欧拉角，E，由四元数表示，皮疹．

eulerd(皮疹,“ZYX股票”，“帧”）

ans =1×390.0000 0 45.0000

四元数代数

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四元数在实数上形成非交换的结合代数。这个例子说明了四元数代数的规则。

加减法

四元数加法和减法逐项进行，并且是可交换的:

Q1 =四元数(1,2,3,4)

Q1 =四元数1 + 2i + 3j + 4k

Q2 =四元数(9,8,7,6)

Q2 =四元数9 + 8i + 7j + 6k

Q1plusQ2 = Q1 + Q2

Q1plusQ2 =四元数10 + 10i + 10j + 10k

Q2plusQ1 = Q2 + Q1

Q2plusQ1 =四元数10 + 10i + 10j + 10k

Q1减去Q2 = Q1 - Q2

Q1minusQ2 =四元数-8 - 6i - 4j - 2k

Q2减去Q1 = Q2 - Q1

Q2minusQ1 =四元数8 + 6i + 4j + 2k

您还可以执行实数和四元数的加减法。四元数的第一部分称为真正的部分，而第二，第三和第四部分被称为向量．实数的加减法只影响四元数的实数部分。

Q1plusRealNumber = Q1 + 5

Q1plusRealNumber =四元数6 + 2i + 3j + 4k

Q1minusRealNumber = Q1 - 5

Q1minusRealNumber =四元数-4 + 2i + 3j + 4k

乘法

四元数乘法是由基元的乘积和分配律决定的。s manbetx 845回想一下基元素的乘法，我，j,k，是不可交换的，因此四元数乘法是不可交换的。

Q1timesQ2 = Q1 * Q2

Q1timesQ2 =四元数-52 + 16i + 54j + 32k

Q2timesQ1 = Q2 * Q1

Q2timesQ1 =四元数-52 + 36i + 14j + 52k

isequal (Q1timesQ2 Q2timesQ1)

ans =逻辑0

你也可以用一个实数乘以四元数。如果将四元数与实数相乘，则四元数的每一部分分别与实数相乘:

Q1times5 = Q1*5

Q1times5 =四元数5 + 10i + 15j + 20k

四元数乘以实数是可交换的。

isequal (Q1 * 5, 5 * Q1)

ans =逻辑1

动词的词形变化

四元数的复共轭是这样定义的:四元数的向量部分的每个元素都是负的。

第一季度

Q1 =四元数1 + 2i + 3j + 4k

连词(Q1)

ans =四元数1 - 2i - 3j - 4k

四元数与其共轭数的乘法是可交换的:

isequal (Q1 *连词(Q1)、连词(Q1) * Q1)

ans =逻辑1

四元数数组操作

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您可以将四元数组织成向量、矩阵和多维数组。内置的MATLAB®函数已得到增强，可以使用四元数。

连接

四元数在连接过程中被视为单独的对象，并遵循MATLAB规则进行数组操作。

Q1 =四元数(1,2,3,4);Q2 =四元数(9,8,7,6);qVector = [Q1,Q2]

qVector =1x2四元数数组1 + 2i + 3j + 4k 9 + 8i + 7j + 6k

Q3 =四元数(-1，-2，-3，-4);Q4 =四元数(-9，-8，-7，-6)qMatrix = [qVector;Q3,Q4]

qMatrix =2x2四元数数组1 + 2i + 3j + 4k 9 + 8i + 7j + 6k - 2 - 3j - 4k -9 - 8i - 7j - 6k

qMultiDimensionalArray(:，:，1) = qMatrix;qMultiDimensionalArray(:，:，2) = qMatrix

qMultiDimensionalArray =2x2x2四元数数组qMultiDimensionalArray(:，:，1) = 1 + 2i + 3j + 4k 9 + 8i + 7j + 6k -1 - 2i + 3j + 4k 9 + 8i + 7j + 6k -1 - 2i - 3j - 4k -9 - 8i - 7j - 6k

