小波Synchrosqueezing——MATLAB仿真软件万博1manbetx - 万博1manbetx,s manbetx 845,万博尤文图斯

小波Synchrosqueezing

什么是小波Synchrosqueezing ?

小波synchrosqueezed变换是一种时频分析方法,用于分析多组分信号与振动模式。信号与振动模式的例子包括语音波形、机器震动,生理信号。许多这样的真实信号和振动模式可以写成一笔调幅和调频组件。一般表达式与总结组件是这些类型的信号

$\sum_{k = 1}^{K} {一个}_{k} (t) 因为 (2 π ϕ_{k} (t)),$

在哪里<年代pan class="inlineequation"> ${一个}_{k} (t)$ 慢变振幅和吗<年代pan class="inlineequation"> $ϕ_{k} (t)$ 是瞬时阶段。傅里叶级数截断,振幅和频率不随时间变化,这些信号是一个特例。

小波变换和其他线性时频分析方法将这些信号分解成他们的组件关联字典的信号时频原子[1]。小波变换使用翻译和按比例缩小的版本的母小波的时频原子。一些时频传播与所有这些时频原子,从而影响信号分析的清晰度。

小波synchrosqueezed变换是一种时频方法,重新分配信号能量的频率。这个重新分配补偿造成的传播影响母小波。不像其他时频分配方法,synchrosqueezing重新分配能量只有在频率方向,它保留了信号的时间分辨率。通过保留时间,逆synchrosqueezing算法可以重构原始信号的一个精确的表示。使用synchrosqueezing,总结组件中的每个词信号表达式必须是一个内在模式类型(IMT)功能。在标准构成imt的详细信息,请参见[2]。

算法

synchrosqueezing算法使用这些步骤。

获得输入信号的变换。使用synchrosqueezing, CWT必须使用一个解析小波来捕获瞬时频率信息。
从类中提取瞬时频率输出,<年代pan class="inlineequation"> $W_{f}$ ,使用一个阶段转换,<年代pan class="inlineequation"> $ω_{f}$ 。这一阶段转换成正比的一阶导数CWT的翻译,u。在这个阶段变换的定义,年代是规模。

$ω_{f} (年代, u) = \frac{\partial t W_{f} (年代, u)}{2 π 我 W_{f} (年代, u)} 。$

定义为尺度<年代pan class="inlineequation"> $年代 = \frac{f_{χ}}{f}$ ,在那里<年代pan class="inlineequation"> $f_{χ}$ 频率和峰值f是频率。
提取瞬时频率,考虑一个简单的正弦波,<年代pan class="inlineequation"> $e^{我 2 π f_{0} t}$ 。
1. 得到小波变换,
  
  $W_{f} (e^{我 2 π f_{0} t}) = e^{我 2 π f_{0} u},$
  
  在哪里<年代pan class="inlineequation"> $\hat{χ} (年代 f_{0})$ 小波的傅里叶变换在哪里科幻小说<年代ub>0。
2. 前面的方程的偏导数的翻译,u:
  
  $\frac{\partial}{\partial u} W_{f} (e^{我 2 π f_{0} t}) = 我 2 π f_{0} \hat{χ} (f_{χ}) e^{我 2 π f_{0} u}$
3. 将小波变换和偏导数<年代pan class="inlineequation"> $我 2 π$ 获取瞬时频率,f<年代ub>0。
“紧缩”CWT /地区相位变换是常数。由此产生的瞬时频率值是重新分配给单个值的质心CWT时频区域。这个重新分配导致了输出CWT synchrosqueezed变换相比。

所述,synchrosqueezing使用连续小波变换(CWT)及其一阶导数对翻译。波变换是可逆的,因为继承了CWT可逆性synchrosqueezed变换属性,可以重建信号。

需要的组件分离

与synchrosqueezing信号组件必须imt,分别在时频平面上。如果满足这个需求,你可以跟踪的轨迹沿着曲线的瞬时频率。曲线显示的位置最大能量随时间变化为每个信号模式。看到wsstridge对轨迹曲线的描述算法。

这个不等式定义所需的分离标准:

$| ϕ_{k}^{”} (t) - ϕ_{k - 1}^{”} (t) | \geq \frac{1}{4} | ϕ_{k}^{”} (t) + ϕ_{k - 1}^{”} (t) |$

在哪里<年代pan class="inlineequation"> $ϕ^{”}$ 瞬时频率和吗d是一个积极的分离常数[2]。确定这需要分离,假设一个凹凸小波,x,傅里叶变换的支持范围万博1manbetx<年代pan class="inlineequation"> $(ε_{x} - Δ, ε_{x} + Δ]$ 。因为撞小波的中心频率<年代pan class="inlineequation"> $\frac{5}{2 π}$ 赫兹,使用<年代pan class="inlineequation"> $(\frac{5}{2} π - \frac{1}{2}, \frac{5}{2} π + \frac{1}{2}]$ 的时间间隔。然后解决<年代pan class="inlineequation"> $Δ < ε_{x} \frac{d}{1 + d}$ 为d得到<年代pan class="inlineequation"> $d > \frac{1}{4}$ 撞小波。

显示这种分离要求bump小波,考虑组成的一个信号<年代pan class="inlineequation"> $因为 (2 π (0.1 t)) + 罪 ((2 π (0.2 t))$ 。使用凹凸小波得到CWT,瞬时相位的余弦<年代pan class="inlineequation"> $ϕ_{1} (t) = 0.1 t$ 瞬时频率是一阶导数,0.1。同样,正弦分量的瞬时频率是0.2。分离不平等,<年代pan class="inlineequation"> $| 0.1 | \geq \frac{1}{4} | 0.3 |$ ,是真的。因此,两个信号组件IMT函数和分离足以使用synchrosqueezed变换。

