非平稳Gabor坐标系和常q变换- MATLAB和Simulink万博1manbetxgydF4y2Ba

非平稳Gabor坐标系和常q变换gydF4y2Ba

非平稳Gabor帧使您能够实现信号的时间自适应或频率自适应分析。的函数gydF4y2BacqtgydF4y2Ba而且gydF4y2BaicqtgydF4y2Ba使用非平稳Gabor帧来获得信号的常数q(频率自适应)变换(CQT)。非平稳Gabor框架的一个显著优点是，它们能够构造稳定的逆，产生完美的重建。gydF4y2Ba

非平稳Gabor框架理论及其实现的有效算法是由于Dörfler, Holighaus, Grill和VelascogydF4y2Ba[1]gydF4y2Ba [２]gydF4y2Ba．算法gydF4y2Ba[1]gydF4y2Ba而且gydF4y2Ba[２]gydF4y2Ba实现CQT的锁相版本，它不会保留与naïve卷积获得的相同的相位。在gydF4y2Ba[3]gydF4y2Ba， Schörkhuber, Klapuri, Holighaus和Dörfler为CQT和逆CQT开发了有效的算法，模拟了naïve卷积获得的系数。大型时频分析工具箱gydF4y2Ba[4]gydF4y2Ba为非平稳Gabor分析和合成提供了一套广泛的算法。gydF4y2Ba

在标准的Gabor分析中，固定大小的窗口将时频平面平铺。非平稳Gabor框架是用于平铺时频平面的各种大小的窗函数的集合。小波分析以类似的方式对时频平面进行平铺。你可以在时间或频率上灵活地改变采样密度。非平稳Gabor帧在音频信号处理等领域很有用，其中固定大小的时频窗口不是最佳的。与短时间傅里叶变换不同，常q变换中使用的窗口具有可适应的带宽和采样密度。在频率空间中，窗口以对数间隔的中心频率为中心。gydF4y2Ba

分解时频平面gydF4y2Ba

的傅里叶变换gydF4y2Baf (t)gydF4y2Ba的相关性gydF4y2Baf (t)gydF4y2Ba与gydF4y2BaegydF4y2Ba^{J ω tgydF4y2Ba}：gydF4y2Ba

$FgydF4y2Ba （gydF4y2Ba ωgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba {\intgydF4y2Ba}_{-gydF4y2Ba ∞gydF4y2Ba}^{∞gydF4y2Ba} fgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba {egydF4y2Ba}^{-gydF4y2Ba jgydF4y2Ba ωgydF4y2Ba tgydF4y2Ba} dgydF4y2Ba tgydF4y2Ba ．gydF4y2Ba$

自gydF4y2BaegydF4y2Ba^{J ω tgydF4y2Ba}由于傅里叶变换没有紧支持，因此它不是研究非平万博1manbetx稳信号的理想选择。如果信号的频率含量随时间变化，傅里叶变换不会捕捉到这些变化是什么或什么时候发生的变化。这个时频平面的划分代表了傅里叶变换的行为。gydF4y2Ba

要对非平稳信号进行时频分析，从一个实值偶窗函数开始，gydF4y2Ba $ggydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba$ ，它仅在有限区间上有效非零，且范数等于1。另外，的傅里叶变换gydF4y2Ba $ggydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba$ 以0为中心，是低通的。接下来,窗口gydF4y2Baf (t)gydF4y2Ba有翻译gydF4y2Ba $ggydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba$ ．然后对结果进行傅里叶变换gydF4y2Ba

$年代gydF4y2Ba FgydF4y2Ba （gydF4y2Ba ugydF4y2Ba ，gydF4y2Ba ζgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba \intgydF4y2Ba fgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ggydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba -gydF4y2Ba ugydF4y2Ba ）gydF4y2Ba {egydF4y2Ba}^{-gydF4y2Ba jgydF4y2Ba ζgydF4y2Ba tgydF4y2Ba} dgydF4y2Ba tgydF4y2Ba ．gydF4y2Ba$