索引

要访问或分配四元数数组中的元素，请使用索引。

qLoc2 = qMultiDimensionalArray(2)

qLoc2 =四元数1 - 2i - 3j - 4k

将索引2处的四元数替换为四元数1。

qMultiDimensionalArray(2) = ones(“四元数”）

qMultiDimensionalArray =2x2x2四元数数组qMultiDimensionalArray(:，:，1) = 1 + 2i + 3j + 4k 9 + 8i + 7j + 6k 1 + 0i + 0j + 0k -9 - 8i + 7j + 6k 9 + 8i + 7j + 6k -1 - 2i - 3j - 4k -9 - 8i - 7j - 6k

重塑

若要重塑四元数数组，请使用重塑函数。

qMatReshaped =重塑(qMatrix,4,1)

qMatReshaped =4x1四元数数组1 + 2i + 3j + 4k -1 - 2i - 3j - 4k 9 + 8i + 7j + 6k -9 - 8i - 7j - 6k

转置

要转置四元数向量和矩阵，请使用转置函数。

qMatTransposed =转置(qMatrix)

qMatTransposed =2x2四元数数组1 + 2i + 3j + 4k -1 - 2i - 3j - 4k 9 + 8i + 7j + 6k -9 - 8i - 7j - 6k

交换

若要排列四元数向量、矩阵和多维数组，请使用交换函数。

qMultiDimensionalArray

qMultiDimensionalArray =2x2x2四元数数组qMultiDimensionalArray(:，:，1) = 1 + 2i + 3j + 4k 9 + 8i + 7j + 6k 1 + 0i + 0j + 0k -9 - 8i + 7j + 6k 9 + 8i + 7j + 6k -1 - 2i - 3j - 4k -9 - 8i - 7j - 6k

qMatPermute = permute(qMultiDimensionalArray，[3,1,2])

qMatPermute =2x2x2四元数数组qMatPermute(:，:，1) = 1 + 2i + 3j + 4k 1 + 0i + 0j + 0k 1 + 2i + 3j + 4k -1 - 2i - 3j - 4k qMatPermute(:，:，2) = 9 + 8i + 7j + 6k -9 - 8i - 7j + 6k -9 - 8i - 7j - 6k

扩展功能

C/ c++代码生成
使用MATLAB®Coder™生成C和c++代码。

版本历史

R2020b中介绍

四元数

描述

创建

语法

描述

输入参数

A, B, C, D- - - - - -四元数的部分相同大小的逗号分隔数组

矩阵- - - - - -四元数部分的矩阵N4矩阵

房车- - - - - -旋转向量矩阵N3矩阵

RM- - - - - -旋转矩阵3×3矩阵|3-by-3-by -N数组

PF- - - - - -旋转矩阵的类型“点”|“帧”

E- - - - - -欧拉角矩阵N3矩阵

RS- - - - - -旋转序列特征向量|标量字符串

对象的功能

例子

创建空四元数

通过指定单个四元数部分创建四元数

通过指定四元数部件矩阵创建四元数

通过指定旋转向量创建四元数

通过指定旋转矩阵创建四元数

通过指定欧拉角创建四元数

四元数代数

四元数数组操作

扩展功能

C/ c++代码生成使用MATLAB®Coder™生成C和c++代码。

版本历史

`A, B, C, D`- - - - - -四元数的部分
相同大小的逗号分隔数组

`矩阵`- - - - - -四元数部分的矩阵
N4矩阵

`房车`- - - - - -旋转向量矩阵
N3矩阵

`RM`- - - - - -旋转矩阵
3×3矩阵|3-by-3-by -N数组

`PF`- - - - - -旋转矩阵的类型
`“点”`|`“帧”`

`E`- - - - - -欧拉角矩阵
N3矩阵

`RS`- - - - - -旋转序列
特征向量|标量字符串

C/ c++代码生成
使用MATLAB®Coder™生成C和c++代码。