如果你使用更高的频率,如0.3和0.4的瞬时频率,不平等<年代pan class="inlineequation"> $| 0.1 | \geq \frac{1}{4} | 0.7 |$ ,这是不正确的。因为这些信号组件并不是截然分开imt信号<年代pan class="inlineequation"> $因为 (2 π (0.3 t)) + 罪 ((2 π (0.4 t))$ ,不适合使用synchrosqueezed变换。

例子

CWT vs Synchrosqueezed变换蹭脏

打开生活的脚本

比较二次唧唧喳喳的CWT与synchrosqueezed变换显示减少能源涂synchrosqueezed变换结果。

负载<年代pan style="color:#A020F0">quadchirp;Fs = 1000;(wt, f) = cwt (quadchirp,<年代pan style="color:#A020F0">“撞”Fs);次要情节(2,1,1)惠普= pcolor (tquad、f、abs (wt));惠普。EdgeColor =<年代pan style="color:#A020F0">“没有”;包含(<年代pan style="color:#A020F0">的时间(秒))ylabel (<年代pan style="color:#A020F0">的频率(赫兹))标题(<年代pan style="color:#A020F0">rocky二次唧唧喳喳的次要情节(2,1,2)墓场(quadchirp Fs,<年代pan style="color:#A020F0">“撞”)

图包含2轴对象。坐标轴对象1标题类的二次唧唧声表面包含一个类型的对象。坐标轴对象2标题小波Synchrosqueezed变换包含一个类型的对象的表面。

低频和高频组件分离

打开生活的脚本

这个例子显示了分离信号组件之间需要从synchrosqueezed变换获得有用的结果。信号组件是0.025,0.05,0.20和0.225每样品周期。高频组件,0.20和0.225,没有足够的分离,所以你不能表达整个信号截然分开imt的总和。

定义信号和情节synchrosqueezed组件。

t = 0:2000;x1 = cos(2 *π* .025 * t);x2 = cos (2 * pi * 0。* t);x3 = cos(2 *π* .20 * t);x4 = cos(2 *π* .225 * t);x = x1 + x2 + x3 + x4;海温,[f] =墓场(x);轮廓(t、f、abs (sst)包含(<年代pan style="color:#A020F0">“时间”)ylabel (<年代pan style="color:#A020F0">归一化频率的)标题(<年代pan style="color:#A020F0">“高频分离不足”)

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象与标题不够高频分离包含一个类型的对象轮廓。

增加高频分量的分离,然后再绘制synchrosqueezed组件。

x4 = cos(2 *π* 3 * t);x = x1 + x2 + x3 + x4;海温,[f] =墓场(x);图轮廓(t、f、abs (sst)包含(<年代pan style="color:#A020F0">“时间”)ylabel (<年代pan style="color:#A020F0">归一化频率的)标题(<年代pan style="color:#A020F0">“足够的高频分离”)

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象与标题足够的高频分离包含一个类型的对象轮廓。

现在的所有信号组件布置得井然有序imt和分离足以区分彼此。这个信号是适合使用synchrosqueezing算法。

不足的区域分离

打开生活的脚本

这个例子显示了一个具有两个线性啁啾信号。一个线性啁啾的定义是

$f (t) = 因为 (ϕ + 2 π (f_{0} t + \frac{米 t^{2}}{2})) 。$

它的一阶导数,<年代pan class="inlineequation"> $f_{0} + 米 t$ ,定义了瞬时频率线。使用凹凸小波和分离常数为0.25。确定该地区的两个线性调频信号瞬时频率的0.4和0.1周期每样本不够分离,解这个方程:

$| y_{1} - - - - - - y_{2} | = 0 。 25 | y_{1} + y_{2} | 。$

$y_{1} = \frac{- - - - - - 0 。 15}{1000} x + 0 。 4$ 和<年代pan class="inlineequation"> $y_{2} = \frac{0 。 15}{1000} x + 0 。 1$ 啾啾的瞬时频率线。

t = 0:2000;日元=唧唧声(t, 1000年0.4,0.25);y2 =唧唧声(t, 1000年0.1,0.25);y = y1 + y2;墓场(y,<年代pan style="color:#A020F0">“撞”)包含(<年代pan style="color:#A020F0">“样本”)h1 =线(583 [583],0.5 [0]);h2 =线(1417 [1417],0.5 [0]);h1.Color =<年代pan style="color:#A020F0">“白色”;h2.Color =<年代pan style="color:#A020F0">“白色”;

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象与标题小波Synchrosqueezed变换包含3对象类型的表面,线。

垂直线条的边界地区。他们表明,没有足够的分离发生在583年和1417年样本示例。在该地区之间的垂直线条,信号不包含布置得井然有序imt。在区域外的竖线,信号布置得井然有序imt。你可以从synchrosqueezed变换获得良好的结果在这些地区。

引用

[1]槌,S。小波信号处理。圣地亚哥,CA:学术出版社,2008,第89页。

[2]Daubechies,我。,J. Lu, and H. T. Wu. "Synchrosqueezed Wavelet Transforms: an empirical mode decomposition-like tool."应用和计算谐波分析。30(2)卷,第243 - 261页。

[3]Thakur G。,E. Brevdo, N. S. Fučkar, and H. T. Wu. "The synchrosqueezing algorithm for time-varying spectral analysis: robustness properties and new paleoclimate applications."信号处理。93卷,1079 - 1094页。