关联gydF4y2Baf (t)gydF4y2BaGabor原子，gydF4y2Ba $ggydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba -gydF4y2Ba ugydF4y2Ba ）gydF4y2Ba {egydF4y2Ba}^{jgydF4y2Ba ζgydF4y2Ba tgydF4y2Ba}$ ，为标准Gabor分析。通过改变gydF4y2BaugydF4y2Ba，你只考虑的价值gydF4y2Baf (t)gydF4y2Ba附近的时间gydF4y2BaugydF4y2Ba．的支持万博1manbetxgydF4y2Ba $ggydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba$ 决定邻近时间的大小gydF4y2BaugydF4y2Ba．的傅里叶变换gydF4y2Ba ${ggydF4y2Ba}_{ugydF4y2Ba ，gydF4y2Ba ζgydF4y2Ba} （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba ggydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba -gydF4y2Ba ugydF4y2Ba ）gydF4y2Ba {egydF4y2Ba}^{ζgydF4y2Ba tgydF4y2Ba}$ 的傅里叶变换是由ζ平移的gydF4y2Ba $ggydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba$ 并且由gydF4y2Ba

${\overset{＾gydF4y2Ba}{ggydF4y2Ba}}_{ugydF4y2Ba ，gydF4y2Ba ζgydF4y2Ba} （gydF4y2Ba ωgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba {egydF4y2Ba}^{-gydF4y2Ba （gydF4y2Ba ωgydF4y2Ba -gydF4y2Ba ζgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba} \overset{＾gydF4y2Ba}{ggydF4y2Ba} （gydF4y2Ba ωgydF4y2Ba -gydF4y2Ba ζgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ．gydF4y2Ba$

能量的集中gydF4y2Ba ${\overset{＾gydF4y2Ba}{ggydF4y2Ba}}_{ugydF4y2Ba ，gydF4y2Ba ζgydF4y2Ba} （gydF4y2Ba ωgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba$ 有差异gydF4y2BaσgydF4y2Ba_ωgydF4y2Ba并且以ζ为中心。如果窗户，gydF4y2Ba ${ggydF4y2Ba}_{ugydF4y2Ba ，gydF4y2Ba ζgydF4y2Ba} （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba ggydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba -gydF4y2Ba ugydF4y2Ba ）gydF4y2Ba {egydF4y2Ba}^{ζgydF4y2Ba tgydF4y2Ba}$ ，在规则网格上的位移，位移窗口和的乘积的傅里叶变换gydF4y2Baf (t)gydF4y2Ba为短时傅里叶变换(STFT)。时频平面的STFT平铺可以表示为一个方框网格，每个方框的中心位于(gydF4y2BaugydF4y2Ba，gydF4y2BaζgydF4y2Ba)：gydF4y2Ba

函数集gydF4y2Ba $｛gydF4y2Ba {ggydF4y2Ba}_{ugydF4y2Ba ，gydF4y2Ba ζgydF4y2Ba} ｝gydF4y2Ba$ 被称为gydF4y2Ba伽柏框架gydF4y2Ba．这个集合中的元素被称为gydF4y2Ba伽柏原子gydF4y2Ba．一个框架是一组函数，gydF4y2Ba{hgydF4y2Ba_kgydF4y2Ba(t)}gydF4y2Ba，满足以下条件:存在常数gydF4y2Ba0 < a≤b <∞gydF4y2Ba对于任何函数gydF4y2Baf (t)gydF4y2Ba，gydF4y2Ba

$一个gydF4y2Ba 为gydF4y2Ba fgydF4y2Ba {为gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} \leqgydF4y2Ba {ΣgydF4y2Ba}_{kgydF4y2Ba} |gydF4y2Ba 〈gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ，gydF4y2Ba {hgydF4y2Ba}_{kgydF4y2Ba} 〉gydF4y2Ba {|gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} \leqgydF4y2Ba BgydF4y2Ba 为gydF4y2Ba fgydF4y2Ba {为gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} ．gydF4y2Ba$

