连续小波变换的定义

比如傅里叶变换连续小波变换(CWT)使用内积来衡量信号和分析s manbetx 845函数之间的相似性。在傅里叶变换中，分析函数是复指数， $$e^{j\omega t}$$．得到的变换是一个单变量ω的函数。在短时傅里叶变换中，分析函数是复指数加窗， $$w（t）e^{j\omega t}$$，其结果是两个变量的函数。STFT系数, $$F（\omega ，\tau ），$$表示信号与角频率为ω的正弦信号在以τ为中心的指定长度区间内的匹配。

在连续小波变换中，分析函数是小波ψ。CWT将信号与移位的、压缩的或拉伸的小波进行比较。一个函数的拉伸或压缩统称为扩张或扩展并且符合物理概念规模．将信号与小波在不同的尺度和位置进行比较，得到一个双变量函数。用二维表示一个一维信号是多余的。如果小波是复值的，则CWT是尺度和位置的复值函数。如果信号是实值的，则CWT是尺度和位置的实值函数。对于尺度参数，> 0和位置,b， CWT为:

在哪里 $$＊$$为复共轭。尺度和位置的大小不仅影响小波变换系数的大小，小波的选择也影响小波变换系数的大小。

通过连续改变尺度参数的值，一个，以及位置参数，b，则获得波变换系数C (a, b)．注意，为了方便起见，CWT系数对函数和分析小波的依赖被抑制了。

把每个系数乘以相应的和移位小波产生原始信号的组成小波。

在连续小波变换中可以使用许多不同的可容许小波。虽然分析小波有这么多的选择似乎令人困惑，但这实际上是小波分析的优势。根据您试图检测的信号特征，您可以自由选择小波来帮助您检测该特征。例如，如果您试图检测信号中的突然不连续，您可以选择一个小波。另一方面，如果您对寻找具有平滑的起始和偏移的振荡感兴趣，您可以自由选择与该行为更接近的小波。

规模

比如频率的概念，规模是信号和图像的另一个有用特性。例如，您可以分析温度数据在不同尺度上的变化。你可以看看每一年或每十年的变化。当然，您也可以检查更细的(每天)或更粗的规模变化。有些过程在长时间或空间尺度上揭示有趣的变化，而在小时间或空间尺度上则不明显。相反的情况也会发生。我们的一些感知能力会显现出来尺度不变性．不管你是看大肖像还是小照片，你都能认出你认识的人。

为了超越口语化的描述，如“拉伸”或“收缩”，我们引入比例因子，通常用字母表示一个．比例因子是一个固有的正量，一个＞0．对于正弦波，比例因子的影响是很容易看出的。

在sin ()，刻度是弧度频率的倒数，一个．

尺度因子与小波的工作原理完全相同。尺度因子越小，小波就越“压缩”。相反，尺度越大，小波的拉伸程度越高。下面的图说明了1、2和4级小波的情况。

一般来说，信号的比例和频率之间的反比关系是成立的。

时间尺度表示不仅是查看数据的一种不同方式，而且也是查看从大量自然现象中获得的数据的一种非常自然的方式。

转移

改变一个小波仅仅意味着延迟(或提前)它的开始。数学上，函数f(t)k是由f (t- - - - - -k）：

CWT作为一个窗口变换

在短时傅里叶变换时，STFT被描述为信号的开窗，以产生局部频率分析。STFT方法的一个缺点是窗口大小是恒定的。在窗口大小的选择上有一个权衡。较长的时间窗口提高了频率分辨率，但导致较差的时间分辨率，因为傅立叶变换在窗口的持续时间内失去了所有时间分辨率。相反，较短的时间窗口改善了时间定位，但导致较差的频率分辨率。

小波分析代表了下一个逻辑步骤:具有可变大小区域的窗口技术。小波分析允许在需要更精确的低频信息的地方使用长时间间隔，在需要高频信息的地方使用短时间间隔。

下图对比了短时傅立叶变换和小波分析对时频面进行分解的不同方法。