能量的集中gydF4y2Ba $ggydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba$ ，在时间上，有方差gydF4y2BaσgydF4y2Ba_tgydF4y2Ba．能量的集中gydF4y2Ba $\overset{＾gydF4y2Ba}{ggydF4y2Ba} （gydF4y2Ba ωgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba$ ，在频率上，有方差gydF4y2BaσgydF4y2Ba_ωgydF4y2Ba．能量集中决定了窗口在时间和频率上定位信号的好坏。根据时频不确定性原理，在时域和频域同时进行定位是有限制的，如所示gydF4y2Ba

${σgydF4y2Ba}_{tgydF4y2Ba} {σgydF4y2Ba}_{ωgydF4y2Ba} \geqgydF4y2Ba \frac{1gydF4y2Ba}{2gydF4y2Ba} ．gydF4y2Ba$

缩小一个域中的窗口会导致另一个域中的本地化效果较差。Gabor展示了窗口的面积是最小的gydF4y2Ba $ggydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba$ 是高斯。gydF4y2Ba

常q变换gydF4y2Ba

在CQT中，频率上的带宽和采样密度是变化的。窗口直接构造并应用于频域。不同的窗口有不同的中心频率和带宽，但中心频率与带宽的比值保持不变。保持恒定的比率意味着:gydF4y2Ba

频率越高，时间分辨率越高。gydF4y2Ba
频率分辨率在较低的频率下提高。gydF4y2Ba

由于不确定原理，每个窗口的时移取决于带宽。gydF4y2Ba

CQT取决于:gydF4y2Ba

窗口函数gydF4y2BaggydF4y2Ba_kgydF4y2Ba都是实数偶函数。在频域中，的傅里叶变换gydF4y2BaggydF4y2Ba_kgydF4y2Ba在区间上定义，gydF4y2Ba(- f / 2, Fs / 2)gydF4y2Ba．gydF4y2Ba
采样速率，ζgydF4y2Ba_{年代gydF4y2Ba}．gydF4y2Ba
每八度音阶的箱数，gydF4y2BabgydF4y2Ba．gydF4y2Ba
最小和最大频率，ζgydF4y2Ba_{最小值gydF4y2Ba}和ζgydF4y2Ba_{马克斯gydF4y2Ba}．gydF4y2Ba

选择最小频率ζgydF4y2Ba_{最小值gydF4y2Ba}以及每八度音阶的箱数gydF4y2BabgydF4y2Ba．接下来，形成一个几何间隔的频率序列，gydF4y2Ba

ζgydF4y2Ba_kgydF4y2Ba=ζgydF4y2Ba_{最小值gydF4y2Ba}×2gydF4y2Ba^{kgydF4y2Ba/gydF4y2BabgydF4y2Ba}

为gydF4y2Bak = 0，…，kgydF4y2Ba在哪里gydF4y2BaKgydF4y2Ba一个整数是否满足ζgydF4y2Ba_KgydF4y2Ba最大频率严格小于奈奎斯特频率吗gydF4y2BaζgydF4y2Ba_{年代gydF4y2Ba}/ 2gydF4y2Ba．的带宽gydF4y2BakgydF4y2BaTh频率设置为gydF4y2BaΩgydF4y2Ba_kgydF4y2Ba=ζgydF4y2Ba_{kgydF4y2Ba＋1gydF4y2Ba}- - - - - -ζgydF4y2Ba_{kgydF4y2Ba－1gydF4y2Ba}．给定这个抽样，比例gydF4y2BakgydF4y2Ba中心频率与窗口带宽无关gydF4y2BakgydF4y2Ba：gydF4y2Ba

Q = ζgydF4y2Ba_kgydF4y2Ba/ΔgydF4y2Ba_kgydF4y2Ba= (2gydF4y2Ba^{1 /gydF4y2BabgydF4y2Ba}－2gydF4y2Ba^{1 /gydF4y2BabgydF4y2Ba}）gydF4y2Ba^{－1gydF4y2Ba}．gydF4y2Ba

为了保证完美的重构，分别在序列前加上直流分量和奈奎斯特频率。gydF4y2Ba

WgydF4y2Ba(ω)gydF4y2Ba窗体函数gydF4y2BaggydF4y2Ba_kgydF4y2Ba．gydF4y2BaWgydF4y2Ba(ω)gydF4y2Ba一个以0为中心的实值连续函数在区间内是正的吗gydF4y2Ba(——½½)gydF4y2Ba，其他地方为0。gydF4y2BaWgydF4y2Ba(ω)gydF4y2Ba平移到每个中心频率ζgydF4y2Ba_kgydF4y2Ba然后按比例缩小的。评估一个缩放和翻译的版本gydF4y2BaWgydF4y2Ba(ω)gydF4y2Ba产生滤波器系数gydF4y2BaggydF4y2Ba_kgydF4y2Ba［gydF4y2Ba米gydF4y2Ba］gydF4y2Ba，由gydF4y2Ba

ggydF4y2Ba_kgydF4y2Ba［gydF4y2Ba米gydF4y2Ba] =gydF4y2BaWgydF4y2Ba（(gydF4y2Ba米gydF4y2BaζgydF4y2Ba_{年代gydF4y2Ba}/gydF4y2BalgydF4y2Ba- - - - - -ζgydF4y2Ba_kgydF4y2Ba) /ΩgydF4y2Ba_kgydF4y2Ba）gydF4y2Ba

为gydF4y2Bam = 0，…，L-1gydF4y2Ba,在那里gydF4y2BalgydF4y2Ba是信号长度。默认情况下,gydF4y2BacqtgydF4y2Ba使用gydF4y2Ba“损害”gydF4y2Ba窗口。gydF4y2Ba

根据不确定原理，带宽的大小限制时移的值。为了满足坐标系不等式，平移gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba_kgydF4y2Ba的gydF4y2BaggydF4y2Ba_kgydF4y2Ba必须满足gydF4y2Ba

一个gydF4y2Ba_kgydF4y2Ba≤ζgydF4y2Ba_kgydF4y2Ba/ΩgydF4y2Ba_kgydF4y2Ba．gydF4y2Ba

如前所述，窗口应用于频域。的过滤器,gydF4y2BaggydF4y2Ba_kgydF4y2Ba，中心为gydF4y2BaζgydF4y2Ba_kgydF4y2Ba，形成并应用于信号的傅里叶变换。求反变换得到常数q系数。gydF4y2Ba

参考文献gydF4y2Ba

[1] Holighaus, N.， M. Dörfler, G.A. Velasco和T. Grill。“可逆实时常数q变换的框架。”gydF4y2BaIEEE音频、语音和语言处理汇刊gydF4y2Ba．Vol. 21 No. 4, 2013, pp. 775-785。gydF4y2Ba

[2]贝拉斯科，G. A.， N.霍利豪斯，M. Dörfler, T.格尔。用非平稳Gabor坐标系构造可逆常数- q变换在gydF4y2Ba第十四届数字音频效果国际会议论文集(DAFx-11)gydF4y2Ba．法国巴黎:2011年。gydF4y2Ba

[3] Schörkhuber, C.， A. Klapuri, N. Holighaus和M. Dörfler。“一个Matlab工具箱的有效完美重建时频变换与对数频率分辨率。”提交至gydF4y2BaAES第53届语义音频国际会议gydF4y2Ba．英国伦敦:2014年。gydF4y2Ba

[4] prolesa, Z.， P. L. Søndergaard, N. Holighaus, C. Wiesmeyr和P. Balazs。gydF4y2Ba大型时频分析工具箱2.0gydF4y2Ba．声音，音乐和运动，计算机科学2014年讲座笔记，第419-442页。gydF4y2Bahttps://github.com/ltfatgydF4y2Ba

另请参阅gydF4y2Ba

icqtgydF4y2Ba|gydF4y2BacqtgydF4y2Ba

非平稳Gabor坐标系和常q变换gydF4y2Ba

分解时频平面gydF4y2Ba

常q变换gydF4y2Ba

参考文献gydF4y2Ba

另请参阅gydF4y2Ba

相关的话题gydF4y2Ba